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1、精品资源备战高考押新课标全国卷第18题高考频度： 难易程度：题号考情分析考查知识点分值预测知识点第18题对于立体几何的解答题，在高考中常借助柱、锥体考查线面、平行与垂直，考查利用空间向量求二面角、线面角、线线角的大小，考查利用空间向量探索存在性问题及位置关系等，难度中等偏上空间线面的位置关系、二面角、线面角、线线角12预计2020年高考新课标全国卷第18题会考查立体几何问题，以平行关系、空间角为主线进行考查立体几何是高考考查的重要内容之一，一般分为两个问题，第一问考查空间线面位置关系的证明，第二问考查向量法求空间角的问题1（2019天津真题（理）如图，四棱柱ABCDA1B1C1D1中，侧棱A1
2、A底面ABCD，ABDC，ABAD，AD=CD=1，AA1=AB=2，E为棱AA1的中点（1）证明B1C1CE；（2）求二面角B1CEC1的正弦值（3）设点M在线段C1E上，且直线AM与平面ADD1A1所成角的正弦值为，求线段AM的长【答案】（1）见解析 （2） （3）【解析】（1）证明：以点A为原点建立空间直角坐标系，如图，依题意得A（0，0，0），B（0，0，2），C（1，0，1），B1（0，2，2），C1（1，2，1），E（0，1，0）则，而=0所以B1C1CE；（2）解：，设平面B1CE的法向量为，则，即，取z=1，得x=3，y=2所以由（1）知B1C1CE，又CC1B1C1，所以B1
3、C1平面CEC1，故为平面CEC1的一个法向量，于是=从而=所以二面角B1CEC1的正弦值为（3）解：，设 01，有取为平面ADD1A1的一个法向量，设为直线AM与平面ADD1A1所成的角，则=于是解得所以所以线段AM的长为2（2019北京真题（理）如图,在四棱锥中, 平面平面,.（1）求证:平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值；（3）在棱上是否存在点,使得平面？若存在, 求的值；若不存在, 说明理由.【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）存在，.【解析】试题分析：（）由面面垂直的性质定理知AB平面，根据线面垂直的性质定理可知，再由线面垂直的判定定理可知平面；（）取的中点，连结，以O为坐标
4、原点建立空间直角坐标系O-xyz，利用向量法可求出直线PB与平面PCD所成角的正弦值；（）假设存在，根据A，P，M三点共线，设，根据BM平面PCD，即（为平面PCD的法向量），求出的值，从而求出的值.试题解析：（）因为平面平面，所以平面.所以.又因为，所以平面.（）取的中点，连结.因为，所以.又因为平面，平面平面，所以平面.因为平面，所以.因为，所以.如图建立空间直角坐标系.由题意得，.设平面的法向量为，则即令，则.所以.又，所以.所以直线与平面所成角的正弦值为.（）设是棱上一点，则存在使得.因此点.因为平面，所以平面当且仅当，即，解得.所以在棱上存在点使得平面，此时.【考点】空间线面垂直的判
5、定定理与性质定理；线面角的计算；空间想象能力，推理论证能力【名师点睛】平面与平面垂直的性质定理的应用：当两个平面垂直时，常作的辅助线是在其中一个平面内作交线的垂线，把面面垂直转化为线面垂直，进而可以证明线线垂直(必要时可以通过平面几何的知识证明垂直关系)，构造(寻找)二面角的平面角或得到点到面的距离等.3（2019江苏真题（理）如图，在四棱柱中，侧棱底面，且点和分别为和的中点.（1）求证：平面；（2）求二面角的正弦值；（3）设为棱上的点，若直线和平面所成角的正弦值为，求线段的长.【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）【解析】如图，以为原点建立空间直角坐标系，依题意可得，又因为分别为和的中点，
6、得.（）证明：依题意，可得为平面的一个法向量，由此可得，又因为直线平面，所以平面（），设为平面的法向量，则，即，不妨设，可得，设为平面的一个法向量，则，又，得，不妨设，可得因此有，于是，所以二面角的正弦值为.（）依题意，可设，其中，则，从而，又为平面的一个法向量，由已知得，整理得，又因为，解得，所以线段的长为.考点：直线和平面平行和垂直的判定与性质，二面角、直线与平面所成的角，空间向量的应用.例1（2019重庆市真题）如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，平面， 在棱上（I）当时，求证平面（II）当二面角的大小为时，求直线与平面所成角的正弦值【答案】解：（）在平行四边形中，由，易知，2分又平面，
7、所以平面,，在直角三角形中，易得，在直角三角形中，又，可得，6分又，平面7分（）由（）可知,，可知为二面角的平面角，此时为的中点 9分过作,连结,则平面平面,作,则平面,连结,可得为直线与平面所成的角因为,所以12分在中，直线与平面所成角的正弦值大小为14分解法二：依题意易知，平面ACD以A为坐标原点，AC、AD、SA分别为轴建立空间直角坐标系，则易得2分，（）由有，4分易得，从而平面ACE7分()由平面，二面角的平面角又，则 E为的中点，即,9分设平面的法向量为则，令,得，11分从而，13分直线与平面所成角的正弦值大小为14分【解析】试题分析：（）在平行四边形中，由，易知， 2分又平面，所以
8、平面,，在直角三角形中，易得，在直角三角形中，又，可得.， 5分又，平面 6分（）由（）可知,，可知为二面角的平面角，此时为的中点. 8分过作,连结,则平面平面,作,则平面,连结,可得为直线与平面所成的角因为,所以. 10分在中，直线与平面所成角的正弦值为. 12分解法二：依题意易知，平面ACD以A为坐标原点，AC、AD、SA分别为轴建立空间直角坐标系，则易得，（）由有， 3分易得，从而平面 6分()由平面，二面角的平面角.又，则为的中点，即, 8分设平面的法向量为则，令,得， 10分从而，直线与平面所成角的正弦值为. 12分考点：本小题主要考查线面垂直的证明和线面角的求法，考查学生的空间想象
9、能力和运算求解能力.点评：解决空间立体几何问题可以用传统的方法证明也可以用向量方法来证明，用传统方法证明时，要把证明所用的定理的条件摆清楚，缺一不可，用向量方法时，运算量比较大.例2（2019山东高考模拟（理）如图，在直角梯形中，且，点是中点，现将沿折起，使点到达点的位置.（）求证：平面平面；（）若与平面所成的角为，求平面与平面所成锐二面角的余弦值.【答案】（）见证明；（）【解析】【分析】第（）问先证平面，由线面垂直证明面面垂直；第（）问先找垂直关系后建立空间直角坐标系，利用向量法求出两面的法向量，进而求所成二面角的余弦值.【详解】解：（）证明：，点是中点，四边形为平行四边形，又，平面，平面，
10、又平面，平面平面；（）由（）知平面，即为与平面所成的角，平面，为等腰直角三角形，故为等边三角形，取的中点，连结，则，平面，又平面，平面平面，又平面，平面，以为坐标原点，过点与平行的直线为轴，所在的直线为轴，所在的直线为轴建立空间直角坐标系如图，设，则，从而，设平面的一个法向量为，则由得，令得，又平面的一个法向量，则，所以，平面与平面所成锐二面角的余弦值为.【点睛】本题是一道立体几何综合题，考查面面垂直的证明及二面角的求解其中需注意：证明面面垂直，需先找线面垂直，即先证明其中一个平面内的一条直线垂直于另一平面内的两条相交直线；求解二面角的步骤：一是先建立空间直角坐标系，求出所需点或所求两面内的向
11、量的坐标；二是求两平面的法向量；三是利用法向量研究二面角的余弦值.1用向量法求异面直线所成的角（1）建立空间直角坐标系；（2）求出两条直线的方向向量；（3）代入公式求解，一般地，异面直线AC，BD的夹角的余弦值为.2用向量法求直线与平面所成的角（1）分别求出斜线和它所在平面内的射影直线的方向向量，转化为求两个方向向量的夹角(或其补角)；（2）通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角，取其余角就是斜线和平面所成的角3用向量法求二面角求二面角最常用的方法就是分别求出二面角的两个面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求
12、角是锐角还是钝角4平面所成的二面角为，则，如图，AB，CD是二面角l的两个面内与棱l垂直的直线，则二面角的大小如图，分别是二面角l的两个半平面，的法向量，则二面角的大小满足|cos|，二面角的平面角大小是向量n1与n2的夹角(或其补角)1（2020河北衡水中学（理）已知三棱锥（如图一）的平面展开图（如图二）中，四边形为边长等于的正方形，和均为正三角形，在三棱锥中：（I）证明：平面平面；（）若点在棱上运动，当直线与平面所成的角最大时，求二面角的余弦值. 图一图二【答案】（1）见解析（2）【解析】【分析】(1)设AC的中点为O,证明PO垂直AC,OB,结合平面与平面垂直判定,即可.(2)建立直角坐
13、标系,分别计算两相交平面的法向量,结合向量的数量积公式,计算夹角,即可.【详解】（）设的中点为，连接，.由题意，得，.因为在中，为的中点，所以，因为在中，所以.因为，平面，所以平面，因为平面，所以平面平面.（）由（）知，平面，所以是直线与平面所成的角，且，所以当最短时，即是的中点时，最大.由平面，所以，于是以，所在直线分别为轴，轴，轴建立如图示空间直角坐标系，则，.设平面的法向量为，则由得：.令，得，即.设平面的法向量为，由得：，令，得，即.由图可知，二面角的余弦值为.【点睛】本道题考查了二面角计算以及平面与平面垂直的判定,难度较大.2（2020山西期末（理）如图，在四面体中，平面，.，.M是的中点，P是的中点，点Q在线段上，且.（1）证明：；（2）若二面角的大小为60，求的大小.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】(1)以的中点为原点建立空间直角坐标系，设出C的坐标，然后算出和的坐标，证明即可；(2)算出平面的一个法向量，利用二面角的大小为60求出C的坐标即可.【详解】（1）证明：如图，取的中点O，以O为原点，所在
