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1、第五章随机平均法在非线性随机动力学与控制的Hamilton理论中，拟Hamilton 系统的响应、稳定性、分岔、首次穿越及控制都是用平均It6方程 进行研究的，因此，拟Hamilton系统随机平均法是该理论的核心。 本章首先简要介绍随机平均原理，然后叙述Gauss白噪声激励下 拟Hamilton系统的随机平均，宽带随机激励下拟可积Hamilton 系统的随机平均以及在谐和与白噪声及有界噪声激励下单自由度 强非线性系统随机平均。关于古典随机平均法及其发展与应用参 见1-5。5.1随机平均原理随机平均原理是随机平均法的严格数学基础。本书中所发展 的拟HamUton随机平均法用到两种形式随机平均原理
2、，一是被经 常引用的Stratonovich-Khasminskii极限定理，该定理乃由 Stratonovich基于物理考虑提出，然后Khasminskii为该定理提 供了严格的数学提法与证明，Papanicolao与Kohle严贝II对该定理 作了改进与引申。该定理的数学提法较为一般，此处仅限于本书 用到的特殊形式。考虑含正小参数的规则随机微分方程X = ” (X, 0+(X,龙k (0(5.1-1)i = 1,2昇,； k =若函数/、緞满足诸如连续、有界之类在实际问题中几乎都能 满足的条件，生是零均值平稳随机过程，它们是宽带过程，或 其相关函数傀/O)随厂足够快(如快于产)衰减，或满足
3、强混合条件，则当T0时，在訂量级的时间区间上，X(f)弱收敛于 个维扩散Markov过程，其漂移与扩散系数为(X) = Z(X，0 + J； gji (*，t + rRkl dxjIt (5.1-2)% (x)=(匸 gik (x,隠(x, t + r)Rkl (v)d J式中汗恐土厂1(5丄3)为时间平均算子。(5.1-3)中只对显含之f积分。(5.1-2)中对厂积 分与对f平均时，被当作常数。当力、緞是(以7；为周期的周 期函数时，(5.1-3)化为(5.1-5)上述极限扩散过程可用下列平均It6随机微分方程描述：dXj =(X)力 + 入订(X)昭(0z = 1?2/ ，; I = 1?
4、2 、r式中妨(Z)为独立、单位Wiener过程，(5.1-6)mz(X) = mz.(x)|x=xb(X)b(X) = b(x)Lx注意，鉴于励分解为巧的非唯一性，厂可视具体情况取值。此外，已证刃，(5.1-1)中AV)的矩也收敛于(5.1-5)中相应矩。 在勺遍历时，上述收敛性在/T8时仍成立，因此，对足够小 的由(5.1-5)的稳定性与不变测度可推出(5.1-1)的相应性 质，即可用(5.1-5)近似代替(5.1-1)考察稳定性与平稳分布。当生是强度为小址的Gauss白噪声时，上述极限定理仍成立，此时(5.1-2)化为% (兀)=”(X, 0 + Dki 笃;Sji (兀,0 bij(x
5、) = Qd禺 kgtgjid,叽若进一步假定/.、緞不显含丫，则(5.1-7)化为叫(兀)= /(*) + Dki 气“ gji (*) bij(x) = 2Dklgik(x)gjl(x)(5.1-7)(5.1-8)第一式中的第二项即为Wong-Zakai修正项。本书中经常引用的另一随机平均原理是Khasminskii的另一 个定理。考虑It6随机微分方程dXt = 耳以,Y)dt +(X Y)dBk (/)厂= 1,2,sdYt. = Br (Xf Y)dt + Crk (X Y)dBk (/)(5.1-9)229X(0为维慢变过程，y(f)为S维快变过程。假定函数Fi、B八Gik、 6有
6、界，满足Lipschitz条件。弓I入随机过程严V),它满足It6随 机微分方程dY = Br (x, )dt + Crk (x, )dBk (0(5.1-10)其解是以兀为参数的s维扩散Markov过程。假定存在函数m,x)、 伽,使得z(nGYGYds-bx) 0时，在w 量级的时间区间上 池）弱收敛于n维扩散Markov过程，其漂移与扩散系数为“（X）与b.（x）,可用如下平均It6随机微分方程描述：dXt =叭（X）/ + 尹 X）dBk （0（5.1-12）z =1,2、n; 上= 1,2昇、m式中“(X) = mz(x)x=X(5.1-13) 233 5.2拟不可积Hamilton
7、系统的随机平均考虑Gauss白噪声激励下耗散的Hamilton系统（321）,其 等价It6随机微分方程为（3.2-6）。设阻尼力与随机激励强度同为 8阶小量，即叫=叽.% =沪叽（5.2-1）式中为一正小参数，m：j、込；为有限量。（3.26）可改写成s dHd Cz- d t1驾dP=+ W.(&P)|_QQ八dHdt + EWAQPIdBk (522)i,j = 2 ,;k = 2 ，m（5.2-2）称为拟Hamilton系统。弓I入小参数乃为便于引用上节 叙述的随机平均原理。在物理上，只要在振动一周中，随机激励 输入系统的能量与阻尼消耗的能量之差同系统本身能量相比为 小,即可视为拟Ha
8、milton系统。再设以H为Hamilton函数的Hamilton系统为不可积，即H 是与（522）相应的HamUton系统的唯一独立首次积分。弓【入变H=H(QQ(5.2-3)应用It6微分公式(261),可由(5.2-2)导得HamUton过程H(f) 所满足的It6随机微分方程(J dPj 迟 2 J 6PQPj 丿出 + 1/2 ikdBk(t) (5.2-4) oPi以(524)代替(5.2-2)中关于P的方程，并在(522)的其 余方程及(5.2-4)中，按(5.2-3)以H代替円。这组新方程形 同(5.1-9),的)，AU)，几为快变过程，而H(f)为慢变过 程。根据Khasmi
9、nskii定理在etO时，在訂量级时间区间 上，刊了)弱收敛于一维扩散过程。仍以丹表示这一极限扩散过 程，则支配该过程的平均It6随机微分方程形为dH = mH)dt + &(H)dB (5.2-5)式中帀、&按(5.1-11)与(5.1-13)计算，计算时须将H看成 常参数。由(5.2-2)的第一式，dt可代之以dQjdH/dPx). H为 常数条件下，其余Qi、只的运动可用相应Hamilton系统在等能量 面上运动近似。按19 对不可积Hamilton系统在等能量面上可作遍历假设，即H(q,p)=H为常数约朿下，系统状态以等概率分布 于等能量面上。于是，(5.1-11)中的平均可代之以空间
10、平均，即m(H) =1 丽dH dH 呱&Pj(5.2-6)1 r ( dH dH式中(527)*二(%皿虫2，：几)丨丹(介皿0卩2，：几)刃与(525)相应的平均FPK方程为(528)a(H) = m(Hb(H) = a2(H)(529)p = pg | Ho)为修正后HamUton过程的转移概率密度，相应初 始条件为(5.2-10)或p = pH.t)为修正后Hamilton过程的无条件概率密度，相应初 始条件为(5.2-11)边界条件取决于与(522)相应的Hamilton系统的性态与对系统 施加的约束。若H(f)可在0,oo)内变化，则边界条件为(5.2-12)=有限，H=0(5.2
11、-13)(5.2-12)表明，H不能小于零，乐0是一个反射边界。(5.2-12) 是一个定性边界条件，可据d(0)、b(0)之值从(5.2-8)导得定量 边界条件。(5.2-13)表明，无穷远处同为吸收与反射边界。此外, 卫还须满足归一化条件。FPK方程(5.2-8) 一般需数值求解，但它的平稳解极易求出p(H) = Cexp-2(H)(5214)式中db(u) du2a(u) b(u)(5.2-15)C_1 =j%xp-2(H)原系统(5.2-2)的广义位移与广义动量的平稳概率密度借变换(5.2-3)导出p(q, p) = p P2、ph)p(h)(5.2-6)意味着将(5.2-17)归一化
12、后代入(5.2-16),得pQpXpglT 叽卄dH切1dH和(5.2-16)(5.2-17)(5.2-18)对单自由度系统，上述拟不可积Hamilton系统随机平均退化 为能量包线随机平均匕上述拟不可积Hamilton系统随机平均法还可推广于如下更 般系统：dQDdt oPi合hdP.= W)+ ；(e，P) dtW;(Q,P)dBk(t) (5.2-19) OQioPj= 1,2,;k = 2mQ(0=1 时，(5219)化为(5.2-2)o 设以 H(q,p)为 Hamilton 函数 的Hamilton系统为不可积，则仍可由(5.2-19)导出平均It6方程 235 1=0 (H)xd
13、q-dqndp2-dpn1勿妙2炯(5.2-5)与平均FPK方程(5.28)，此时，漂移与扩散系数为 m(H) = a(H) dH dH 1、叫旳 Opj + 产6 OpQpj J(5.2-20)239式中仍由(527)确定。设(5.2-19)的平均FPK方程之平稳 解为p*(H),类似于(5.2-16) - (5.2-18)推导，得系统(5.2-19) 的近似平稳解H=H(q,p)(5.2-21)、Q同为量级。对该例,平均Ito方程(5.2-5 )+ %S/冷2 +垃/2切_(a)g (S/勺；p； + SJ；讣；)/pdqxdq2dp2式中(H)= L(1/P1)勿两2 血例5.2-1仍考虑例4.2-1中系统(q),其等价It6随机微分方 程为(d),设人、6Z.与平均FPK方程(5.2-8)中的漂移与扩散系数为J_(入 aQ)P + (A _2 a22)P2引入极坐标4 = S1 凶2 羽)Si 坷2 O 02 ) BH,0)d3)(d)式中R4a、1 +sin 24k cdxco2)R67a、sin 2i+61coxco2b16A(H,e)= HR2 HrA而/是下列方程之解:=0
