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1、第三讲: 计算机数学基础,一、带符号数的表示方法 二、二进制代码,一、带符号数的表示方法,1、机器数与真值 前面提到的二进制数，没有涉及到符号问题，是一种无符号数。但在实际应用中，一个数显然还有正、负之分，那么符号在计算机中是怎么表示的呢？计算机中采用二进制数码，对于数的符号“+”或“-”也用二进制数码表示。规定用二进制数码的最高位表示符号。并规定：用数码“0”表示正数的符号“+” ；用数码“1”表示负数的符号“-” 。 例1 X1=+010001B ； X2=-010001B ，在8位机中分别表示为 X1=00010001B ； X2=10010001B 。 一个数在机器中的表示形式称为机器
2、数，而原来的实际数本身称为机器数的真值。机器数有原码、反码、补码三种形式。当真值为X时，其原码、反码、补码分别用X原、X反、X补表示。机器数与具体的机型有，如8位机，则一定要写成8位，不足的符号位后面补0。,符号位,尾数,2、原码(true form) 符号位用“0”表示正数，“1”表示负数，其余各位表示真值除符号外的尾数本身，这种表示方法称为原码表示法。即用0、1分别代替真值中的“+”、“-”即得原码。以八位机为例（下同）。 （1）对于正数 ：X原=X 例2 若X1=+1101001B，X2=+101101B，则X1原=01101001B， X2原=00101101B(不足8位应在符号位后补
3、“0” )。 （2） 对于负数：X原=28-1-X 例3 若X1=-1101001B，X2=-101101B，则 X1原 =11101001B=10000000B+1101001B=28-1(-1101001B)= 28-1X1 X2原 =10101101B=10000000B+101101B=28-1(-101101B)= 28-1X2 （3）对于0 在计算机中，0可认为它是+0，也可认为它是-0，故0在原码中有两种表示法。对八位机：+0原=00000000B，-0原=10000000B。,3、反码(ones complement) （1）对于正数，其反码表示法与原码相同，即X反=X原=X
4、。 例4 若X1=+1101001B，X2=+101101B， 则X1反=X1原=01101001B， X2反= X2原=00101101B(不足8位应在符号位后补“0” )。 （2） 对于负数，反码等于其原码符号位不变，其余各位按位取反(即“1”换成“0”, “0”换成“1”)。也可按以下公式计算：X反=28-1+X 。 例5 若X=-1101001B，则X原 =11101001B， X反 =10010110B=28-1+(-1101001B)=28-1-1101001B 。 （3） 对于0，反码有+0反和-0反两种表示法。对于8位机： +0反=00000000B、-0反=11111111B
5、 。,4、补码(twos complement) 补码表示法可以把负数转换为正数，使减法转换为加法，从而使正负数的加减运算转换为单纯的正数相加的运算。因此,计算机中一般采用补码表示法。 （1）对于正数，其补码就是该正数本身，即X补=X 例6 若X=+1101001B，则X补=01101001B （2）对于负数，其补码等于其反码加1。 即X补=X反+1=2n 1+X+1=2n+X (对八位机n=8)。 例7 若X=-1101001B，则X原=11101001B， X反 =10010110B， X补=10010110B+1=10010111B=28+X =28+(-1101001B)= 28-11
6、01001B 。 （3）对于0，+0补=-0补=00000000B ，即0的补码只有一种表示法。 综上所述，对正数有X原=X反 =X补 = X；对负数,用“1”代替负号“-”就得原码，再对原码除符号位(最高位)外其余各位按位取反就得反码,最后对反码加1就得补码。,5、已知机器数求真值 （1）先求原码。对正数(符号位为0)，原码、反码、补码相同，无需转换；对负数(符号位为1)，反码的数值位按位取反，可转换为原码，补码的数值位按位取反后末位加1，可转换为原码。 （2）由原码求真值。用“+” 、“-”代替原码的符号位 (“0”换为“+”,“1”换为“-”) 即可。 例8 若X补=10011010B，
7、求X？ 解 因符号位为1，所以X为负数。 则X原=11100101B+1=11100110B，X=-1100110B,二、二进制代码,1、代码的含义 数码符号不仅可以用于计数表示数值的大小，而且可以用于表示特定的对象，称为代码。如电话号码、邮政编码、学号、手机号码、宿舍号码、运动员的号码等等就是用09这十个十进制数码符号的组合来表示特定的对象，可以称为十进制代码。 2、二进制代码 （1）定义 ：由0和1组成的二进制数码不仅可以表示数值的大小，而且可以用来表示特定的信息。这种具有特定含义的二进制数码称为二进制代码。建立这种代码与它表示的对象(如十进制数、字母、特定符号、逻辑值等)的一一对应关系过
8、程称为编码；将代码所表示的特定信息翻译出来称为译码，分别由编码器、译码器来实现。,（2）分类 二十进制码(BCD码) 定义：就是用四位二进制的组合来表示09 这十个十进制数码符号称为二十进制码,简称为BCD码。 分类：由于四位二进制数从00001111共有十六种组合，而十进制只有十个数码符号，因此有很多种BCD码。 A、8421BCD码：8421码是用四位二进制数的前十种组合来表示09 这十个十进制数。这种代码每一位的权都是固定不变的，属于恒权代码。它和四位二进制数一样，从高位到低位各位的权分别是8、4、2、1，故称为8421码。其特点是每个代码的各位数值之和就是它所表示的十进制数。所以，它便
9、于记忆，应用也比较普遍。 例如，(49)10=(0100,1001)BCD(01001001)2,例9 若X=(01001010)2 ,Y=(00110111)2 ,求X+Y的BCD码? 解 X+Y= (01001010)2 + (00110111)2 =(10000001)2 =(129)10=(000100101001)BCD B、 2421码和5211码：它们也属于恒权代码，从高位到低位各位的权分别是2、4、2、1和5、2、1、1，故而得名。其中2421码又分为(A)和(B)两种代码，它们的编码状态不完全相同。在2421(B)码中，0和9、1和8、2和7、3和6、4和5互为反码，即两码对
10、应位的值相反。 C、余3码：这种代码所组成的四位二进制数，正好比它代表的十进制数多3，故称为余3码。两个余3码相加时，其和要比对应表示的十进制数之和多6。因而两个十进制数之和等于10时，两个对应余3码之和相当于四位二进制的16，刚好产生进位信号，不必进行修正。另外，余3码的0和9、1和8、2和7、3和6、4和5也互为反码。余3码不能由各位二进制数的权来决定其代表的十进制数，故属于无权码。各种BCD码的比较见表1.1。,逻辑数据(逻辑代码) 逻辑数据用于表示某件事情的“真” 或“假”，“成立”或“不成立”，只能参加逻辑运算。基本逻辑运算包括“与”、“或”、“非”三种运算。参加逻辑运算的数据是按位
11、进行的，位与位之间没有进位和借位的关系。在计算机中逻辑数据也是由二进制数所组成的，但每位数没有权。通常用“1”表示“逻辑真”，“0”表示“逻辑假”。 美国标准信息交换码(ASCII码) ASCII码，用一个字节(8位二进制数)来表示一个特定的字符，其中低7位为字符的ASCII码值，最高位一般用作校验位。即实际上采用7位二进制数，可表示27 =128个符号。这128个符号共分为两类：一类是图形字符，共96个；一类是控制字符，共32个。96个图形字符包括十进制数码符号10个、大小写英文字母52个和其它字符34个。这类字符有特定的形状，可以显示在显示器上和打印在打印纸上，其编码可以存储、传送和处理。32个控制符包括回车符、换行符、退格符、控制符和信息分隔符等。这类字符没有特定的形状，其编码虽然可以存储、传送和起某种控制作用，但字符本身不能在显示器上显示和打印机上打印。人们可通过键盘上的字母、符号和数值向计算机发送数据和指令，每一个键可用一个二进制代码来表示，常用的就是ASCII码。,
