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1、第七节 正弦定理和余弦定理,基础梳理,1. 设ABC的三个内角A、B、C的对边分别为a,b,c,R是ABC的外接圆半径. （1）正弦定理 三角形的 各边和它所对角的正弦的比相等，即 (2)正弦定理的三种形式 a= 2Rsin A, b= 2Rsin B,c= 2Rsin C(边到角的转换); (角到边的转换);,2011届高考迎考复习更多资源请点击：,高中教学网,abc=sin Asin Bsin C.,2. 三角形常用面积公式 (1) (h表示三角形长为a的边上的高）. (2) (3) (r为三角形的内切圆半径）.,3. 余弦定理 三角形任何一边的平方等于 其他两边的平方和减去这两边与它们的
2、夹角的余弦的积的两倍 ,即 a2= b2+c2-2bccos A , b2= c2+a2-2cacos B , c2= a2+b2-2abcos C.,余弦定理也可以写成如下形式：,4. 勾股定理是余弦定理的特殊情况 在余弦定理表达式中,分别令A、B、C为90,则上述关系式分别化为：a2=b2+c2 , b2=a2+c2 , c2=a2+b2.,典例分析,题型一正弦定理和余弦定理的应用 【例1】 在ABC中，已知 ,B=45，求A、C和c.,分析 已知两边和其中一边的对角解三角形问题，可运用正弦定理来求解，但应注意解的情况.或借助余弦定理，先求出边c后，再求出角C与角A.,解 方法一:B=45
3、b,角A为最大角. 由余弦定理,得 ,A=120 sin A= ,再根据正弦定理，得 ,题型二 三角形的面积问题,【例2】(2008辽宁)在ABC中，内角A、B、C对边的边长分别是a,b,c，已知c=2,C= .若ABC的面积等于3,求a,b.,分析 分别利用正弦定理和余弦定理建立关于a,b的方程，然后解方程组得a,b.,解 由余弦定理及已知条件得 -ab=4. ABC的面积等于3, absin C= ,ab=4. 联立方程组 -ab=4, ab=4, 解得 a=2, b=2.,学后反思 在解决三角形问题中，面积公式S= absin C= bcsin A= acsin B最常用，因为公式中既有
4、边也有角，容易和正弦定理、余弦定理联系起来.,举一反三,2. (2010江阳模拟）在ABC中，a=4,A=30,b= ,则SABC= .,解析： 根据 -2bccos A得c=4或c=8. S= bcsin A,SABC=8 或4 . 答案： 8 或4,题型三 判断三角形的形状,【例3】在ABC中,已知(a+b+c)(a+b-c)=3ab，且2cos Asin B=sin C,试确定ABC的形状.,分析 判定三角形的类型，一般是从题设条件出发，根据正弦定理、余弦定理及面积公式，运用三角函数式或代数式的恒等变形导出角或边的某种特殊关系，从而判定三角形的类型.,解 (a+b+c)(a+b-c)=3
5、ab, =ab, cos C= , 0C, C= . 又A+B+C=, A+B= . 2cos Asin B=sin C, 2cos Asin B=sin(-A-B), 2cos Asin B=sin(A+B)=sin Acos B+cos Asin B, sin(A-B)=0, A=B= , A=B=C= . 三角形ABC为等边三角形.,学后反思 （1）判断三角形的形状，主要有两条思路：一是化角为边，二是化边为角. （2）若等式两边是关于三角形的边或内角正弦函数齐次式，则可以根据正弦定理互相转化.如asin A+bsin B=csin C .,举一反三 3. 在ABC中，a2tan B=b2
6、tan A,则三角形的形状是_. 解析： 由正弦定理,得sin2Atan B=sin2Btan A,即sin Acos A=sin Bcos B,即sin 2A=sin 2B.A,B(0,),A=B或A+B=90. 答案： 等腰三角形或直角三角形,题型四 正、余弦定理的综合应用 例4. (14分) (2008哈尔滨模拟）ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,且b2+c2-a2+bc=0. (1)求角A的大小； (2)若a=3,求bc的最大值； (3)求 的值.,分析 （1）由b2+c2-a2+bc=0的结构形式，可联想余弦定理，求出cos A,进而求出A的值. （2）由a=3及b2+c
7、2-a2+bc=0,可求出关于b,c的关系式，利用不等式即可求出bc的最大值. (3)由正弦定理可实现将边化角的功能，从而达到化简求值的目的.,解 (1) A=1202 (2)由a= ,得b2+c2=3-bc,.3 b2+c22bc(当且仅当c=b时取等号）, 3-bc2bc(当且仅当c=b时取等号），4 即当且仅当c=b=1时,bc取得最大值为16,（3）由正弦定理，得 ,7,学后反思 (1)在三角形中求角，往往选择先求该角的余弦值，然后利用余弦函数在（0，）上的单调性求角. (2)正、余弦定理能实现边角转化，在解题时一定要重视., 11 14,举一反三,4.在ABC中，角A、B、C所对的边
8、长分别为a、b、c.设a、b、c满足条件 和 ,求A和tan B的值.,解析：由已知条件，应用余弦定理得cos A= ,故A=60. 在ABC中，C=180-A-B=120-B. 由已知条件，应用正弦定理得 ,解得cot B=2,从而tan B= .,易错警示,【例】(2009济南高三统考改编)在锐角三角形ABC中，若C=2B,则 的取值范围是 .,错解 由正弦定理易得 =2cos B,由于三角形为锐角三角形，故0C=2B90,得B(0,45). 故 =2cos B(2,2).,错解分析 思维不严密导致错误.显然0C=2B90是三角形为锐角三角形的必要不充分条件,还应有B+C90.,正解 =2
9、cos B.由锐角三角形ABC，C=2B两个条件可得 B , cos B ,2 2cos B . 即ABAC的取值范围是( , ).,考点演练,10. 在ABC中，sin A+cos A= ,AC=2,AB=3,求ABC的面积.,解析: sin A+cos A= cos(A-45)= , cos(A-45)= . 又0A180, A=105,sin A=sin 105=sin(45+60)= , SABC= ACABsin A= 23 = .,11. （2009北京）在ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，B= ,cos A= ,b= . (1)求sin C的值； （2）求ABC的面积
10、.,解析: (1)角A,B,C为ABC的内角，且B= ，cos A= , C= -A,sin A= , sin C=sin( -A)= cos A+ sin A= . (2)由(1)知sin A= ,sin C= . 又B= ,b= , 在ABC中，由正弦定理得a=bsin Asin B= . ABC的面积为 S= .,12. (2009浙江)在ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且满足cos ,ABAC=3. (1)求ABC的面积； （2）若b+c=6,求a的值.,解析: (1)cos , cos A= ,sin A= . 又由ABAC=3,得bccos A=3,bc=5, SABC= bcsin A=2. (2)由(1)知，bc=5,又b+c=6, b=5,c=1或b=1,c=5. 由余弦定理,得 -2bccos A=20,a=2 .,
