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1、w .外文翻译多元回归模型的经验似然比检验作者：吴鑑洪，朱力行国籍：中国出处：高等教育新闻和施普林格出版社，2007年摘 要：本文提供了一些检验工具，检验多元回归模型，其中包括古典回归模型和时间序列自回归模型。在统计推理中，对于构建检验和置信领域，经验似然比法是一个众所周知的强大的工具。然而，对于模型检验，基于检验的单纯的经验似然（简称EL）并没有Wilks现象。因此，我们利用误差修正来构建基于EL的score 检验，然后得到一个非参数版本的Wilks定理。此外，利用EL和score 检验方法自身的有点，基于EL的score 检验有如下优良的特征：他们自我尺度不变并且可以检测备择以的速度上收敛
2、于零，这对于缺乏拟合度的检测来说也许是最快的速率；他们包括权函数这为我们提供了灵活地选择分数改善功效的性能，尤其是方向性备择。此外，当备择不具备方向性，我们建立渐进的自由分布最大最小值检验来检验这一大类的备择。最后，我们进行了模拟研究，并进行了实际数据分析。关键词：自回归；误差修正；经验似然比检验；最大最小值检验；多元回归1、引言假设有一个响应向量取决于一个协变向量其中，T代表转置。当预期值Y存在，我们可以将Y分解成一个X的向量函数和一个与X互不相关的干扰变量，如。当一个响应向量是未知的，平均值函数X可以根据平均散布误差标准来确定最优的Y值。大多数的文献都是致力于对回归函数的模型建立和统计分析
3、。一种比较流行的方法就是假设这个内含的模型是属于参数模型体系，用简明的方式来表示反应向量和协变向量的关系。因为存在着很多的竞争模型，所以为了防止得出错误的结论，模型的检验是非常重要的。 对于模型的检验，大多数文献资料都是针对一维反应向量的情况下的研究。本文将对其中一些成果进行回顾。对模型进行检验判断的技术主要有两种，一种是局部平滑法，另一种是整体平滑法。针对于前者，Hardle、Mammen 1（、Eubank和Hart 2提出了基于参数与非参数之间的对比来检测存在可能性情况的测试方法。参考文献3对此做了比较全面的分析。Aert, C laeskens 和Hart 4构造了以正交级数为基础的测
4、试，涉及对双变量回归嵌套模型的选择。Horowitz 和Spokoiny 5提出了一种自适应性检验。但是，这个检验需要对平均数m进行非参数性的估算并受到维数的影响。为了避免严重的维数问题，因此提出了一种基于残余标记的实证检验，它是全面平滑法的一种，见参考文献6-12。这种检验不需要非参数平滑，但与高频数的方法相比灵敏度要低。另外，Fan 和 Huang 13提出了一种适应性的Neyman检验方法 在现实中，一个协变向量可以同时决定多个响应向量是非常寻常的事。比如，在经济和金融里，多元时间序列变的越来越有用，吸引了大量的学者进行研究：详情见参考文献14。这种方法论经过一些修改能帮助所有一维响应向
5、量来解决多元回归模型。然而，对于现有的方法论的直接扩展都不能构成有力的检验。我们应该特别关注响应向量各个组成要素之间的关系，这在理论和实践上都是非常重要的。 在本论文中，我们创建了经验似然比检验，并且研究多元回归模型的渐近行为，其中包括传统回归和时间序列的自回归。在文献中，基于可能性的实证检验往往具有一些参数可能性的特点，比如Bartlett的可修正性原则和Wilks定理。参考文献18列出了简要的观点。我们试图利用实证可能性法和计分检验法的优势为回归模型和自回归模型创建以实证可能性为基础的计分检验法。我们要注意的是单纯的基于实证可能性的测试并不是Wilks现象。但是通过偏差修正的测试就是Wil
6、ks现象。此外，测试的结果往往有以下这些特征：在零假说的前提下，他们是渐近卡方，在一个参数比率下能发现所有可能性情况都趋向于零；他们是自我规模不变的，在有限的差异的情况下是不需要进行估计的；他们还包含了加权函数，能够灵活选择分数来加强动力性能，特别是在方向性的选择上。本论文的结构如下：第2部分是构建实证可能性比率和在零假说的情况下的渐近行为测验，并讨论了可能存在的其他选择。第3部分是经验似然比检验在时间序列自回归模型中的使用情况。第4部分是一些模拟实验和应用的实际数据的汇报。在附录中还提供了相关技术证明。2、检验统计量及其渐近性质2.1检验统计的建立假设这是一个取自人口的样本满足： 其中是一类
7、维变量，是一维响应向量，是一个维矢量值函数的定义在维欧氏空间和误差向量满足。在本文中，我们主要集中在模型检验。具体来说，空的假设是，() = m(, ) 对于一些而言,和替代是 : () = m(, ) 对于任何，那么是一个已知函数满足维的参数 和 其中 是参数 的维度 . 注意 公式 (1)的零假设条件下,从而得到方程对于任何对于任何k维矢量函数 的 X, 假定参数存在, 那些 “” 代表 分量相乘。 作为的检验过程一部分, 对未知参数的估计是不可避免的。作为我们的重点是对模型的检验，而非参数估计，最常用的非线性最小二乘估计量是用在检验统计的建立上。让 在零模型下为参数的近似值。对于每一个
8、( , ) 和 ( , ),其相应的导数 (在 上 ) 为( , ) 和 ( , ). 我们定义 并且 .首先，我们给出下面的一些假设条件： (A1) 在零假设条件下, 的单位根n的一致估计量。 对于任意单位根n 估计量 , as ,“ch” 代表造一个内集合的壁包（见（2）下面关于的定义）。是正定的，对于任意 B, 那么 B 是的邻域。(A2) (, ) 和m(, ) ar在的邻域都是连续可微的 , ,那么 其中导数拥有有限的三阶可导。(A3) 和 其中() 和 0 ( j = 1, . . . , k).(A4) 存在以下的期望,对于所有的 j, , , .备注 2.1 通过条件(A1)可
9、以推出公式（3）解的存在。其他的都是比较合适的，就象Zhu, Wu 和 Xu 他们讨论的一样。让 ， i=1,n, (2)那么 .基于权向量, 经验似然函数可以如下定义： 服从 , , .引入拉格朗日多项式， 通过以下的公式得到最理想的权重， 那么 (一个k维 向量) 有相面的公式决定 (3)那么, t 统计量 对 公式（1）的的零假设检验的经验对殊似然比统计量是 .定理 2.1 在满足零模型（1）和 假设 (A1)(A4)的条件下，当时统计量收敛于 。 那么 是自由度为k的卡方分布2.2 功效研究在这一部分，我们研究经验似然比检验的功效状态。考虑一个n阶模型序列 (4)其中 i = 1, 2
10、, . . . ,对于任意k维 X 的矢量函数和常数序列. 我们有如下结果.定理 2.2 在公式（4） 和 假设条件(A1)(A4)的情况下, 如果期望满足 , ,并也我们有如果 r (非零常数), 并且 如果 . ,那么 是一个无偏移的随机变量 拥有k的自由度 和, 从这个结果，可以看出经验似然比检验对于整体备择和局部备择来说是一致的，并以的速度拒绝原假设。它也可以检测备择以的速度无限趋近于0，对于缺乏拟合度的检验来说也许是最快速的速率。因此，这种基于EL 的score 检验对备择来说是非常敏感的。对于接受备择假设的幂的计算在比值为处拒绝原假设，我们可以从卡方分布上确定渐进p值。的渐进功效函
11、数是，是k维的标准正态分布函数，其中是分布的分位数。根据文献19中引理6.2.1，是单调函数。所以我们应当选择这样的权函数，它能使足够大从而可以得到最佳的检验。所以，对于定向备择，我们可以利用合理的权来得到一个强大的检验。在实践过程中，为了简便起见，我们可以选择偏离作为权以及相应得到的检验也是有效的，这在模拟过成中证明是正确的。当备择不是定向的，一个单一的权函数是没有用的，因为如果权没有适当选定，我们可能失去许多的功效。通常，我们可以得到这样的信息，一些模型可能含有或者近似备择假设。在这种情况下，当我们建立模型解决这类问题时，应当把可能的偏差用于计算。另外，如果在备择上没有置信是有效的，那么，
12、饱和的备择是适用的，然后omnibus 检验是用来解决这类问题的。众所周知，没有哪篇论文里提到用omnibus 检验来检验多元回归模型，尽管此如此，我们也看到在权丢失的情况下可以用omnibus 检验来检查饱和备择，这里也有关于备择的知识。因此，更重要的是，我们应当建立检验用来解决含有可能性备择的一大类问题考虑模型的序列：其中 ， ： （5）其中 是未知参数， 是已知可能存在的偏差， 相应的零假设模型 .接下来我们为作为 的函数定义一个最大最小值检验，其中 是一个标准范式 .结合公式 (4), 我们认为权向量 属于 , j = 1, . . . , d.得到 ,其中 是 一个 kd维拉格朗日多项式。 结合定理2.2的证明，在公式（5）的条件下，如果 n ， 当 r 其中，那么 当 ，其中 ，那么 ， 表
