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1、第5讲 微积分的诞生 人类精神的最高胜利,17世纪中叶，微积分诞生了，它是继欧几里得几何学后数学中最伟大的创造，它的诞生掀开了数学乃至整个科学发展史崭新的一页.,那么微积分是在怎样的背景下产生的呢？,微积分产生的历史背景,知识与能力,理解微积分产生的历史背景. 了解促使微积分产生的科学问题. 了解微积分诞生之前，众多数学家所作出的不懈努力.,重点,理解微积分产生的历史背景. 了解促使微积分产生的科学问题.,难点,理解微积分产生的历史背景.,微积分是描述运动过程的数学，它的产生为力学、天文学以及后来的电磁学等提供了必不可少的工具.,微积分并不是凭空产生的，它经历了长时间的酝酿过程.,微积分产生的
2、前提有两个：几何坐标和函数概念.这两个方面由于笛卡儿和费马等人的工作，其基础已基本具备.,恩格斯说：“社会一旦有技术上的需要，则这种需要就会比十所大学更能把科学推向前进”.,到了17世纪，由于解析几何的创立，使自然科学研究的中心转向自然界的运动和变化，古典算术或几何、代数方法，甚至解析几何，对自然界的运动和变化都无能为力了，这就激起不少数学家致力寻找解决这些问题的新方法.,那么，促使微积分产生的科学问题都有什么呢?,瞬时速度问题,切线问题,函数的最值问题,面积、体积、曲线 长、重心和引力的计算,瞬时速度问题,已知物体移动的距离表示为时间的函数的公式，求物体在任意时刻的速度和加速度；反过来，已知
3、物体的加速度表示为时间的函数的公式，求速度和距离， 如何求不做匀速运动物体的瞬时速度就成为数学家们的一个当务之急.,如果物体的运动是匀速的，那么计算它的瞬时速度就是用运动时间去除运动距离.,如果物体的运动不是匀速时，它的瞬时速度就不能用运动时间去除运动距离，因为在给定的瞬间，移动的距离和所用的时间都是0，而0除以0是没有意义的.,分析,已知物体的速度公式求运动的距离也会遇到同样的问题.求变速运动物体的瞬时速度或运动距离可以说是微分或积分概念最基本的现实原型之一.,切线问题,马克思曾指出：“全部微分学本来产生于求任意一条曲线上任意一点的切线问题”.切线概念，古希腊时代已有.例如欧几里得的原本对圆
4、的切线定义为与圆仅接触一点的直线.,希腊时代的这种切线定义，只是一种静态的直觉定义，即是一种定性的描述，没有给出求切线的一般方法.,后来根据圆的切线意义拓展到了曲线的一般定义:“一条与曲线如此相切的直线，使得在这条直线与曲线之间的空间中不能插进其他的直线.”,17世纪，光学成为非常重要的研究领域，要研究光线通过透镜的通道，必须知道光线射入透镜的角度以便应用反射与折射定律，而重要的角是光线与镜面曲面法线（过曲线的切点与切线垂直的直线）的夹角，法线是垂直于切线的，所以问题在于求法线或切线.,另一个涉及曲线的切线的科学问题出现在运动的研究中，运动物体在它的轨迹上任一点处的运动方向，是轨迹的切线方向.
5、,函数的最值问题,早在16世纪，西欧各军事强国的火炮制造技术就已经非常先进.那么，一个现实的问题就是，发射角多大时炮弹获得最大射程.,16世纪的榴弹炮,17世纪初，意大利科学家伽利略（Galileo Galilei，15641642）认识到炮弹弹道的抛物线性质，并断言，在不考虑空气阻力的情况下，当发射角为45时炮弹的射程最大.此外，他还得到了发射角变化时炮弹所能达到的最大高度.,研究行星的运动也涉及到求最大、最小值的问题，比如求行星离太阳最远和最近的距离.,面积、体积、曲线长、重心和引力的计算,面积与体积计算问题古来有之：如曲线围成的面积；曲面围成的体积.17世纪上半叶，随着天文学的长足进步，
6、这方面的问题变得更为突出.,如德国天文学家开普勒给出的行星运动三大定律和其他许多天文问题都涉及到行星运动的轨道、行星矢径扫过的面积以及物体重心与引力等计算.,公元前4世纪，欧多克索斯（Eudoxus，约公元前400约前347）提出计算曲边形面积和体积的方法，此法在17世纪时称“穷竭法”.,古希腊人曾用穷竭法计算出一些面积和体积，尽管他们只是对于比较简单的面积和体积应用了这个方法，但也必须加上很多技巧，所以这个方法缺乏一般性.这些长度、面积和体积计算问题就成为积分学的基本来源.,在微积分诞生之前，有众多数学家为解决上述问题做出了不懈努力.,1615年，为了研究旋转体的体积，开普勒引入了无穷大和无
7、穷小概念，并指出：圆是由无数个顶点在圆心的三角形构成，圆周是由这些三角形的无穷小底边构成，把无限小的弧看成直线，把无限窄的面看成直线，把无限薄的体看做面.,开普勒的求积术,意大利数学家卡瓦列利系统地运用无穷小方法计算面积和体积.他假定：线是由无穷多个点组成，面是由无穷多条线组成，体是由无穷多个面组成.卡瓦列利利用几何方法巧妙地求得若干曲边图形的面积，还证明了旋转体的表面积和体积公式.,卡瓦列里不可分量原理,法国的笛卡儿的求切线方程的“圆法”、费马、帕斯卡的求极大、极小值的方法以及英国的巴罗的“微分三角形”和沃利斯的“无穷算术” 为解决上述问题都作出了独特的贡献.,虽然众多数学家的研究工作为微积
8、分的诞生做了积极的准备，但他们的方法粗糙且缺乏一般性.当时还无人认识到求面（体）积、求极值、求瞬时速度和求切线四者之间的内在联系，更未能意识到微分与积分之间的互逆关系.历史的发展需要伟人的推动，在时代的召唤下，牛顿与莱布尼茨脱颖而出，担负起这项伟大的任务.,微积分产生的历史背景:,微积分产生的前提有两个：几何坐标和函数概念. 近代微积分的产生经过了半个多世纪的准备与酝酿，有着深刻的社会背景.随着资本主义社会生产力的蓬勃发展，17世纪上半叶出现了许多重大的科学问题，这些问题的解决需要新的数学工具.,促使微积分产生的科学问题:,瞬时速度问题 切线问题 函数的最值问题 面积、体积、曲线长、重心和引力的计算,微积分诞生前，众多科学家所做的贡献:,开普勒的求积术 卡瓦列里不可分量原理 笛卡儿求切线方程的“圆法” 费马求极大、极小值的方法 巴罗的“微分三角形” 沃利斯的“无穷算术”,
