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1、第一章向虽代数习题11试证向虽加法的结合律，即对任意向虽6人C成立(a + A) + c = a + (A + c).证明：作向&AB = a.BCh.Cbc (如下图人则 (a + A) + c = (B + BC) + CD = JC + CD = 1Da + (h + c) = AB + (BC + CD) = AB + BD = AD故(a + b) + c = a + ( + c).2设a,久c两两不共线.试证顺次将它们的终点与始点相连而成一个三角形的充要条件 是 a + A + c = 0.证明：必要性，设的终点与始点相连而成一个三角形AABC.则a + b + c = AB +
2、BC + CA=i AC + CA = 44 = 0充分性，作向RAB = a.BCh.CD = c9由于0 = a + b + c = 7B + Jc + CD = AC + cb = 7b,所以点/与。重合，即三向址ag的终点与始点相连构成一个三角形。3 试证三角形的三中线可以构成一个三角形。证明：设三角形MBC三边AB.BC.CA的中点分别是D.E.F (如下图)，并且记BaAB.b = BC.cCA9则根据书中例1.1.1,三条中线表示的向呈分别是CD = g(c = (ac), BF = g(一a),所以，CD + lE + 5F = |(c-Z) + i(a-c) + i(/-a)
3、 = 0,故由上题结论得三角形的三中线CD.AE.BF可以构成一个三角形。4用向址法证明梯形两腰中点连线平行于上、下底且等于它们长度和的一半证明：如下图，梯形ABCD两腰BC.AD中点分别为E.F .记向呈AB = aFA = h,则DFb,而向虽帀 与丽共线且同向，所以存在实数20,使得DCAAB.现在7B = b + a,FC = -b+Aa.由于E是BC的中点，所以FE = 2(F + FG = g( + a + ) = *(l + 2)a = *(l + 2)/3.且| = |(1 + A)| = |(|+X|15|) = |(|B|+冈).故梯形两腰中点连线平行于上、下底且等于它们长
4、度和的一半。5.试证命题1.1.2。证明：必要性，设Q,伉c共而，如果其中有两个是共线的.比如是“,方，则a,线性 相关，从而a,b,c线性相关。现在设a,b,c两两不共线，则向址c可以在两个向址a,方上 的进行分解，即作以c为对角线，邻边平行于a#的平行四边形，则存在实数2,“使得 c = 2a + ,因而a、b,c线性相关。充分性，设a,b,c线性相关，则存在不全为零的数仇,2,他，使得A,a + V+A3c = 0o不妨设则向虽c可以表示为向虽a,方的线性组合，因此由 向虽加法的平行四边形法则知道向呈c平行于由向决定的平面，故a,c共面。6设/,B,C是不共线的三点，它们决定一平而口，则
5、点P在口上的充要条件是存在 唯一的数组（儿“芒）使得OP-AOA + /1OB + VOC,心、2 + “+一 1, （）其中，O是任意一点。P在AABC内的充要条件是（拿）与AO,O,vO同时成立。证明：必要性，作如下示慈图，连接4P并延长交直线BCR.则由三点民&C共线，存在唯一的数组人応使得OR = kOB + kfiC .并且+心=1。由三点A.PR共线，存在唯一的数组人上使得OP-I.OA + OR并且 h+W 于是 OPOA + OROA + IOB + lOC 设人=1“卩=1禹川=!禹,由殆*2,厶仏的唯一性知道（/“#）的唯一性，则OP = AOA + fiOB + vOCy
6、 且 2 + “+“ =人 +?2心 +*2 = 1。充分性.由已知条件有 = A+/iOB + vOC = AOA + pdB + （-A-p）dc=2（页一药）+朋面一呢）+药 =2乙5 +“両+药,得到丽= 25 +“丽，因而向&CP.CA.CB共面，即P在ABC决定的平面上。如果P在MBC内，则P在线段内，/?在线段3（?内，于是0心/2上丿21，如果（拿）成立且OMQ/avMI，则有CP = ACA + pCB.这说明点P在角ZACB内。同样可得到7p = /iAB + vAC9这说明点P在角ZBAC内。故P在 MBC 内。7在MBC中，点6E分别在边BC与CA9且BD =、BGCE
7、 =丄C4/Z）与BE交于R,试证1 4RD = -AD.RE = -BE.77证明：作如下示愆图，由三点BRE共线，存在斤使得CR = kCB + (lk)CE9由三点A.R.D共线，存 在/使得CR = lCA + (l-l)CD.由于=丄BC.CE = -CA.有CD = -CBE = -C 因而CR = kCB + -(lk)CAICA + -(ll)CB o 由于33332141向CA.CB不共线，所以/t = -(l-/),/ = -(l-A),解此方程组得Jl = -,/ = -oJ/由CR = CB + CE ,I I i 4 5i 4i i4ER = CR-CErCByCE_
8、CE =单 CB-CEWEB同理得到页=*页。故得RD = Ad、RE = *E.8用向址法证明MBC的三条中线交于一点P ,并且对任意一点O有丽=丄(OA + OB + OC).证明：设DEF分别是边AB.BC.CA的中点，则AE.BF交于一点P,连接CP.CD o 由 ARE 三点共线，存在/M史CP = kCF + Q7)CB = qkCA + Q-k)CB,由BRF三点共线.存在/使CP = /CE + (1 -/)C4 = -ICB + (1 -l)CA 9于是得11 2 1 1 -A = l-/,-/ = l-A,解得A = / = -o 从而有CP = -C5 + -C4.然而2
9、 2333CD = |c5 + |c3故C? = |c5,即CRD三点共线，MBC的三条中线交于一点P。1 1 任取一点O,由CP = -CB + -CA,得到3 3IIIOP-OC = -(OB-OCX-(OA-OC) 于是OP =-(OA + OB + OC).9.用向虽法证明四面体ABCD的对棱中点连线交于一点P 且对任奩一点O有IOP-(OA + OB + OCOD) 4证明：设四面体ABCD的棱AB. AC. AD的中点分别是BCD9.棱BC8DB的中点分别是E.FG 如下图。则对棱中点连线为B9F.CG.D9E .则容易知道CEWGC7? = |c5 = G.因此四边形CDGE是平
10、行四边形，CGQE相交且交点是各线段的中点。同理BFCG也相交于各线段的中点, 故bfcde交于一点P 由以上结论知道，对任盘一点O,由P是QE的中点，有 丽 =*（而 + 函 =（2页+ 而+ 疋+ *丽）.即 OP = -（OA + OB + OC + OD）.410.设4（212）是正/边形的顶点，o是它的中心，试证西 =0证明：设a = OA将正/边形绕着中心旋转弐。一方而向址a绕点0旋转了角度 fin乞而得到一个新的向虽d：另一方而，正边形绕着中心旋转竺后与原正/边形重合， nn因而向:ga没有变化。方向不同的向虽要相等只能是零向呈，故24=0-证法2：由于40 = 12）是正”边形
11、的顶点，0是它的中心 所以OA.+OA. = kOA.i = 1,2,其中An=Ax,A2=A2O 由三角不等式得到|冠+页二卜岡瓦v|鬲| + |页二胡页二|（山1,2,故有k2.所以（囲+ 0如）=2鬲=:送莎 由于冏2,所以囲 =011.试证：三点ABC共线的充要条件是存在不全为零的实数使得AOA + pOB + vOC = 0且兄+ “+ = 0其中，O是任意取定的一点。证明：必要性，如果三点ABC中至少有两点重合，比如重合，则04-0 = 0,所以结论成立。如果A.B.C互不重合，由例1.1.1知道三点ARC共线的充要条件是存在数&使得kOA + (k)OB-OC = 0,令2 =
12、则不全为零，有AOA + pOB + vOCa. 2 + +v = A+(l-A)-l = 0o充分性，设 WA + juOB + vOC = 0 且 2+“+ = 0,贝IJ2鬲+ “丽-(2 + “质=0, 2(04-OC)+n(OB-OC) = XCA + fiCB = 0.由于兄,“,不全为零，以及点o的任意性.可知兄，“不全为零，否则V也为零。所以不 妨设2*0 则刃=-2日“西，因而三点/,B,Q共线。习題1.21.给定直角坐标系，设P(x,y,z)，求P分别关于xOv平而.x轴与原点的对称点 的坐标。解：在直角坐标系下，点P(x,y,z)关于xOr平面，x轴与原点的对称点的坐标分
13、别 是(x,j,-z), (X,-y,-7)，2. 设平行四边形ABCD的对角线交于点P,设DM 丄DB(N = = CA.在仿射56标架匕孫乔下，求点几M,N的坐标以及向-&MN的坐标。AB解：作如下示意图,因为尸是03中点，所以AP-AB + -AD*下，点P.M.N的坐标分56沪+初）辭+評,3. 设a = (1,5,2)上=(0,-3,4),c = (-23-1)，求下列向址的坐标：(1) 2a b + c： (2) 3a + 2b + 4c o解：(1) 2a + c = 2(1,5,2)-(0，一3,4) + (-2,3l1) = (0,16l1)(2) 3a + 26 +4c =
14、 3(1,5,2) + 2(0,3,4) + 4(2,3,-1) = (11,-9,2).4. 判断下列各组的三个向虽a#,c是否共面？能否将c表示成“上的线性组合？若 能表示，则写出表示式。(1) a = (5.2.1),b = (-l，4,2),c = (-1,-1,5);(2) a = (6,4,2),b = (-9,6,3),c = (3,6,3)；(3) a = (1,2,-3XA = (-2,-4,6),c = (1,0,5).解：(1)设kxa + k2b + k3c = 即(5,2) +免(一 142) + 心(一1,-1,5) = 0,则有I5kl Ar2 k、=0,2,+4-A3=0,该方程组只有零解k严k产k、=0,所以三向虽不共面。k、+ 2k2 + 5k、= 0.(2)设 V + A26 + c = 0,即(6,4,2)+屁(_9,6,3)+心(一3,6,3) = 0,则有6k3k*=J(123细-3 斤2_心=0，4仇+6心+6& =0,该方程组等价于彳123 由此得到2+3心+3心=01123纽，只要他不为零，虫就不为零，所以三向虽共面。取y 乙J则AI=-i A2=-|,所以c = a +詁即c可表示成a#的线性组合匚(3)
