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1、 1 中职数学基础知识汇总中职数学基础知识汇总 预备知识：预备知识： 1.完全平方和（差）公式： (a+b)2=a2+2ab+b2 (a-b)2=a2-2ab+b2 2.平方差公式： a2-b2=(a+b)(a-b) 3.立方和（差）公式： a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2) a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2) 第一章第一章 集合集合 1. 构成集合的元素必须满足三要素：确定性、互异性、无序性。 2. 集合的三种表示方法：列举法、描述法、描述法、图像法（文氏图） 。 3. 常用数集：N（自然数集） 、Z（整数集） 、Q（有理数集） 、R（实数集） 、N+（正整数集） 4. 元素
2、与集合、集合与集合之间的关系： （1） 元素与集合是“”与“”的关系。 （2） 集合与集合是“” “” “=” “/”的关系。 注：注： （1）空集是任何集合的子集，任何非空集合的真子集。 （做题时多考虑是否满足题意） （2）一个集合含有 n 个元素，则它的子集有 2n个，真子集有 2n-1 个，非空真子集有 2n-2 个。 5. 集合的基本运算（用描述法表示的集合的运算尽量用画数轴的方法） （1） |ABx xAxB=挝 且：A与B的公共元素组成的集合 （2） |ABx xAxB=挝 或：A与B的所有元素组成的集合（相同元素只写一次） 。 （3）ACU：U中元素去掉A中元素剩下的元素组成的集
3、合。 注：注：=() UUU CABC AC B () UUU CABC AC B= 6. 会用文氏图表示相应的集合，会将相应的集合画在文氏图上。 7. 充分必要条件:p是q的条件 p是条件，q是结论 如果 pq，那么 p 是 q 的充分条件;q 是 p 的必要条件. 如果 pq，那么 p 是 q 的充要条件 第二章第二章 不等式不等式 1. 不等式的基本性质： （略） 注：注： （1）比较两个实数的大小一般用比较差的方法；另外还可以用平方法、倒数法。 （2）不等式两边同时乘以负数要变号！ ！ （3）同向同向的不等式可以相加加（不能相减） ，同正的同向同正的同向不等式可以相乘。 2. 重要重要
4、的不等式： （1）abba2 22 +，当且仅当ba =时，等号成立。 （2）),(2 + +Rbaabba，当且仅当ba =时，等号成立。 （3） 注： 2 ba + （算术平均数）ab（几何平均数） 3. 一元一次不等式的解法（略） 4. 一元二次不等式的解法 （1） 保证二次项系数为正 （2） 分解因式（十字相乘法、提取公因式、求根公式法） ，目的是求根： 2 （3） 定解： （口诀）大于取两边，小于取中间。 5. 绝对值不等式的解法 若0a，则 axaxax axaax 或| | 分式不等式的解法：与二次不等式的解法相同。注：分母不能为 0. 第三章第三章 函数函数 1. 函数 （1）
5、定义：设 A、B 是两个非空数集,如果按照某种对应法则f,对 A 内任一个元素 x,在 B 中总有一个且只 有一个值 y 与它对应,则称f是集合 A 到 B 的函数函数, ,可记为:f:AB,或f:xy.其中 A 叫做函数f的定义域.函 数f在ax =的函数值,记作)(af,函数值的全体构成的集合 C(CB),叫做函数的值域. （2）函数的表示方法：列表法、图像法、解析法图像法、解析法。 注：注：在解函数题时可以画出图像，运用数形结合的方法可以使大部分题目变得更简单。 2. 函数的三要素：定义域、值域、对应法则三要素：定义域、值域、对应法则 （1） 定义域的求法：使函数（的解析式）有意义的x的
6、取值范围 主要依据：分母不能为 0，偶次根式的被开方式0， 特殊函数定义域：0, 0 =xxy Rxaaay x =),10( ,且 0),10( ,log=xaaxy a 且 （2） 值域的求法：y的取值范围 正比例函数：kxy = 和 一次函数：bkxy+=的值域为R 二次函数：cbxaxy+= 2 的值域求法：配方法。如果x的取值范围不是R则还需画图像 反比例函数： x y 1 =的值域为0|yy 另求值域的方法：换元法换元法、不等式法、数形结合法、函数的单调性等等。 （3） 解析式求法：在求函数解析式时可用换元法换元法、构造法、待定系数法等。 3. 函数图像的变换 （1） 平移 )()
7、(axfy a xfy+= 个单位 向左平移 )()(axfy a xfy= 个单位 向右平移 axfy a xfy+=)()( 个单位 向上平移 axfy a xfy=)()( 个单位 向下平移 （2） 翻折 )()(xfy x xfy= 上、下对折 轴沿 | )(|)(xfy x xfy= 下方翻折到上方 轴上方图像保留 3 4. 函数的奇偶性 （1） 定义域关于原点对称 （2） 若)()(xfxf=奇 若)()(xfxf=偶 注：若奇函数在0=x处有意义，则0)0(=f 常值函数axf=)(（0a）为偶函数 0)(=xf既是奇函数又是偶函数 5. 函数的单调性 对于, 21 baxx 、
8、且 21 xx ，若 上为减函数在称 上为增函数在称 ,)(),()( ,)(),()( 21 21 baxfxfxf baxfxfxf 增函数：x值越大，函数值越大；x值越小，函数值越小。 减函数：x值越大，函数值反而越小；x值越小，函数值反而越大。 6. 二次函数 （1）二次函数的三种解析式 一般式：cbxaxxf+= 2 )(（0a） 顶点式：hkxaxf+= 2 )()( （0a） ，其中),(hk为顶点 两根式：)()( 21 xxxxaxf= （0a） ，其中 21 xx、是0)(=xf的两根 （2）图像与性质 二次函数的图像是一条抛物线，有如下特征与性质： 开口 0a开口向上 0
9、a开口向下 对称轴： a b x 2 = 顶点坐标：) 4 4 , 2 ( 2 a bac a b 与x轴的交点： = 无交点 交点有 有两交点 0 10 0 根与系数的关系： （韦达定理） = =+ a c xx a b xx 21 21 cbxaxxf+= 2 )(为偶函数的充要条件为0=b 二次函数（二次函数恒大（小）于 0） 0)(xf 轴上方图像位于x a 0 0 轴下方图像位于x a xf 0 0 0)( 若二次函数对任意x都有)()(xtfxtf+=，则其对称轴是tx =。 第四章第四章 指数函数与对数函数指数函数与对数函数 1. 指数幂的性质与运算 4 （1）根式的性质： n为
10、任意正整数， nn a)(a= 当n为奇数时，aa nn =；当当n为偶数时，为偶数时，| aa nn = 零的任何正整数次方根为零；负数没有偶次方根。 （2） 零次幂：1 0 =a )0( a （3） 负数指数幂： n n a a 1 = ), 0( * Nna （4） 分数指数幂： nm n m aa= ) 1, 0( + nNnma且 （5） 实数指数幂的运算法则：), 0(Rnma nmnm aaa + = mnnm aa=)( nnn baba= )( 2. 幂运算时，注意将小数指数、根式都统一化为分数指数；一般将每个数都化为最小的一个数的n次方。 3. 幂函数 += += = ）上
11、单调递减，在（时，当 ）上单调递增，在（时，当 00 00 a a a xya xya xy 4. 指数与对数的互化：bNNa a b =log ) 10(aa且 、 )0(N 5. 对数基本性质： 1log=a a 01log= a Na N a = log NaN a =log 互为倒数与ab ba loglog a bab b aba log 1 log1loglog= b m n b a n am loglog= 6. 对数的基本运算： NMNM aaa loglog)(log+= NM N M aaa logloglog= 7. 换底公式： a N N b b a log log l
12、og= ) 10(bb且 8. 指数函数、对数函数的图像和性质 指数函数 对数函数 定 义 )1, 0(的常数=aaay x )1, 0(log的常数=aaxy a 图 像 5 性 质 (1) 0,yRx (2) 图像经过) 1 , 0(点 （3） 上为减函数。在 上为增函数；在 Raya Raya x x = = , 10 , 1 (1) Ryx , 0 (2) 图像经过)0 , 1 (点 （3） 上为减函数在 上为增函数；在 ), 0(log, 10 ), 0(log, 1 += += xya xya a a 9. 利用幂函数、指数函数、对数函数的单调性比较两个数的大小，将其变为同底、同幂
13、（次）或用换底公式或是利用 中间值 0，1 来过渡。 10. 指数方程和对数方程：指数式和对数式互化 同底法 换元法 取对数法 注：解完方程要记得验证根是否是增根，是否失根。 第五章第五章 数列数列 等差数列 等比数列 定 义 每一项与前一项之差为同一个常数 每一项与前一项之比为同一个常数 = 12 aadaaaa nn = 123 q a a a a a a n n = 12 3 1 2 )0( q 注：当公差0=d时，数列为常数列 注：等比数列各项及公比均不能为 0； 当公比为 1 时，数列为常数列 通项 公式 dnaan) 1( 1 += 1 1 = n n qaa 推 论 （1） mn
14、 aa d mn = （2）dmnaa mn )( += （3）若qpnm+=+，则 qpnm aaaa+=+ （1） m nmn a a q= （2） mn mn qaa = （3）若qpnm+=+，则 qpnm aaaa= 中项 公式 三个数cba、成等差数列，则有 2 2 ca bcab + =+= 三个数cba、成等比数列，则有 acb = 2 前n 项和 公式 d nn na aan S n n 2 ) 1( 2 )( 1 1 += + = q qaa q qa S n n n = = 11 )1 ( 11 （1q） 1. 已知前n项和 n S的解析式，求通项 n a = 1 1 nn n SS S a )2( ) 1( = n n 2. 弄懂等差、等比数通项公式和前n项和公式的证明方法。 （见教材） 第六章第六章 三角函数三角函数 1. 弧度和角度的互换 6 = o 180弧度 180 1 = o 弧度01745. 0弧度 1弧度1857) 180 ( oo =
