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1、（VR虚拟现实）VAR模型、协整和VEC模型_yukzVAR模型、协整和VEC模型1.VAR（向量自回归）模型定义2.VAR模型的特点3.VAR模型稳定的条件4.VAR模型的分解5.VAR模型滞后期的选择6.脉冲响应函数和方差分解7.格兰杰（Granger）非因果性检验8.VAR模型与协整9.VAR模型中协整向量的估计与检验10.案例分析1980年Sims提出向量自回归模型（vectorautoregressivemodel）。这种模型采用多方程联立的形式，它不以经济理论为基础。在模型的每一个方程中，内生变量对模型的全部内生变量的滞后项进行回归，从而估计全部内生变量的动态关系。1.VAR（向量
2、自回归）模型定义以两个变量y1t，y2t滞后1期的VAR模型为例，y1,t=c1+p11.1y1,t-1+p12.1y2,t-1+u1ty2,t=c2+p21.1y1,t-1+p22.1y2,t-1+u2t其中u1t,u2tIID(0,s2),Cov(u1t,u2t)=0。写成矩阵形式是，=+设Yt=,c=,P1=,ut=,则，Yt=c+P1Yt-1+ut(1.3)含有N个变量滞后k期的VAR模型表示如下：Yt=c+P1Yt-1+P2Yt-2+PkYt-k+ut,utIID(0,W)其中，Yt=(y1,ty2,tyN,t)，c=(c1c2cN)Pj=,j=1,2,kut=(u1tu2,tuNt
3、),不同方程对应的随机误差项之间可能存在相关。因VAR模型中每个方程的右侧只含有内生变量的滞后项，他们与ut是渐近不相关的，所以可以用OLS法依次估计每一个方程，得到的参数估计量都具有一致性。2.VAR模型的特点（1）不以严格的经济理论为依据。（2）VAR模型的解释变量中不包括任何当期变量。（3）VAR模型对参数不施加零约束。（4）VAR模型有相当多的参数需要估计。（5）VAR模型预测方便、准确（附图）。（6）可做格兰杰检验、脉冲响应分析、方差分析。（7）西姆斯（Sims）认为VAR模型中的全部变量都是内生变量。近年来也有学者认为具有单向因果关系的变量，也可以作为外生变量加入VAR模型。附：图
4、1油价与静态拟合值图2油价与静态拟合值3.VAR模型平稳（稳定）的条件对于VAR(1)，Yt=c+P1Yt-1+ut模型稳定的条件是特征方程|P1-lI|=0的根都在单位圆以内，或相反的特征方程|ILP1|=0的根都要在单位圆以外。对于k1的VAR(k)模型可以通过矩阵变换改写成分块矩阵的VAR(1)模型形式。Yt=C+AYt-1+Ut模型稳定的条件是特征方程|A-lI|=0的根都在单位圆以内，或其相反的特征方程|I-LA|=0的全部根都在单位圆以外。与单变量时间序列的情况类似，我们可以来考察VAR（p）的单位根的存在性。为了说明这个问题，首先让我们来看一个二元时间序列的VAR（1）模型。即有
5、当的根在单位圆上，则该序列是非平稳的。所以作为一个多变量的时间序列，其平稳的充分必要条件是根在单位圆之外。附：矩阵变换。给出k阶VAR模型，Yt=c+P1Yt-1+P2Yt-2+PkYt-k+ut再配上如下等式，Yt-1=Yt-1Yt-2=Yt-2Yt-k+1=Yt-k+1把以上k个等式写成分块矩阵形式，=+其中每一个元素都表示一个向量或矩阵。上式可写为Yt=C+AYt-1+Ut附：VAR模型的特征根4.VAR模型的分解以VAR(1)模型Yt=c+P1Yt-1+ut为例，用递推的方法最终可把Yt分解为三部分：Yt=(I+P1+P12+P1t-1)c+P1tY0+ut-i=(I-P1)-1c+P
6、1tY0+ut-i5. VAR模型滞后期的选择从原则上讲，我们应该从VAR模型的自相关函数和偏自相关函数的特征来考虑模型的识别问题，但是从实用的角度讲，要在多元情况下把ACF和PACF很直观的讲清楚，是一件不容易的事情，所以，在实际应用中，采用逐步升阶的方法，找出最恰当的模型阶数。假定我们已经估计了几个VAR(p)模型，阶数从1到k。现在我们可以来研究这些模型的残差的估计值。我们知道对一个AR模型来说，无谓的升阶，达到了非常小的残差，是以牺牲自由度为代价的。使二者达到一个最佳的平衡点的一个有用的标准就是Akaike和Schwarz信息准则函数，当然还有其它准则，我们一并列在下面。1 用F统计量
7、选择k值。F统计量定义为，F(m,Tk)2 用LR统计量选择k值。LR（似然比）统计量定义为，LR=-2(logL(k)-logL(k+1)3 用赤池（Akaike）信息准则(AIC)选择k值。AIC=-2+4用施瓦茨（Schwartz）准则(SC)选择k值。SC=-2+5用Hannan-Quinn信息准则选择k值。附：选择k值评价结果是建立VAR(2)模型。例在Eviews中VAR的估计的相关操作1、 选择Quick/EstimateVAR2、在Lagintervals对话框中键入方程右边滞后期数1212表示在方程的右边所有的变量均滞后两期。键入124599的意思是所有方程右边的变量滞后期数
8、为：12459。3、键入内生或外生变量名在适当的编辑框endogenous：内生变量框exogenous：外生变量框4、选择模型类型（Varspecification）UnrestrictedVAR（无约束向量自回归）VectorErrorCorrection（向量误差校正）5、在Includeintercept选择是否包含常数项6.VAR模型的脉冲响应函数和方差分解(1)脉冲响应函数:对于任何一个VAR模型都可以表示成为一个无限阶的向量MA()过程。Yt+s=Ut+s+Y1Ut+s-1+Y2Ut+s-2+YsUt+Ys=Ys中第i行第j列元素表示的是，令其它误差项在任何时期都不变的条件下，当
9、第j个变量yjt对应的误差项ujt在t期受到一个单位的冲击后，对第i个内生变量yit在t+s期造成的影响。把Ys中第i行第j列元素看作是滞后期s的函数,s=1,2,3,称作脉冲响应函数（impulse-responsefunction），脉冲响应函数描述了其它变量在t期以及以前各期保持不变的前提下，yi,t+s对uj,t时一次冲击的响应过程。(2)方差分解MSE()=E(Yt+s-)(Yt+s-)=W+Y1WY1+Y2WY2+Ys-1WYs-1（5）其中W=E(utut)。下面考察每一个正交化误差项对MSE()的贡献。把ut变换为正交化误差项vt。ut=Mvt=m1v1t+m2v2t+mNvN
10、tW=E(utut)=(m1v1t+m2v2t+mNvNt)(m1v1t+m2v2t+mNvNt)=m1m1Var(v1t)+m2m2Var(v2t)+mNmNVar(vNt)把用上式表达的W代入(5)式，并合并同期项，MSE()=则表示正交化的第j个新息对前s期预测量方差的贡献百分比。附：脉冲响应函数图1油价对3个误差项的响应图2油产量对3个误差项的响应图3油储量对3个误差项的响应附：方差分解图4油价的方差分解图5油产量的方差分解图6油储量的方差分解7.格兰杰（Granger）非因果性检验格兰杰非因果性：如果由yt和xt滞后值所决定的yt的条件分布与仅由yt滞后值所决定的条件分布相同，即(y
11、t|yt-1,xt-1,)=(yt|yt-1,)则称xt-1对yt存在格兰杰非因果性。格兰杰非因果性的另一种表述是其它条件不变，若加上xt的滞后变量后对yt的预测精度不存在显着性改善，则称xt-1对yt存在格兰杰非因果性关系。为简便，通常总是把xt-1对yt存在非因果关系表述为xt（去掉下标-1）对yt存在非因果关系（严格讲，这种表述是不正确的）。检验式（VAR模型方程之一）是H0:b1=b2=bk=0。检验可用F统计量完成。F(k,T-kN)注意：滞后期k的选取是任意的。（1）以xt和yt为例，如果xt-1对yt存在显著性影响，则不必再做滞后期更长的检验。（2）如果xt-1对yt不存在显著性
12、影响，则应该再做滞后期更长的检验。且结论相同时，才可以最终下结论。附：格兰杰非因果性检验结果8.VAR模型与协整（谢小燕版）一个简单的例子为了说明多维变量的协整关系，我们以一个一阶自回归过程为例讨论有关的问题。模型的等价形式为：其中。当，则，即。容易得到所有分量均为I（1），且没有协整关系；当Rank（）=n，对方程，因为其左边是平稳的序列，右边也应该是平稳序列，是满秩矩阵，故可见本生就是平稳序列。当，根据线性代数的结论，有阶列满秩矩阵和，使有包含个协整关系。该模型成为误差校正模型，我们看到模型在用进行校正。总结起来有三种情形：l 系数矩阵的秩为时，的分量间存在有个协整组合，有个组合仍为I(1
13、);l 系数矩阵的秩为n时，为I(0)向量;l 系数矩阵的秩为0时，为I(1)向量，且不存在任何协整关系。至此，我们已经发现，讨论多重协整关系的问题，归于讨论的秩。（张晓峒版）如果VAR模型Yt=P1Yt-1+P2Yt-1+PkYt-k+ut,utIID(0,W)的内生变量都含有单位根，那么可以用这些变量的一阶差分序列建立一个平稳的VAR模型。DYt=P1*DYt-1+P2*DYt-2+Pk*DYt-k+ut*（新）然而，当这些变量存在协整关系时，采用差分的方法构造VAR模型虽然是平稳的，但不是最好的选择。向量误差修正模型（VEC）的表达式是DYt=(P1+P2+Pk-I)Yt-1-(P2+P
14、3+Pk)DYt-1-(P3+Pk)DYt-2-PkDYt-(k-1)+ut令Gj=-,j=1,2,k-1，P=-G0-I=-I=P1+P2+PkI则上式写为DYt=PYt-1+G1DYt-1+G2DYt-2+Gk-1DYt-(k-1)+ut根据Granger定理，向量误差修正模型（VEC）的表达式是A(L)DYt=abYt-1+d(L)ut其中A(L)是多项式矩阵A(L)分离出因子(1-L)后降低一阶的多项式矩阵，d(L)是由滞后算子表示的多项式矩阵。Yt-k有如下三种可能。1当Yt的分量不存在协整关系，P的特征根为零，P=0。2若rank(P)=N（满秩），保证PYt-k平稳的唯一一种可能
15、是YtI(0)。3当YtI(1)，若保证PYt-k平稳，只有一种可能，即Yt的分量存在协整关系。例1：PYt-1=abYt-1=例2：设三个变量的VAR(1)的误差修正模型如下（含两个协整关系），=+代数形式是Dy1,t=-(1/2)y1,t-1-(1/8)y2t-1+(1/4)y2,t-1-(1/4)y3t-1+u1tDy2,t=(1/8)y1,t-1-(1/8)y2t-1(5/8)y2,t-1-(1/4)y3t-1+u2tDy3,t=(1/4)y1,t-1-(1/8)y2t-1+(3/8)y2,t-1-(1/4)y3t-1+u3t9.VAR模型中协整向量的估计与检验(张晓峒版)检验协整关系的零假设是H0:rk(P)r或P=ab统计量是LR=-2(l
