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1、第五章 四边形,第28课时 菱 形 (8年5考，考则1道，5分),目 录,玩转北京8年中考真题,考点精讲,重难点突破,中考试题中的核心素养,玩转北京8年中考真题,1. (2017北京22题5分)如图，在四边形ABCD中，BD为一条对角线，ADBC，AD2BC，ABD90，E为AD的中点，连接BE. (1)求证：四边形BCDE为菱形； (2)连接AC，若AC平分BAD，BC1，求AC的长.,第1题图,(1)证明：在RtABD中，ABD90，点E为AD的中点， AEDEBE AD， 又AD2BC， DEBC， 又ADBC， 四边形BCDE为平行四边形， 又BEDE, 四边形BCDE为菱形；(2分)
2、,(2)解：如解图，连接AC， AC平分BAD， 12， 又ADBC， 13， 23， ABBC， 又AEBEBC， AB AEBE， ABE为等边三角形， BAE60，,第1题解图,在RtABD中，ADB90BAE30，12BAE30， 在菱形BCDE中，ADC2ADB60， ACD1801ADC 90， 又BC1， 在菱形BCDE中， CDBC1， 在RtACD中，AC CDtan ADC.(5分),2. (2018北京21题5分)如图，在四边形ABCD中，ABDC，ABAD，对角线AC，BD交于点O，AC平分BAD，过点C作CEAB交AB的延长线于点E，连接OE. (1)求证：四边形AB
3、CD是菱形； (2)若AB ，BD2，求OE的长.,第2题图,(1)证明：ABDC， ACDBAC. AC平分BAD， BACDAC， ACDDAC， ADCD. ADAB， ABCD. ABCD， 四边形ABCD是平行四边形,ABAD， 四边形ABCD是菱形；(2分) (2)解：四边形ABCD是菱形， ACBD，OB BD1，OAOC， OA 2. CEAB，OAOC， OE ACOA2.(5分),3. (2014北京19题5分)如图，在 ABCD中，AE平分BAD，交BC于点E，BF平分ABC，交AD于点F，AE与BF交于点P，连接EF、PD. (1)求证：四边形ABEF是菱形； (2)若
4、AB4，AD6，ABC60，求tanADP的值.,第3题图,(1)证明：在ABCD中， ADBC， DAEAEB， AE平分BAD， BAEDAE， AEBBAE， ABBE，,同理，AFBFBE， ABFFBE， AFBABF， ABAFBE， AFBE且AFBE， 四边形ABEF是平行四边形， 又ABAF， ABEF是菱形；(3分),(2)解：过点P作PHAD交AD于点H，如解图， ABC60， ABE和AEF是等边三角形， AP AE AB2， AHAPcos 601，PHAPsin 60 DHADAH615， tan ADP .(5分),4. (2019北京20题5分)如图，在菱形AB
5、CD中，AC为对角线，点E，F分别在AB，AD上，BEDF，连接EF. (1)求证：ACEF； (2)延长EF交CD的延长线于点G，连接BD交AC于点O.若BD4，tanG ，求AO的长.,第4题图,(1)证明：四边形ABCD是菱形，ABAD， BACDAC. ABAD，BEDF， ABBEADDF，即AEAF. AEF是等腰三角形 又BACDAC，ACEF；(2分),(2)解：由题意作解图如下，四边形ABCD是菱形， ACBD，ABCD，OB BD 42. GAEG. 由(1)知EFAC. 又BDAC. EFBD. AEGABO. GABO. tan G tan ABO . AOOBtan
6、ABO2 1.(5分),第4题解图,考向拓展,5. 如图，菱形ABCD中，作BEAD、CFAB，分别交AD于点E，交AB的延长线于点F. (1)求证：AEBF； (2)若点E恰好是AD的中点，AB2，求BD的值.,第5题图,(1)证明：四边形ABCD是菱形， ADBC， BAECBF. BEAD，CFAB， AEBBFC. 又ABBC， ABEBCF(AAS)， AEBF； (2)解：由题意知，BE垂直平分AD，即BE是AD的垂直平分线， 点B到线段AD两端点的距离相等， BDAB2.,考点精讲,【对接教材】北京版：八下第十五章P64P65，P69P70； 人教版：八下第十八章P55P58.,
7、菱形的性质,相等,平分,BD,菱形的判定,1. 有一组邻边相等的平行四边形是菱形； 2. 对角线互相垂直的平行四边形是菱形； 3. 四条边都相等的四边形是菱形.,重难点突破,例1 已知四边形ABCD为平行四边形，对角线AC、BD相交于点O.,(1)如图，添加一个条件使得四边形ABCD为菱形. 条件一： ； 【判定依据】_. 条件二： ； 【判定依据】_.,例1题图,(2)如图，已知点A、点C关于直线BD对称，点H为BC上的一点，且AC16，BD12. 在四边形ABCD中，BCD为 三角形，对角线AC、BD的位置关系为 _； 若BCODCO，点H为BC的中点，求OH的长； 若ABAD，则四边形A
8、BCD的面积为 ； 若ACBD，则四边形ABCD的周长为 ； 在的条件下，连接OH，若OHBC于点H，求cosCOH的值；,解：(1)ABAD； 邻边相等的平行四边形为菱形 ACBD； 对角线互相垂直的平行四边形为菱形 (2)等腰，垂直； 【解法提示】点A、点C关于直线BD对称，ACBD，平行四边形ABCD是菱形，CBCD，ACBD.BCD为等腰三角形，AC、BD的位置关系为垂直,当BCODCO时，由ADBC知BCOOAD， OCDOAD，DCDA， 平行四边形ABCD是菱形； ACBD， AC16，BD12， OC8，OB6.根据勾股定理可得BC 10. 点H为BC的中点，OH BC5.,9
9、6； 【解法提示】由题意知四边形ABCD是菱形，AC16，BD12，四边形ABCD的面积为 161296. 40 【解法提示】由题意知四边形ABCD是菱形，AC16，BD12，AOCO8，BODO6，BC 10，四边形ABCD的周长为41040.,练习 如图，在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AB5，AC6，BD8. (1)求证：四边形ABCD是菱形； (2)过点A作AHBC于点H，求AH的长.,练习题图,(1)证明：在ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AB5，AC6，BD8， AO AC3，BO BD4， AB5，且324252， AO2BO2AB2， AOB是直角三角形，且
10、AOB90， ACBD， 四边形ABCD是菱形；,(2)解：四边形ABCD是菱形， BCAB5， SABC ACBO BCAH， 64 5AH， 解得AH .,【满分技法】 1. 菱形判定的一般思路：若一个四边形是菱形，则必是平行四边形，故在判定一个四边形是菱形时，首先判断其是平行四边形，然后根据平行四边形的邻边相等，来判定其是菱形，这是判定菱形最基本的思路，同时也可以考虑其他判定方法，如四条边相等或对角线互相垂直平分； 2. 与菱形有关的计算常涉及下面几种： (1)求长度(线段长或者周长)时，应注意使用等腰三角形的性质：若菱形中存在一个顶角为60，则菱形被连接另外两点的对角线所割的两个三角形为等边三角形，故在计算时，可借助等边三角形的性质，同时也应注意使用勾股定理、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、含特殊角的直角三角形等进行计算；(2)求面积时，可利用菱形的两条对角线互相垂直，面积等于对角线之积的一半进行计算.,
