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1、学 海 无 涯 两圆外切的性质与应用两圆外切的性质与应用 两圆的位置关系有外离、外切、相交、内切、内含五种关系，当相切的两个圆，除了切 点外，每个圆上的点都各在另一个圆的外部时，我们称这两个圆外切。而且外切关系是两圆 位置关系中比较重要的一种关系，它具有的性质较多。 4 性质（1） 外切两圆的连心线必经过它们的切点，且两个圆心之间的距离d（圆心距） 等于两个圆的半径之和，即d=R+r 两圆外切，其中任一个圆的过两圆切点的切线，也必是另一个圆的切线，也就是说， 两个圆心及切点这三点共线。 例1 若两圆半径分别为R，r(Rr)，其圆心距为d,且 Rr2rdR 222 =+ ，则两圆的位置关 系是_
2、. 解：因为 ,Rr2rdR 222 =+ 所以 ,drRr2R 222 =+ 所以 , drR,d) rR( 22 =+=+所以 所以d=R+r(R+r=-d不合题意). 因此两圆的位置关系是外切. 二、外切的两圆，共有三条公切线，其中两条是外公切线，一条是内公切线，内公切线过两 圆的切点且垂直于它们的连心线。 如图1，半径为r、R的 与 1 O 2 O 外切，外公切线AB分别切 与 1 O 2 O 于A、B，那么AB 就是外公切线长。连 A，O1BO2 ，由切线性质知 .COBOO,ABBO,ABAO 12121 垂直作过 可证得四边形ABCD为矩形，得 rAOBC,ABCO 11 = ，
3、 因此， rRCO2= ， 而在Rt ，COO 21 中 , rRCO, rROO 221 =+= ：.Rr2Rr4 ) rR() rR( COOOCOAB 22 2 2 2 2 11 于是有 于是 = += = 性质(2) 外公切线长等于 Rr2 学 海 无 涯 7 两圆外切,经常添的辅助线是内公切线,因为内公切线可以产生两圆相等的弦切角,可将两 圆的元素联系起来. 性质(3) 添内公切线是解决两圆外切问题的金钥匙. 例2 已知如图2, 与 1 O 2 O 外切于点C,PA切 2 O 于点A,交 1 O 于点P、D，直接PC交 2 O 于点B。 求证：AC平分BCD。 解：过C作 与 1 O
4、 2 O 的内公切线MN交AP于M，所以MCD=P. 又PA切 2 O 于点A, 所以MAC=ACM, 所以ACB=P+MAC=MCD+MCA=DCA. 即AC平分BCD. 四.看下一例:如图3, 与 1 O 2 O 外切于点P,AB为两圆的外公切线,切点为A、B,求证 ABP 为直角三角形. 解:过P作内公切线交AB于E,由切线长定理知EB=EP,EP=EA,即EB=EP=EA,根据定理(在一个 三角形中,一边上的中线等于该边的一半,那么这个三角形是直角三角形)知 ABP 为直角三 角形. 此题中AB为外公切线与两圆的切点,P为两圆切点. 我们习惯上把 ABP 称为切点三角形. 在关于两圆外
5、切关系的几何证明题中,运用切点三角形来分析问题,解决问题,可以收到事半 功倍的效果,它的应用在两圆外切中尤为重要. 性质(4) 切点三角形是直角三角形. 例4(重庆市中考题)如图4, 与 1 O 2 O 外切于点P,内公切线PC与外公切线AB(A、B分别是 与 1 O 2 O 上的切点)相交于点C,已知 与 1 O 2 O 的半径分别为3、4,则PC的长等于 _. 分析:由于AB为外公切线,由性质(2)知 . 34432Rr2AB= 又由性质(4)知 APB 为直角在三角形且CP=CB=AC,故CP为斜边AB上的中线,因此 . 32AB 2 1 CP= 例5.如图5, 与 1 O 2 O 外切于点P,AB为两圆的外公切线,切点为A、B,连心线 交 21O O 1 O 于C,交 2 O 于D,CA与DB的延长线相交于Q,求证: DQCQ . 学 海 无 涯 简析：连AP、BP,由上题知APB=Rt,又CAP=PBD=Rt,故由四边形内角和定理知 Q=Rt,即 DQ。CQ 两圆外切关系的这些性质,在解题时要灵活的应用.在例4、 例5中的切点三角形并不是现成有 的,而是添线构造出来的,难度稍大些,因此脑子中对切点三角形这些性质必须有深刻的印象, 才能举一反三,触类旁通.
