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1、,学 海 无 涯 XXXX 年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学 注意事项： 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡 皮擦干净后，再选涂其它答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。 考试结束后，将本试卷和答案卡一并交回。 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的。,1已知集合 A x | x 10 ， B 0，1，2，则 A,B ,B 1 C 1，2,D0，1，2,A 0 2 1 i2 i
2、A 3 i,B 3 i C 3 i D 3 i,3中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来，构件的凸出部分叫棒头，凹进部分叫 卯眼，图中木构件右边的小长方体是棒头若如图摆放的木构件与某一带卯眼 的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是,3,4若sin 1 ，则cos2 ,A 8 9,B 7 9,C 7 9,D 8 9, 2 5,x ,5 x2 的展开式中 x4 的系数为, A10 B20 C40 D80,6直线 x y 2 0 分别与 x 轴， y 轴交于 A ， B 两点，点 P 在圆 x 22 y2 2 上，则ABP 面积的,C 2 ，3 2 ,D 2 2 ，3 2 ,取值范围
3、是 A 2 ，6 B 4，8 7函数 y x4 x2 2 的图像大致为,学 海 无 涯,8某群体中的每位成品使用移动支付的概率都为 p ，各成员的支付方式相互独立，设 X 为该群体的 10 位成员中使用移动支付的人数， DX 2.4 ， P X 4 P X 6 ，则 p A07 B06 C04 D03,9 ABC 的内角 A ，B ，C 的对边分别为a ， b ， c ，若ABC 的面积为,4,a2 b2 c2,，则C ,A 2,B 3,C 4,D 6,10设 A ，B ，C ，D 是同一个半径为 4 的球的球面上四点， ABC 为等边三角形且其面积为9 3 ，则 三棱锥 D ABC 体积的最
4、大值为,A12 3 B18 3,C 24 3 D 54 3,x2 y2,a b,11设 F1 ，F2 是双曲线C： 2 2 1（ a 0 ，b 0 ）的左，右焦点， O 是坐标原点过 F2 作C 的一,条渐近线的垂线，垂足为 P 若 PF1 6 OP ，则C 的离心率为 A 5 B2 C 3 D 2,12设a log0.2 0.3， b log2 0.3 ，则 A a b ab 0 C a b 0 ab,B ab a b 0 D ab 0 a b,二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。 13已知向量a=1, 2 ， b= 2, 2 ， c=1, 若c 2a + b ，则
5、14曲线 y ax 1ex 在点0，1 处的切线的斜率为2 ，则a , 6 , ,15函数 f x cos 3x 在0 ，的零点个数为,16已知点 M 1，1 和抛物线 C：y2 4x ，过C 的焦点且斜率为 k 的直线与C 交于 A ， B 两点若 AMB 90 ，则k 三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 1721 题为必考题，每个试 题考生都必须作答。第 22、23 为选考题。考生根据要求作答。 （一）必考题：共 60 分。 17（12 分）,学 海 无 涯 等比数列an 中， a1 1，a5 4a3 求an 的通项公式； 记 Sn 为an 的前n 项和若
6、 Sm 63 ，求 m 18（12 分） 某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式为 比较两种生产方式的效率，选取 40 名工人，将他们随机分成两组，每组 20 人，第一组工人用第一种 生产方式，第二组工人用第二种生产方式根据工人完成生产任务的工作时间（单位：min）绘制了如 下茎叶图：,根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高？并说明理由； 求 40 名工人完成生产任务所需时间的中位数m ，并将完成生产任务所需时间超过m 和不超 过 m 的工人数填入下面的列联表：,（3）根据（2）中的列表，能否有 99%的把握认为两种生产方式的效率有差异？,附： K 2
7、,n ad bc2 a bc d a cb d ,，,P K 2 k 0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828,19（12 分） 如图，边长为 2 的正方形 ABCD 所在平面与半圆弧CD 所在平面 垂直， M 是CD 上异于C ， D 的点 证明：平面 AMD 平面 BMC ； 当三棱锥 M ABC 体积最大时，求面 MAB 与面 MCD 所 成二面角的正弦值 20（12 分）,学 海 无 涯,4 3,x2 y2,已知斜率为 k 的直线l 与椭圆C： , 1交于 A ， B 两点线段 AB 的中点为 M 1，mm 0 ,（1）证明： k 1 ； 2 （2）
8、设 F 为C 的右焦点， P 为C 上一点，且 FP FA FB 0 证明： FA ， FP ， FB 成等差 数列，并求该数列的公差 21（12 分） 已知函数 f x 2 x ax2 ln1 x 2x （1）若a 0 ，证明：当1 x 0 时， f x 0 ；当 x 0 时， f x 0 ； （2）若 x 0 是 f x 的极大值点，求a （二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。 22选修 44：坐标系与参数方程（10 分）,在平面直角坐标系 xOy 中，O 的参数方程为, y sin,x cos，,（ 为参数），过点 0 ，,
9、2 且倾斜角为, 的直线l 与O 交于 A ，B 两点 求 的取值范围； 求 AB 中点 P 的轨迹的参数方程 23选修 45：不等式选讲（10 分） 设函数 f x 2x 1 x 1 （1）画出 y f x 的图像； （2）当 x0 ， ， f x ax b ，求a b 的最小值 绝密启用前 XXXX 年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学试题参考答案 一、选择题,二、填空题,学 海 无 涯 13 1 14 3 15 3 162 2 17解： （1）设a 的公比为q ，由题设得 a qn1 n n 由已知得q4 4q2 ，解得q 0 （舍去）， q 2 或q 2 故 a (2)n1 或a
10、2n1 n n,3,n n,1 (2)n,（2）若a (2)n 1 ，则 S ,m,m,由 S 63 得(2) 188 ，此方程没有正整数解,若 an 2 ，则 Sn 2 1 由 Sm 63 得2 64 ，解得m 6 n1 n m 综上， m 6 18解： （1）第二种生产方式的效率更高 理由如下： 由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人中，有 75%的工人完成生产任务所需时间至少 80 分钟，用第二种生产方式的工人中，有 75%的工人完成生产任务所需时间至多 79 分钟因此第二种生 产方式的效率更高 由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务所需时间的中位数为 855 分钟，用 第二种生
11、产方式的工人完成生产任务所需时间的中位数为 735 分钟因此第二种生产方式的效率更 高 由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务平均所需时间高于 80 分钟；用第二 种生产方式的工人完成生产任务平均所需时间低于 80 分钟，因此第二种生产方式的效率更高 由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布在茎 8 上的最多，关 于茎 8 大致呈对称分布；用第二种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布在茎 7 上的最多，关于 茎 7 大致呈对称分布，又用两种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布的区间相同，故可以认为 用第二种生产方式完成生产任务所需的时间比用第一种生产方式完成生
12、产任务所需的时间更少，因此 第二种生产方式的效率更高 以上给出了 4 种理由，考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得分,2,79 81,（2）由茎叶图知m , 80 ,列联表如下：,学 海 无 涯,2,（3）由于 K ,40(1515 5 5)2 20 20 20 20, 10 6.635 ，所以有 99%的把握认为两种生产方式的效率有,差异 解： 由题设知，平面 CMD平面 ABCD，交线为 CD因为 BCCD，BC 平面 ABCD，所以 BC平面 CMD，故 BCDM 因为 M 为CD 上异于 C，D 的点，且 DC 为直径，所以 DMCM 又 BC CM=C，所以 DM平面 BMC 而
13、 DM 平面 AMD，故平面 AMD平面 BMC 以 D 为坐标原点， DA 的方向为 x 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系 Dxyz,当三棱锥 MABC 体积最大时，M 为CD 的中点 由题设得 D(0,0,0), A(2,0,0), B(2, 2,0),C(0, 2,0), M(0,1,1) ， AM (2,1,1), AB (0, 2, 0), DA (2, 0, 0) 设 n (x, y, z) 是平面 MAB 的法向量，则,即,n AM 0, 2x y z 0,2 y 0., n AB 0. ,可取n (1, 0, 2) DA 是平面 MCD 的法向量，因此,学 海 无 涯,5,5,n DA,cos n, DA ,| n | DA |, ，,2 5,5,sin n, DA ,，,所以面 MAB 与面 MCD 所成二面角的正弦值是,2 5,5,20解：,1 1 2 2,4 3,4 3,x 2 y 2 x 2 y 2,（1）设 A(x , y ), B(x , y ) ，则 1 1 1, 2 2 1 ,x1 x2,y y 两式相减，并由 1 2 k 得,x1 x2 y1 y2 k 0 4 3 x x y y 由题设知 1 2 1, 1 2 m ，于是 2 2,3,k 4m,3,1,2 2,由题设得0 m ，故k ,（2）由题意得 F(1, 0) ，设 P(x3 , y
