《《金融数量分析 》第6章 随机模拟———概率分布与随机数》由会员分享，可在线阅读，更多相关《《金融数量分析 》第6章 随机模拟———概率分布与随机数（18页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第6章 随机模拟 概率分布与随机数,为X 的分布设X 为一随机变量,对任意实数x,定义 F(x)=P(Xx) 为X的分布函数。根据随机变量取值的特点,随机变量分为离散型和连续型两种。 若X为离散随机变量,其可能的取值为x1,x2, xn , ,称P(X=xi),i=1,2,n, 为X的概率函数(也称为分布列)。定义E(X )= (若存在)为X的数学期望(也称均值)。 若随机变量X 的分布函数可以表示为一个非负函数f (x)的积分,即F(x)= , 则称X 为连续型随机变量,称f (x)为X 的概率密度函数(简称密度函数)。定义E(X) = (若存在)为X 的数学期望。 定义var(X)=E X
2、-E(X)2 (若存在)为随机变量X 的方差。,6.1.1 概率分布的定义,6.1.2 几种常用概率分布,1. 二项分布 若随机变量X的概率函数为 则称X服从二项分布，记为XB(n, p)。其期望E(X)=np，方差var(X)=np(1p)。 这样一个实例就对应了一个二项分布，在n次独立重复试验中，若每次试验仅有两个结果，记为事件A和A（A的对立事件），设A发生的概率为p , n次试验中A发生的次数为X，则XB(n,p)。 2. 泊松分布 若随机变量X的概率函数为 则称X服从参数为的泊松分布，记为X0()。其期望E(X)=，方差var(X)=。,3. 离散均匀分布 若随机变量X的概率函数为
3、则称X服从离散的均匀分布。,4. 连续均匀分布 若随机变量X的概率密度函数为 则称X服从区间a,b上的连续均匀分布，记为XU(a,b)。其期 望 ，方差 通常四舍五入取整所产生的误差服从(0.5,0.5)上的均匀分布。在未指明分布的情况下，常说的随机数是指0,1上的均匀分布随机数。,5. 指数分布 若随机变量X的概率密度函数为 式中： 0为参数，则称X服从指数分布，记为XExp()。其期望E(X)=，方差var(X)=2。,6. 正态分布 若随机变量X的概率密度函数为 式中： 0,为分布的参数，则称X服从正态分布，记为XN(,2)。其期望E(X)=，方差var(X)=2。特别地，当=0, =1
4、时，称X服从标准正态分布，记为XN(0,1)。,正态分布具有以下几个重要特征： 密度函数关于x=对称，呈现出中间高、两边低的现象，在x=处取得最大值，如图1所示。 当的取值变动时，密度函数图像沿x轴平移，当的取值变大或变小时，密度函数图像变得平缓或陡峭。 若XN(,2)，则 这里F(x)为X的分布函数，(x)为标准正态分布的分布函数，在一般的概率论与数理统计课本中都提供(x)的函数值表。,图1 正态分布密度函数图,7. 2（卡方）分布 设随机变量X1, X2 , Xn 相互独立，且均服从N（0,1）分布，则称随机变量 所服从的分布是自由度为n的2分布，记作22(n)。卡方分布的密度函数图像如图
5、2所示。,图2 卡方分布密度函数图,8. t分布 设随机变量X与Y相互独立，X服从N（0,1）分布，Y服从自由度为n的2分布，则称随机变量 所服从的分布是自由度为n的t分布，记作tt（n）。 t分布的密度函数图像如图3所示。 9. F分布 设随机变量X与Y相互独立，分别服从自由度为n1与02的2分布，则称随机变量F= 所服从的分布是自由度为(n1,n2)的F分布，记作FF(n1,n2) 。 其中n1称为第一自由度，n2称为第二自由度。F分布的密度函数图像如图4所示。,图3 t分布密度函数图,图4 F分布密度函数图,.1.3 概率密度、分布和逆概率分布函数数值的计算,MATLAB统计工具箱中有这
6、样一系列函数，函数名以pdf三个字符结尾的函数用来计算常见连续分布的密度函数值或离散分布的概率函数值;函数名以cdf三个字符结尾的函数用来计算常见分布的分布函数值;函数名以inv三个字符结尾的函数用来计算常见分布的逆概率分布函数值;函数名以rnd三个字符结尾的函数用来生成常见分布的随机数;函数名以fit三个字符结尾的函数用来求常见分布的参数的最大似然估计和置信区间;函数名以stat四个字符结尾的函数用来计算常见分布的期望和方差;函数名以like四个字符结尾的函数用来计算常见分布的负对数似然函数值。,例1 求均值为1.234 5，标准差（方差的算术平方根）为6的正态分布在x=0,1,2,10处的
7、密度函数值与分布函数值。,例2 求标准正态分布、t分布、2分布和F分布的上侧分位数： 标准正态分布的上侧0.05分位数u0.05； 自由度为50的t分布的上侧0.05分位数t0.05(50)； 自由度为8的2分布的上侧0.025分位数20.025(8)； 第一自由度为7，第二自由度为13的F分布的上侧0.01分位数F0.01(7,13)； 第一自由度为13，第二自由度为7的F分布的上侧0.99分位数F0.99(13,7)。,先对上侧分位数的概念作一点说明，设随机变量22(n)，对于给定的00,为分布的参数，则称X服从正态分布，记为XN(,2)。其期望E(X)=，方差var(X)=2，特别地，当
8、=0, =1时，称X服从标准正态分布，记为XN(0,1)。,生成收益率服从正态分布的价格序列，首先生成服从正态分布的收益率序列，根据价格与收益率之间的关系，计算出相应的随机价格序列。 编写生成收益率服从正态分布的价格序列函数Price，函数语法如下： Price=RandnPrice(Price0,mu,sigma,N) 输入参数： Price0: 初始价格; mu: 正态分布均值; sigma:正态分布方差; N: 随机数个数。 输出参数： Price：收益率服从正态分布的价格序列。,6. 3.2 具体相关性的随机序列,在实际问题中，组合的价格是由多种资产构成，为测试策略的有效性就要生成多种
9、资产各自的价格序列，若假设每种资产的相关系数为零，就可以直接反复使用RandnPrice函数，但这样的模拟忽略了资产之间的相关性。如何生成收益率服从正态分布且具有一定相关性的随机价格序列？可引入RandnPriceWithCov函数。其语法为： Price=RandnPriceWithCov (Price0,mu,sigma,N) 输入参数： Price0: 初始价格，向量； mu: 正态分布均值； sigma:正态分布协方差矩阵； N: 随机数个数。 输出参数： Price：收益率服从正态分布的价格序列。,6. 4 带约束的随机序列,若我们使用模拟的方法求解投资组合的有效前沿面，就需要生成符合下述条件的随机数。 每组随机数的和为1； 每组随机数都必须大于等于0。 经典马可维兹均值方差模型为 式中：R=(R1,R2,Rn)T；Ri=E(ri)是第i种资产的预期收益率；X=(x1,x2,xn)T是投资组合的权重向量；=(ij)nn是n种资产间的协方差矩阵；Rp=E(rp)和2p分别是投资组合的期望回报率和回报率的方差。,
