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1、等差数列知识点总结与基本题型一、基本概念1、等差数列的概念 （1）定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母表示。 （2）对于公差，需强调的是它是每一项与它前一项的差（从第2项起）要防止把被减数与减数弄颠倒。 （3）等差数列为递增数列 等差数列为常数列 等差数列为递减数列 （4）一个等差数列至少由三项构成。2、等差数列的通项公式 （1）通项公式：，（当时，等式也成立）； （2）推导方法：不完全归纳法：在课本中，等差数列的通项公式是由归纳而得，这种利用一些特殊现象得出一般规律的方法叫不完全归纳法。 迭
2、加法：也称之为逐差求和的方法：，上述式子相加，即。 迭代法：。 （3）通项公式的应用与理解 可根据的情况来分析数列的性质，如递增数列，递减数列等。 用于研究数列的图象。 ， （）时，是的一次函数，由于，因此，数列的图象是直线上的均匀排开的无穷（或有穷）个孤立点。 （）时，表示平行于轴的直线上的均匀排开的无穷（或有穷）个孤立点。不难得出，任意两项可以确定一个等差数列。 从函数知识的角度考虑等差数列的通项公式：，是关于的一次式，所以等差数列的通项公式也可以表示为（设）。 等差数列具有下列关系： （）数列中任意两项与，满足：或。 （）在等差数列中，若，则。3、等差数列的等差中项 （1）定义：如果成等
3、差数列，那么叫做与的等差中项。 （2）充要条件：成等差数列。 （3）推论：是等差数列。4、等差数列的主要性质 若，则。 是有穷等差数列，则与首末两项等距离的两项之和都相等，且等于首末两项之和，即。 若为等差数列，则，仍构成等差数列。 是等差数列，则仍成等差数列。 下标成等差数列且公差为的项：组成公差为的等差数列。 数列（为常数）是公差为的等差数列。二、基本题型例1、判断下列数列是否是等差数列： （1）；（2）。 分析：用定义去判断。 解：（1），数列是等差数列。 （2）由得，则，数列不是等差数列。 评注：如果判断一个数列为等差数列，需用定义去证明，但若一个数列不是等差数列，只要取特殊值说明即可
4、。例2、求等差数列的第20项。 解：，。例3、在等差数列中，已知，求与。 解：由题意知：解得。例4、已知为等差数列，且，求。 分析：有的同学习惯于数列等差数列，对于是等差数列就束手无策了，关键还是对定义理解不透彻。解：为等差数列，又，则。例5、等差数列中，已知，则 。 分析：利用等差数列的性质求解，或整体考虑问题，求出的值。 解法1：根据题意，有，则。而，因此，。 解法2：根据等差数列性质，可得。 评注：解法1设出了但并没有求出，事实上也求不出来，这种“设而不求”的方法在数学中常用，它体现了整体的思想，解法2实际上运用了等差数列的性质：若，则。例6、三个数成等差数列，它们的和等于9，它们的平方
5、和等于35，求这三个数。 分析：若设这三个数为，则需列三个方程；若根据等差数列的定义，设这三个数为，只需列两个方程，因此，采用后一种设法更好。 解：设这三个数为，由题意得解得，这三个数为，或。 评注：注意最终结果的写法，为了避免引起歧义，这三个数写出来时，就写成数列的形式。例7、等差数列中，求。 分析：由，直接列方程组；解出两个基本量和，这是常规解法，但比较麻烦，观察的下标，可以联想到成等差数列，利用等差数列的性质，必能提高解题速度。 解法1：，。 解法2：成等差数列，。例8、在与7之间顺次插入三个数，使这五个数成等差数列，则这个数列为 。 分析：此题可求出公差后，再逐项求解，也可以利用等差数列的性质求解。 解法1：设这几个数组成的等差数列为，由已知，。解得，所求数列为。 解法2：可利用等差数列，是的等差中项，是的等差中项，是的等差中项。即。 所求数列为。例9、设是公差为的等差数列，如果，那么（ ） A、 B、 C、 D、 解：。 评注：直接从所求入手，观察已知与未知的联系，将整体代入，使问题简单化。答案：D
