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1、素养全练13二次函数的应用夯实基础 1.用长度为8 m的铝合金条制成如图所示的矩形窗框,那么这个窗户的最大透光面积为()A.256 m2B.83 m2C.2 m2D.4 m2答案B解析设宽为x m,则长为8-3x2 m,可得面积S=x8-3x2=-32x2+4x=-32x-432+83.当x=43时,S有最大值,最大值为83.故选B.2.(2019山东临沂)从地面竖直向上抛出一小球,小球的高度h(单位:m)与小球运动时间t(单位:s)之间的函数关系如图所示.下列结论:小球在空中经过的路程是40 m;小球抛出3 s后,速度越来越快;小球抛出3 s时速度为0;小球的高度h=30 m时,t=1.5
2、s.其中正确的是()A.B.C.D.答案D解析由图象知小球在空中达到的最大高度是40 m;故错误;小球抛出3 s之后,速度越来越快;故正确;小球抛出3 s时达到最高点即速度为0;故正确;设函数解析式为:h=a(t-3)2+40,把O(0,0)代入得0=a(0-3)2+40,解得a=-409.函数解析式为h=-409(t-3)2+40.把h=30代入解析式得,30=-409(t-3)2+40,解得t=4.5或t=1.5.小球的高度h=30 m时,t=1.5 s或4.5 s,故错误.故选D.3.(2019湖北襄阳)如图,若被击打的小球飞行高度h(单位:m)与飞行时间t(单位:s)之间具有的关系为h
3、=20t-5t2,则小球从飞出到落地所用的时间为 s.答案4解析依题意,令h=0得,0=20t-5t2,得t(20-5t)=0,解得t=0(舍去)或t=4,即小球从飞出到落地所用的时间为4 s.4.某县在治理违建的过程中,某小区拆除了自建房,改建绿地.如图,自建房占地是边长为20 m的正方形ABCD,改建的绿地是矩形AEFG,其中点E在AB上,点G在AD的延长线上,且DG=2BE.如果设BE的长为x(单位:m),绿地AEFG的面积为y(单位:m2),那么y与x的函数的解析式为,绿地AEFG的最大面积为m2.答案y=-2x2+20x+400(0x20)450解析设BE的长为x,绿地AEFG的面积
4、为y,由图形可得y=-2x2+20x+400(0x20),解析式变形为y=-2(x-5)2+450,所以当x=5时,y有最大值是450.5.(2019安徽合肥模拟)某实验器材专营店为迎接我市理化生实验的到来,购进一批电学实验盒,一台电学实验盒的成本是30元,当售价定为每盒50元时,每天可以卖出20盒.但由于电学实验盒是特殊时期的销售产品,专营店准备对它进行降价销售.根据以往经验,售价每降低3元,销量增加6盒.设售价降低了x(元),每天销量为y(盒).(1)求y与x之间的函数表达式;(2)总利润用W(元)来表示,请说明售价为多少元时获得最大利润?最大利润是多少?解(1)由题意可得,y=20+x3
5、6=20+2x,y与x之间的函数表达式是y=2x+20.(2)由题意得,W=(50-30-x)(20+2x)=(20-x)(20+2x)=-2(x-5)2+450.当x=5时,W有最大值450,当售价为45元,利润最大为450元.6.(2019安徽桐城月考)如图(1)是一个横断面为抛物线形状的拱桥,当水面宽AB为4 m时,拱顶与水面距离为2 m.(1)请你在图(2)中,建立适当的平面直角坐标系,使该抛物线拱桥的函数关系式符合y=ax2形式,并求此时,函数关系式;(2)当水面上升0.5 m时,求水面宽度.解(1)作AB的中垂线为y轴,过顶点O作y轴的垂线为x轴.抛物线顶点O(0,0),A(-2,
6、-2),B(2,-2).设抛物线表达式为y=ax2,将A(-2,-2)代入,得4a=-2,解得a=-0.5.所以抛物线解析式为y=-0.5x2.(2)水面上升0.5 m,y=-1.5,故-0.5x2=-1.5,解得x1=3,x2=-3,则水面的宽为3-(-3)=23(m).7.国际慢城,娴静高淳,景区内有一块矩形油菜花田地(数据如图示单位:m),现在其中修建一条观花道(阴影所示),供游人赏花.设改造后剩余油菜花地所占面积为y m2.(1)求y与x的函数表达式;(2)若改造后观花道的面积为13 m2,求x的值;(3)若要求0.5x1,求改造后剩余油菜花地所占面积的最大值.解(1)由题意可得:y=
7、(8-x)(6-x)=x2-14x+48(0x6.5,能安全通过隧道,答:这辆特殊货车能安全通过隧道.9.(2018福建)如图,在足够大的空地上有一段长为a米的旧墙MN,某人利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园ABCD,其中ADMN,已知矩形菜园的一边靠墙,另三边一共用了100米木栏.(1)若a=20,所围成的矩形菜园的面积为450平方米,求所利用旧墙AD的长;(2)求矩形菜园ABCD面积的最大值.解(1)设AD=x米,则AB=100-x2米,依题意,得:100-x2x=450.解得:x1=10,x2=90.因为a=20且xa,所以x2=90不合题意,应舍去.故所利用旧墙AD的长为10米.(2)设A
8、D=x米,矩形ABCD的面积为S平方米,则0xa,S=100-x2x=-12(x2-100x)=-12(x-50)2+1 250,若50a,则当a=50时,S最大=1 250;若0a50,则当0xa时,S随x的增大而增大,故当x=a时,S最大=50a-12a2.综上,当50a时,矩形菜园ABCD的面积的最大值是1 250平方米.当0a50时,矩形菜园ABCD的面积的最大值是50a-12a2平方米.10.(2019安徽合肥高新二模)国家支持大学生创新办实业,提供小额无息贷款,学生王亮享受国家政策贷款36 000元用于代理某品牌服装销售,已知该店代理的品牌服装的进价为每件40元,该品牌服装售量y(
9、件)与销售价x(元/件)之间的关系可用图中的一条线段(实线)来表示.(1)求日销售量y与销售价x之间的函数关系式,并写出x的取值范围;(2)该品牌服装售价x为多少元时,每天的销售利润W最大?且最大销售利润W为多少?(3)若该店应支付员工的工资为每人每天82元,每天还应支付其他费用为106元(不包含贷款).现该店只有2名员工,则该店至少需要多少天才能还清所有贷款?解(1)由图象可得,设日销售量y与销售价x之间的函数关系式为:y=kx+b,则有60=40k+b,24=58k+b,解得k=-2,b=140.故日销售量y与销售价x之间的函数关系式为:y=-2x+140(40x58).(2)依题意,设最大利润为W,则有W=(x-4)y=(x-4)(-2x+140)=-2x2+220x-5 600,整理得W=-2(x-55)2+450.抛物线开口向下,当x=55时,获得最大利润.故品牌服装售价x为55元时,每天的销售利润W最大,且最大销售利润W为450元.(3)由题意,设至少需要m天才能还清所有贷款,有450m-(82m2+106m)36 000,解得m200,故至少需要200天才能还清所有贷款.
