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1、 1 “匀速圆周运动”的典型例题“匀速圆周运动”的典型例题 【例【例 1】如图所示的传动装置中，a、b 两轮同轴转动a、b、c 三轮的半径大小的关系是 ra =rc=2rb当皮带不打滑时，三轮的角速度之比、三轮边缘的线速度大小之比、三轮边缘的向 心加速度大小之比分别为多少？ 2 【分析】【分析】皮带不打滑，表示轮子边缘在某段时间内转过的弧长总是跟皮带移动的距离相等， 也就是说， 用皮带直接相连的两轮边缘各处的线速度大小相等 根据这个特点， 结合线速度、 角速度、向心加速度的公式即可得解 【解】【解】由于皮带不打滑，因此，b、c 两轮边缘线速度大小相等，设 vb=vc=v由 v=r 得两 轮角速
2、度大小的关系 bc=rcrb=21 因 a、b 两轮同轴转动，角速度相等，即a=b，所以 a、b、c 三轮角速度之比 abc=221 因 a 轮边缘的线速度 va=ara=2brb=2vb， 所以 a、b、c 三轮边缘线速度之比 vavbvc=211 根据向心加速度公式 a=2r，所以 a、b、c 三轮边缘向心加速度之比 =842=421 【例【例 2】一圆盘可绕一通过圆盘中心 o 且垂直于盘面的竖直轴转动在圆盘上放置一木块， 当圆盘匀速转动时，木块随圆盘一起运动（见图），那么 3 a木块受到圆盘对它的摩擦力，方向背离圆盘中心 b木块受到圆盘对它的摩擦力，方向指向圆盘中心 c因为木块随圆盘一起
3、运动，所以木块受到圆盘对它的摩擦力，方向与木块的运动方向相 同 d因为摩擦力总是阻碍物体运动，所以木块所受圆盘对它的摩擦力的方向与木块的运动方 向相反 e因为二者是相对静止的，圆盘与木块之间无摩擦力 【分析】【分析】 由于木块随圆盘一起作匀速圆周运动， 时刻存在着一个沿半径指向圆心的向心加速 度，因此，它必然会受到一个沿半径指向中心、产生向心加速度的力向心力 以木块为研究对象进行受力分析：在竖直方向受到重力和盘面的支持力，它处于力平衡状 态在盘面方向，可能受到的力只有来自盘面的摩擦力（静摩擦力），木块正是依靠盘面的 摩擦力作为向心力使它随圆盘一起匀速转动所以，这个摩擦力的方向必沿半径指向中心
4、【答】【答】b 【说明】【说明】常有些同学认为，静摩擦力的方向与物体间相对滑动的趋势方向相反，木块随圆盘 一起匀速转动时， 时时有沿切线方向飞出的趋势， 因此静摩擦力的方向应与木块的这种运动 趋势方向相反，似乎应该选 d这是一种极普遍的错误认识，其原因是忘记了研究运动时所 4 相对的参照系 通常说做圆运动的物体有沿线速度方向飞出的趋势， 是指以地球为参照系而 言的 而静摩擦力的方向总是跟相对运动趋势的方向相反， 应该是指相互接触的两个相关物 体来说的，即是对盘面参照系也就是说，对站在盘上跟盘一起转动的观察者，木块时刻有 沿半径向外滑出的趋势，所以，木块受到盘面的摩擦力方向应该沿半径指向中心 【
5、例【例 3】在一个水平转台上放有 a、b、c 三个物体，它们跟台面间的摩擦因数相同a 的质 量为 2m，b、c 各为 ma、b 离转轴均为 r，c 为 2r则 a若 a、b、c 三物体随转台一起转动未发生滑动，a、c 的向心加速度比 b 大 b若 a、b、c 三物体随转台一起转动未发生滑动，b 所受的静摩擦力最小 c当转台转速增加时，c 最先发生滑动 d当转台转速继续增加时，a 比 b 先滑动 【分析】【分析】 a、 b、 c 三物体随转台一起转动时， 它们的角速度都等于转台的角速度， 设为 根 据向心加速度的公式 an=2r，已知 ra=rbrc，所以三物体向心加速度的大小关系为 aa=ab
6、a c a 错 三物体随转台一起转动时，由转台的静摩擦力提供向心力，即 f =fn=m2r，所以三物体受 到的静摩擦力的大小分别为 fa=ma2ra=2m2r， 5 fb=mb2rb=m2r， fc=mc2rc =m22r=2m2r 即物体 b 所受静摩擦力最小b 正确 由于转台对物体的静摩擦力有一个最大值， 设相互间摩擦因数为， 静摩擦力的最大值可认 为是 fm=mg由 fm=fn，即 得不发生滑动的最大角速度为 即离转台中心越远的物体，使它不发生滑动时转台的最大角速度越小 由于 rcra=rb，所以当转台的转速逐渐增加时，物体 c 最先发生滑动转速继续增加时，物 体 a、b 将同时发生滑动
7、c 正确，d 错 【答】【答】b、c 【例【例 4】如图，光滑的水平桌面上钉有两枚铁钉 a、b，相距 l0=0.1m长 l=1m 的柔软细线 一端拴在a上， 另一端拴住一个质量为500g的小球 小球的初始位置在ab连线上a的一侧 把 细线拉直，给小球以 2ms 的垂直细线方向的水平速度，使它做圆周运动由于钉子 b 的 存在，使细线逐步缠在 a、b 上 6 若细线能承受的最大张力 tm=7n，则从开始运动到细线断裂历时多长？ 【分析】【分析】小球转动时，由于细线逐步绕在 a、b 两钉上，小球的转动半径会逐渐变小，但小 球转动的线速度大小保持不变 【解】【解】小球交替地绕 a、b 作匀速圆周运动，
8、因线速度不变，随着转动半径的减小，线中张 力 t 不断增大，每转半圈的时间 t 不断减小 令 tn=tm=7n，得 n=8，所以经历的时间为 【说明】【说明】圆周运动的显著特点是它的周期性通过对运动规律的研究，用递推法则写出解答 结果的通式（一般表达式）有很重要的意义对本题，还应该熟练掌握数列求和方法 7 如果题中的细线始终不会断裂， 有兴趣的同学还可计算一下， 从小球开始运动到细线完全绕 在 a、b 两钉子上，共需多少时间？ 【例【例 5】如图(a)所示，在光滑的圆锥顶用长为 l 的细线悬挂一质量为 m 的小球，圆锥顶角为 2，当圆锥和球一起以角速度匀速转动时，球压紧锥面此时绳的张力是多少？
9、若要小 球离开锥面，则小球的角速度至少为多少？ 【分析】【分析】 小球在水平面内做匀速圆周运动， 由绳子的张力和锥面的支持力两者的合力提供向 心力，在竖直方向则合外力为零。由此根据牛顿第二定律列方程，即可求得解答。 【解】【解】对小球进行受力分析如图(b)所示，根据牛顿第二定律，向心方向上有 tsin-ncos=m2r y 方向上应有 nsin+tcos-g=0 8 r = lsin 由、式可得 t = mgcos+m2lsin 当小球刚好离开锥面时 n=0（临界条件） 则有 tsin=m2r tcos-g=0 【说明】【说明】本题是属于二维的牛顿第二定律问题，解题时，一般可以物体为坐标原点，
10、建立 x oy 直角坐标，然后沿 x 轴和 y 轴两个方向，列出牛顿第二定律的方程，其中一个方程是向 心力和向心加速度的关系，最后解联立方程即可。 【例【例 6】杂技节目中的“水流星”表演，用一根绳子两端各拴一个盛水的杯子，演员抡起杯 子在竖直面上做圆周运动，在最高点杯口朝下，但水不会流下，如下图所示，这是为什么？ 【分析】【分析】水和杯子一起在竖直面内做圆周运动，需要提供一个向心力。当水杯在最低点时， 水做圆周运动的向心力由杯底的支持力提供， 当水杯在最高点时， 水做圆周运动的向心力由 9 重力和杯底的压力共同提供。只要做圆周运动的速度足够快，所需向心力足够大，水杯在最 高点时，水就不会流下
11、来。 【解】【解】以杯中之水为研究对象，进行受力分析，根据牛顿第二定律 【例【例 7】如下图所示，自行车和人的总质量为 m，在一水平地面运动若自行车以速度 v 转 过半径为 r 的弯道（1）求自行车的倾角应多大？（2）自行车所受的地面的摩擦力多大？ 【分析】【分析】骑车拐弯时不摔倒必须将身体向内侧倾斜从图中可知，当骑车人拐弯而使身体偏 离竖直方向角时，从而使静摩擦力 f 与地面支持力 n 的合力 q 通过共同的质心 o，合力 q 与重力的合力 f 是维持自行车作匀速圆周运动所需要的向心力 【解】【解】（1）由图可知，向心力 f=mgtg，由牛顿第二定律有： 10 （2）由图可知，向心力 f 可
12、看做合力 q 在水平方向的分力，而 q 又是水平方向的静摩擦力 f 和支持力 n 的合力，所以静摩擦力 f 在数值上就等于向心力 f，即 f = mgtg 【例【例 8】用长 l1=4m 和长为 l2=3m 的两根细线，拴一质量 m=2kg 的小球 a，l1和 l2的另两端 点分别系在一竖直杆的 o1，o2处，已知 o1o2=5m 如下图（g10ms-2） （1）当竖直杆以的角速度匀速转动时，o2a 线刚好伸直且不受拉力求此时角速度1 （2）当 o1a 线所受力为 100n 时，求此时的角速度2 【分析】【分析】小球做圆周运动所需的向心力由两条细线的拉力提供，当小球的运动速度不同时， 所受拉力
13、就不同。 【解】【解】（1）当 o2a 线刚伸直而不受力时，受力如图所示。 则 f1cos=mg f1sin=mr12 11 由几何知识知 r=2.4m =37 代入式1=1.77（rad/s） （2）当 o1a 受力为 100n 时，由（1）式 f1cos=1000.8=80（n）mg 由此知 o2a 受拉力 f2。则对 a 受力分析得 f1cos-f2sin-mg=0 f1sin+f2cos= mr22 由式（4）（5）得 【说明】【说明】向心力是一种效果力，在本题中 o2a 受力与否决定于物体 a 做圆周运动时角速度的 临界值在这种题目中找好临界值是关键 12 例例 9一辆实验小车可沿水
14、平地面（图中纸面）上的长直轨道匀速向右运动，有一台发出细 光束的激光器装在小转台 m 上，到轨道的距离 mn 为 d=10m，如图所示。转台匀速转动， 使激光束在水平面内扫描，扫描一周的时间为 t=60s，光束转动方向如图箭头所示。当光束 与 mn 的夹角为 45时，光束正好射到小车上，如果再经过t=2.5s 光束又射到小车上，则 小车的速度为多少？（结果保留二位数字） 分析分析激光器扫描一周的时间 t=60s，那么光束在t=2.5s 时间内转过的角度 激光束在竖直平面内的匀速转动， 但在水平方向上光点的扫描速度是变化的， 这个速度是沿 经向方向速度与沿切向方向速度的合速度。 当小车正向 n
15、点接近时，在t 内光束与 mn 的夹角由 45变为 30 随着减小，v扫在减小若 45时，光照在小车上，此时 v扫v车时，此后光点将照到车前 但 v扫v车不变，当 v车v扫时，它们的距离在缩小。 13 解解在t 内，光束转过角度 如图，有两种可能 （1）光束照射小车时，小车正在接近 n 点，t 内光束与 mn 的夹角从 45变为 30，小 车走过 l1，速度应为 由图可知 l1=d(tg45- tg30) 由、两式并代入数值，得 v1=1.7m/s （2）光束照到小车时，小车正在远离 n 点，t 内光束与 mn 的夹角从 45为 60，小车 走过 l2速度为 由图可知 l2=d(tg60- tg45) 由、两代并代入数值，得 14 v2=2.9m/s 说明说明光点在水平方向的扫
