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1、09年北京市高考数学卷第19题探究南京市金陵中学 宋辉 210005摘要：本文探究2009年北京市高考数学卷第19题的一般结论，及一般结论的逆定理，并将其结论类比到椭圆中，得到相应的结论及几个有趣的推论.关键词：定值；类比；双曲线；椭圆；切线2009年全国高考北京市高考数学卷第19题已知双曲线C： 1（a0，b0）的离心率为，右准线方程为x.（1）求双曲线C的方程； （2）设直线l是圆O：x2 y22上的动点P（x0，y0）（x0y00）处的切线，l与双曲线C交于不同的两点A、B，求证AOB的大小是定值.略解 （1）双曲线C：x2 1； （2）AOB的大小是定值且为90.本文探究该问题的一般结
2、论：定理1 设双曲线C： 1（ba0），直线l是圆O：x2y2上的动点P（x0，y0）（x0y00）处的切线，l与双曲线C交于不同的两点A、B，则AOB的大小是定值且为90.证明 设 A（x1，y1）、B（x2，y2），令r2 .cosAOB .过切点P（x0，y0）的切线l的方程为 x0 xy0 y r2，且xy r2 .联立方程组：消去y得 （b2 y a2 x）x22a2 r2 x0 xa2 r4 a2 b2 y0 .0，x1x2，x1x2 .y1y2 .x1x2 y1y2 .由r2 ，得x1x2 y1y20 .故cosAOB0，即AOB90.显然北京市高考数学卷第19题是定理1的特殊情
3、况.将以上结论类比到椭圆有以下结论：定理2 设椭圆C： 1（ab0），直线l是圆O：x2y2上的动点P（x0，y0）（x0y00）处的切线，直线l与椭圆C交于不同的两点A、B，则AOB的大小是定值且为90.证明 设A（x1，y1）、B（x2，y2），令r2 .cosAOB .过切点P（x0，y0）的切线l的方程为：x0 xy0 y r2，且xy r2 .联立方程组： 消去y得（b2 ya2 x）x22a2 r2 x0 xa2 r4 a2 b2 y0 .0，x1x2，x1x2 .y1y2 .x1x2 y1y2 .由r2 ，得x1x2 y1y20 .故cosAOB0，即AOB90.定理3 设椭圆C
4、： 1 （ab0），若动直线l与椭圆C交于不同的两点A、B，且AOB90，则存在定圆O：x2y2与直线l相切.证明 设直线l：ymxn，A（x1，y1）、B（x2，y2）. 联立方程组： 消去y得（b2a2 m2 ）x22 mn a2 xa2n2a2b20 .x1x2，x1x2 .y1y2m2 x1x2mn（x1x2）n2 .由AOB90，得 x1x2 y1y20，即（1m2） mn n20 .化简得（a2b2）n2a2b2（1m2），即 ，若存在圆x2y2r2与直线l ：ymxn相切，则圆心（0，0）到直线l的距离d .故存在定圆O：x2y2与直线l相切.推论1 设椭圆C： 1 （ab0），
5、若动直线l与椭圆C交于不同的两点A、B，且AOB90，则原点到动直线l的距离为定值 .证明 略.定理4 设双曲线C： 1（(ba0），若动直线l与双曲线C交于不同的两点A、B，且AOB90，则存在定圆O：x2y2与直线l相切.证明 设直线l：ymxn，A（x1，y1）、B（x2，y2）. 联立方程组： 消去y得（b2a2 m2 ）x22 mn a2 xa2n2a2 b20 .x1x2，x1x2 .y1y2m2 x1x2mn（x1x2） n2 .由AOB90，得 x1x2 y1y20，即（1m2） mn n20 .化简得 （b2a2）n2a2b2（1m2），即 ，若存在圆x2y2r2与直线l ：ymxn相切，则圆心（0，0）到直线l的距离d .故存在定圆O：x2y2与直线l相切.推论2 设双曲线C： 1（(ba0），若动直线l与双曲线C交于不同的两点A、B，且AOB90，则原点到动直线l的距离为定值 .证明 略.通讯地址 南京市金陵中学 Email 邮 编 210005 电 话 13705196086 4
