《2013版高中全程复习方略配套课件：选修4-5.2证明不等式的基本方法、数学归纳法证明不等式》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2013版高中全程复习方略配套课件：选修4-5.2证明不等式的基本方法、数学归纳法证明不等式（53页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第二节 证明不等式的基本方法、数学归纳法证明不等式,三年3考 高考指数: 1.了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法等. 2.理解数学归纳法的原理及其使用范围，会用数学归纳法证明一些简单问题; 3.理解会用数学归纳法证明贝努利不等式(1+x)n1+nx(x -1,x0,n为大于1的自然数).了解当n为大于1的实数时贝努利不等式也成立.,1.利用综合法、分析法证明不等式是高考的热点，且常与函数、三角、基本不等式联系在一起综合考查. 2.数学归纳法和放缩法常和数列问题综合考查，是高考对本节内容考查的重点，也是难点.,1.比较法 比较法是证明不等式最基本的方法，有作差比较法
2、和作商比较 法两种. (1)作差比较法的理论依据是ab ;a0, 1 ; b1 .,a-b0,a-bb,ab-1,则 的大小关系是_. 【解析】ab-1,a+1b+10, 0,a2a9, P= = =Q. 答案:PQ,3.反证法 （1）假设要证的命题_，以此为出发点，结合已知条 件，应用公理、定义、定理、性质等，进行正确的推理，得到 和_（或已证明的定理、性质、明显成立的事实 等）矛盾的结论，以说明假设不正确，从而证明_， 我们把它称为反证法. （2）证明步骤：反设推理归谬肯定原结论.,不成立,命题的条件,原命题成立,【即时应用】 (1)思考:若a,b,c(0,1),则(1-a)b,(1-b)
3、c,(1-c)a能否同 时大于 ? 提示:假设(1-a)b,(1-b)c,(1-c)a同时大于 , 即有(1-a)b ,(1-b)c ,(1-c)a , 三式同向相乘,得(1-a)a(1-b)b(1-c)c 又,(1-a)a(1-b)b(1-c)c 与假设矛盾. 故(1-a)b,(1-b)c,(1-c)a不能同时大于,(2)否定“自然数a、b、c中恰有一个为偶数”时正确的反设为_. 【解析】三个自然数的奇偶情况有“三偶、三奇、二偶一奇、二奇一偶”4种，而自然数a、b、c中恰有一个为偶数只包含“二奇一偶”的情况，故反设为a,b,c中至少有两个偶数或都是奇数. 答案:a,b,c中至少有两个偶数或都
4、是奇数,4.放缩法 （1）证明不等式时，通过把不等式中的某些部分的值_或 _，简化不等式，从而达到证明的目的，我们把这种方法 称为放缩法. （2）理论依据ab,bca_c.,放大,缩小,【即时应用】 (1)lg9lg11与1的大小关系是_; (2)设x0,y0， 则A与B的大小关系是_.,【解析】(1)lg90,lg110, lg9lg111. (2)x0，y0, AB. 答案:(1)lg9lg111 (2)AB,5.数学归纳法 当要证明一个命题对于不小于某正整数n0的所有正整数n都成立时，可以用以下两个步骤： 证明当_时命题成立； 假设当n=k(kN+,且kn0)时命题成立，证明_时命题也成
5、立. 在完成了这两个步骤后，就可以断定命题对于不小于n0的所有正整数都成立，这种证明方法称为数学归纳法.,n=n0,n=k+1,【即时应用】 （1）思考:数学归纳法中的n0一定是1吗？为什么? 提示:n0不一定是1,一般是指适合命题的第一个正整数，比如证明凸n边形的内角和f(n)=(n-2)180，这里面的n应不小于3，即n3(nN+)，第一个值n0=3.,(2)某个命题与正整数n有关，如果当n=k时该命题成立.那么可推导出当n=k+1时也成立.现已知n=12时，该命题不成立.那么可推得n=_时，该命题不成立. 【解析】n=12时，命题不成立.n=11时命题不成立.同理n=10、9、8、2、1
6、时命题均不成立. 答案：1、2、3、11,用比较法证明不等式 【方法点睛】 1.作差比较法 (1)作差比较法的一般步骤是：作差、变形、判断符号、得出结论.其中,变形整理是关键,变形的目的是为了判断差的符号,常用的变形方法有:因式分解、配方、通分、拆项、添项等. (2)若所证不等式的两边是整式或分式多项式时，常用作差比较法.,2.作商比较法 (1)作商比较法的一般步骤是：作商、变形、判断与1的大小关系,得出结论. (2)利用作商比较法时，要注意分母的符号. 【提醒】当不等式的两边为对数式时，可用作商比较法证明，另外，要比较的两个解析式均为正值，且不宜用作差比较法时，也常用作商比较法.,【例1】求
7、证： (1)当xR时，1+2x42x3+x2. (2)当a，b(0，+)时，aabb 【解题指南】第（1）小题的不等式为一元型的整式不等式，因此可考虑利用作差比较法证明；第（2）小题是幂指数型的不等式，可考虑采用作商比较法证明.,【规范解答】(1)方法一：(1+2x4)-(2x3+x2) =2x3(x-1)-(x+1)(x-1) =(x-1)(2x3-x-1) =(x-1)(2x3-2x+x-1) =(x-1)2x(x2-1)+(x-1) =(x-1)2(2x2+2x+1) =(x-1)22(x+ )2+ 0， 1+2x42x3+x2.,方法二：(1+2x4)-(2x3+x2) =x4-2x3
8、+x2+x4-2x2+1 =(x-1)2x2+(x2-1)20 1+2x42x3+x2.,(2) 当a=b时， =1. 当ab0时， 1， 0，则 1. 当ba0时，0 1， 0，则 1. 综上可知，当a、b(0，+)时，aabb 成立.,【互动探究】(1)在保持例（2）的条件下，若ab，试比较 (a2+b2)(a-b)与(a2-b2)(a+b)的大小. 【解析】(a2+b2)(a-b)-(a2-b2)(a+b) =(a-b)a2+b2-(a+b)2 =-2ab(a-b)， 又0ab， -2ab0，a-b0， -2ab(a-b)0， 即(a2+b2)(a-b)(a2-b2)(a+b).,(2)
9、在例1（2）的条件下，证明 【证明】 当a=b时， 1； 当ab0时，0 1， 0， 1; 当ba0时， 1， 0， 1， ,【反思感悟】1.利用作差比较法时,变形的目的在于判断差 的符号,而不必考虑差的值是多少.若遇到结果符号不能确定的 情况,这时要对差式进行分类讨论. 2.在作商比较中 1ab是不正确的,这与a,b的符号有关, 比如:若b0,由 1,可得ab,但若b0,则由 1得出的反 而是ab.也就是说,在利用作商比较法时,要对a、b的符号作出 判断.,【变式备选】1.求证:(x+1)(x2+ +1)(x+ )(x2+x+1). 【证明】因为(x+1)(x2+ +1)=(x+1)(x2+
10、x+1- ) =(x+1)(x2+x+1)- (x+1), (x+ )(x2+x+1) =(x+1- )(x2+x+1)=(x+1)(x2+x+1)- (x2+x+1). 作差得(x+1)(x2+ +1)-(x+ )(x2+x+1) =(x+1)(x2+x+1)- (x+1)-(x+1)(x2+x+1)+ （x2+x+1） = (x2+x+1)- (x2+x)= 0, (x+1)(x2+ +1)(x+ )(x2+x+1).,2.若实数x1，求证：3（1+x2+x4）（1+x+x2）2. 【证明】3（1+x2+x4）-(1+x+x2)2 =3+3x2+3x4-1-x2-x4-2x-2x2-2x3
11、 =2(x4-x3-x+1)=2(x-1)2(x2+x+1) = x1，从而（x-1）20,且 3（1+x2+x4）（1+x+x2）2.,用综合法或分析法证明不等式 【方法点睛】 1.综合法与分析法的逻辑关系 用综合法证明不等式是“由因导果”,分析法证明不等式是“执果索因”，它们是两种思路截然相反的证明方法.综合法往往是分析法的逆过程，表述简单、条理、清楚，所以在实际应用时，往往用分析法找思路，用综合法写步骤，由此可见,分析法与综合法相互转化，互相渗透，互为前提，充分利用这一辩证关系，可以拓宽解题思路，开阔知识视野.,2.分析法的应用 当所证明的不等式不能使用比较法，且和重要不等式、基本不等式
12、没有直接联系，较难发现条件和结论之间的关系时，可用分析法来寻找证明途径，使用分析法证明的关键是推理的每一步必须可逆.,【例2】（1）已知a,b,c0且互不相等,abc=1.试证明: （2）已知a+b+c=1,求证： 【解题指南】(1)由于a,b,c0,abc=1,故 故本题可考虑利用基本不等式解决. (2)不等式左边为两两乘积的形式,而已知条件是a、b、c和的形式,因此将已知式两边平方,可得出a、b、c两两积及a2、b2、c2和的式子，然后再利用平均不等式将a2+b2+c2转化为a、b、c的两两积之和，得所证不等式.,【规范解答】方法一：a,b,c0，且互不相等，abc=1. 即,方法二： 以
13、上三式相加，得 又a,b,c互不相等, ,方法三:a,b,c是互不相等的正数，且abc=1,(2)a+b+c=1,a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=1. 又a2+b22ab,b2+c22bc,c2+a22ca, 将以上三个不等式相加，得 2（a2+b2+c2)2(ab+bc+ca). a2+b2+c2ab+bc+ca. 1=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca ab+bc+ca+2ab+2bc+2ca =3(ab+bc+ca), ab+bc+ca,【反思感悟】本题条件中abc=1是解题的关键. 可以先利用“1”的代换，构造利用基本不等式的条件，然后 解决问题，也可以先利用基本不等式
14、，然后通过“1”的代换 来建立 与 之间的大小关系的.因此在综合 法中，每一个题设条件所反馈出来的“信息”，都是至关重要 的，也都有可能成为解题的突破口.,【变式训练】设a,b,c0,且ab+bc+ca=1. 求证:(1) (2) 【证明】(1)要证 由于a,b,c0, 因此只需证明(a+b+c)23. 即证:a2+b2+c2+2(ab+bc+ca)3, 而ab+bc+ca=1, 故需证明:a2+b2+c2+2(ab+bc+ca)3(ab+bc+ca). 即证:a2+b2+c2ab+bc+ca.,而这可以由ab+bc+ca =a2+b2+c2(当且仅当a=b=c时等号成立)证得. 原不等式成立
15、. (2) 在(1)中已证 因此要证原不等式成立,只需证明 即证 即证,而 (当且仅当a=b=c=33时等号成立). 原不等式成立.,【变式备选】(1)已知a0,b0,2ca+b. 求证： (2)已知a，b，m都是正数，并且ab.求证： 【证明】（1）方法一：（综合法） 因为a+b2c,所以a-2c-b. 又因为a0，所以a2-2ac-ab, 所以（a-c）2c2-ab,所以 所以 所以,方法二：（分析法） 要证 只需证 即证|a-c| 即证(a-c)2c2-ab，即证a2-2ac-ab. a+b2c，a-2c-b, 又a0,a2-2ac-ab显然成立. 故原不等式成立.,（2）方法一:分析法 要证原不等式成立， 只需证b(a+m)a(b+m) 只需证bmam 只需证ba 已知上式成立，所以原不等式成立.,方法二:综合法 因为ba,m是正数，所以bmam 两边同时加上ab得b(a+m)a（b+m） 两边同时除以正数b(b+m)得,用反证法证明不等式 【方法点睛】 1.适宜
