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1、吉林市普通中学20192020学年度高中毕业班第四次调研测试文科数学一、选择题1.设集合,则( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】利用交集的定义可求得集合.【详解】,因此,.故选:B.【点睛】本题考查交集的计算,考查计算能力,属于基础题.2.复数,为虚数单位,则( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】利用复数的模长公式可求得结果.【详解】,因此,.故选:D.【点睛】本题考查复数模长的计算,考查计算能力,属于基础题.3.一组数据,的众数是,则这组数据的中位数是( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据众数的概念可以求出,再根据中位数的概念求解即
2、可【详解】解:因为数据,的众数是,所以,则这组数据的中位数是,故选:C【点睛】本题主要考查众数的概念和中位数的计算,属于基础题4.函数的图象在处的切线方程为( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】先求出切点的坐标和切线的斜率,再写出切线的方程.【详解】当x=1时,f(1)=-2+0=-2,所以切点为(1,-2),由题得,所以切线方程为y+2=-1(x-1),即:故选A【点睛】本题主要考查导数的几何意义和切线方程的求法,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.5.下列函数中,是奇函数且在其定义域上是增函数的是( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据
3、奇函数的定义及函数单调性的判断即可得出答案.【详解】对于A选项,反比例函数,它有两个减区间,对于B选项,由正切函数的图像可知不符合题意;对于C选项,令知,所以所以为奇函数,又在定义内单调递增,所以单调递增,所以函数在定义域内单调递增;对于D,令,则,所以,所以函数不是奇函数.故选:C【点睛】本题主要考查函数的单调性和奇偶性,属于基础题.6.执行如图所示的程序框图,若输入的值为3,则输出的值是( )A. 1B. 2C. 4D. 7【答案】C【解析】试题分析:第一次循环;第二次循环;第三次循环;结束循环,输出选C.考点:循环结构流程图【名师点睛】算法与流程图的考查,侧重于对流程图循环结构的考查.先
4、明晰算法及流程图的相关概念,包括选择结构、循环结构、伪代码,其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件,更要通过循环规律,明确流程图研究的数学问题,是求和还是求项.7.九章算术是我国古代第一部数学专著,它有如下问题:“今有圆堡我,周四丈八尺,高一丈一尺.问积几何?”意思是“今有圆柱体形的土筑小城堡,底面周长为4丈8尺,高1丈1尺,问它的体积是多少?”(注:1丈=10尺,取)( )A. 704立方尺B. 2112立方尺C. 2115立方尺D. 2118立方尺【答案】B【解析】【分析】根据题意,由底面圆周长,得到底面圆半径,再由体积公式求出其体积.【详解】设圆柱体底面圆半径为,高为,周长为.因
5、为,所以,所以 (立方尺).故选B项.【点睛】本题考查圆柱的底面圆半径、体积等相关计算,属于简单题.8.若抛物线的焦点是双曲线的一个焦点,则( )A. 2B. 4C. 8D. 16【答案】D【解析】【分析】分别求出抛物线的焦点及双曲线的一个焦点,由条件得.【详解】抛物线的焦点是,双曲线的一个焦点是,由条件得解得.故选:D.【点睛】本题考查抛物线与双曲线的性质,属于综合题,但是难度不大,注重基础知识点考查,属于简单题.9.在中,内角的对边分别为,则( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】先求得,然后利用正弦定理求得.【详解】因为,所以,所以.故选:C【点睛】本题考查解三角形,考查
6、运算求解能力.10.某单位去年的开支分布的折线图如图1所示,在这一年中的水、电、交通开支(单位:万元)如图2所示,则该单位去年的水费开支占总开支的百分比为( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由折线图找出水、电、交通开支占总开支的比例,再计算出水费开支占水、电、交通开支的比例,相乘即可求出水费开支占总开支的百分比.【详解】水费开支占总开支的百分比为.故选:A【点睛】本题考查折线图与柱形图,属于基础题.11.已知正方体的棱长为2,点在线段上,且,平面经过点,则正方体被平面截得的截面面积为( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】先根据平面的基本性质确定平面,然后利
7、用面面平行的性质定理,得到截面的形状再求解.【详解】如图所示:确定一个平面,因为平面平面,所以,同理,所以四边形是平行四边形.即正方体被平面截的截面.因为,所以,即所以由余弦定理得:所以所以四边形故选:B【点睛】本题主要考查平面的基本性质,面面平行的性质定理及截面面积的求法,还考查了空间想象和运算求解的能力,属于中档题.12.已知函数,若函数图象与直线至少有2个交点,则的最小值为( )A. 7B. 9C. 11D. 12【答案】A【解析】【分析】化简函数,根据函数性质,结合图象求解.【详解】函数,所以函数的最小正周期为,又图象与直线至少有2个交点,即函数在上至少存在两个最大值,如图,所以正整数
8、的最小值为7.故选:A【点睛】此题考查函数零点与方程的根相关问题,关键在于准确化简三角函数,根据函数性质结合图象求解.二、填空题13.已知向量,若,则实数等于_【答案】【解析】【分析】利用平面向量平行的坐标表示即可求解.【详解】因为,由平面向量平行的坐标表示可得,解得.故答案为:【点睛】本题考查平面向量平行的坐标表示;考查运算求解能力;属于基础题.14.若,满足约束条件,则的最小值为_【答案】【解析】【分析】先画出约束条件的可行域,再求出可行域中各角点的坐标,将各点坐标代入目标函数的解析式,分析后易得目标函数的最小值【详解】解:由约束条件得如图所示的三角形区域,令,显然当平行直线过点,时,取得
9、最小值为:;故答案为:【点睛】本题考查线性规划求最小值问题,我们常用几何法求最值.15.若,则等于_【答案】【解析】【分析】由条件可得tan的值,再利用二倍角的正切公式,即可求得结论【详解】,2(sin+cos)=sincossin=3costan=3tan2=故答案为【点睛】本题考查同角三角函数的关系,考查二倍角的正切公式,正确运用公式是关键16.如图(1),在圆锥内放两个大小不同且不相切的球,使得它们分别与圆锥的侧面、底面相切,用与两球都相切的平面截圆锥的侧面得到截口曲线是椭圆.理由如下:如图(2),若两个球分别与截面相切于点,在得到的截口曲线上任取一点,过点作圆锥母线,分别与两球相切于点
10、,由球与圆的几何性质,得,所以,且,由椭圆定义知截口曲线是椭圆,切点为焦点.这个结论在圆柱中也适用,如图(3),在一个高为,底面半径为的圆柱体内放球,球与圆柱底面及侧面均相切.若一个平面与两个球均相切,则此平面截圆柱所得的截口曲线也为一个椭圆,则该椭圆的离心率为_.【答案】【解析】【分析】根据题意可得椭圆的长轴长和短轴长,再代入离心率方程,即可得答案;【详解】如图所示,根据题意可得椭圆上的点到两个切点的距离等于,故答案为:.【点睛】本题考查数学文化、椭圆离心率的求解,考查函数与方程思想、转化与化归思想、数形结合思想,考查逻辑推理能力、运算求解能力.三、解答题17.在三棱柱中,为的中点.(1)证
11、明:平面;(2)若,点在平面的射影在上,且侧面的面积为,求三棱锥的体积.【答案】(1)见解析;(2).【解析】试题分析:(1)连接交于点,连接.利用中点可得,所以平面.(2)取中点,连接,过点作于,连接,利用等腰三角形和射影的概念可知平面,所以,所以平面,所以.利用侧面的面积可计算得三棱锥的高,由此可计算得三棱锥的体积.试题解析:(1)证明:连接交于点,连接.则为的中点,又为的中点,所以,且平面,平面,则平面.(2)解:取的中点,连接,过点作于点,连接.因为点在平面的射影在上,且,所以平面,平面,则.设,在中,由,可得.则 .所以三棱锥的体积为.18.在等差数列中,已知.(1)求数列的通项公式
12、;(2)设数列前n项和为.若,求n的值.【答案】(1)(2)【解析】分析】(1)根据已知条件求出数列的公差和首项即可得到通项公式;(2)利用裂项求和求出,根据等式解方程即可得解.【详解】(1)设数列的公差为d,因为,所以,解得,由,解得,所以(2)由(1)得,所以.令,解得.【点睛】此题考查等差数列基本量的计算,求解通项公式,利用裂项求和根据等式求解项数.19.一场突如其来的新冠肺炎疫情在全国蔓延,在党中央的坚强领导和统一指挥下,全国人民众志成城、团结一心,共抗疫情。每天测量体温也就成为了所有人的一项责任,一般认为成年人腋下温度(单位:)平均在3637之间即为正常体温,超过37.1即为发热。发
13、热状态下,不同体温可分成以下三种发热类型:低热:;高热:;超高热(有生命危险):.某位患者因发热,虽排除肺炎,但也于12日至26日住院治疗. 医生根据病情变化,从14日开始,以3天为一个疗程,分别用三种不同的抗生素为该患者进行消炎退热. 住院期间,患者每天上午8:00服药,护士每天下午16:00为患者测量腋下体温记录如下:抗生素使用情况没有使用使用“抗生素A”治疗使用“抗生素B”治疗日期12日13日14日15日16日17日18日19日体温()38.739.439.740.139.939.238.939.0抗生素使用情况使用“抗生素C”治疗没有使用日期20日21日22日23日24日25日26日体
14、温()38.438.037637.136.836.6363(1)请你计算住院期间该患者体温不低于39的各天体温平均值;(2)在18日22日期间,医生会随机选取3天在测量体温的同时为该患者进行某一特殊项目“项目”的检查,求至少两天在高热体温下做“项目”检查的概率;(3)抗生素治疗一般在服药后2-8个小时就能出现血液浓度的高峰,开始杀灭细菌,达到消炎退热效果.假设三种抗生素治疗效果相互独立,请依据表中数据,判断哪种抗生素治疗效果最佳,并说明理由.【答案】(1)39.55;(2);(3)“抗生素C”治疗效果最佳,理由见解析.【解析】【分析】(1)由表知,该患者共6天的体温不低于,由此能求出患者体温不低于的各天体温平均值(2)设恰有两天在高热体温下做“项目”检查;五天中三天都在高热体温下做“项目”检查,再根据和事件的概率公式计算可得;