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1、四川师范大学本科毕业论文数学方法在量子力学中的运用 数学思想与量子力学的相碰撞学生姓名霍飞飞院系名称物理与电子工程学院专业名称物理学班 级2008级 2 班学 号2008070220指导教师侯邦品四川师范大学教务处二一二年五月数学方法在量子力学中的运用本科生：霍飞飞 指导老师：侯邦品 内容摘要：主要从下面来介绍数学方法在量子力学中的运用。1、假设的提出。先介绍法国徳布罗意提出实物粒子具有波动性，再介绍Bohr的量子理论中提出的两条基本假设，运用了简单的数学假设来进行验证。简化了复杂物理问题。2、利用数学统计来诠释波函数，运用了数学统计的方法完美的解释了波函数。3、态的线性叠加。从数学的角度来表
2、示波函数，波函数的线性叠加，引出了Shrdinger方程的线性性。4、符号的运用，简化运算和表达。 主要介绍算符的一般运算规则和在量子力学中的运用。5、矩阵在量子力学中的运用。介绍量子力学的矩阵形式。关键词： 数学方法 量子力学 数学 物理 Shrdinger方程 The use of mathematical methods in quantum mechanicsAbstract: Mainly from the following to introduce the use of mathematical methods in quantum mechanics .1, Assumptio
3、ns made . First introduced the DS Broken Italy , France proposed to the physical particles are volatile, and then introduce the two basic assumptions proposed by Bohr s quantum theory , the use of very simple mathematical assumptions , and then verify . Simplify the complex thought .2 , The use of m
4、athematical statistics to interpret the wave function . Mathematical statistics used in the wave function here to get the perfect explanation of physical phenomena combine .3, States of linear superposition. To represent the wave function from a mathematical point of view , the linear superposition
5、of the wave function , leads to the equations of linear Shrdinger .4, The use of symbols to simplify the calculation and expression. Introduces the general rules of operation of the operator in quantum mechanics . 5 , Matrix quantum mechanics. Describes the matrix form of quantum mechanics .Key Word
6、s: Mathematical methods Quantum mechanics Mathematics Physical Shrdinger equation目录引言41假设的运用51.1普朗克能量子假说51.2爱因斯坦光子假说71.3玻尔的基本假设71.4德布罗意假设72利用数学统计来诠释波函数82.1物质波的统计解释82.2测不准关系（不确定关系）102.3波函数123态的线性叠加133.1量子态及其表象133.2态叠加原理133.3线性方程144符号的运用154.1算符的引入154.2算符的一般运算规则165矩阵在量子力学中的运用195.1幺正变换195.2力学量的矩阵205.31本
7、征方程205.3.2薛定谔方程205.3.3平均值21参考文献：21后记22四川师范大学毕业论文任务书23四川师范大学毕业论文开题报告24四川师范大学毕业论文实施过程记录表27四川师范大学毕业论文评审表（指导教师用）30四川师范大学毕业论文评审表（评阅人用）31四川师范大学毕业论文答辩记录表32 引言亲爱的读者：如果看了这篇短小的引言，相信能够从这篇论文中读到你需要的知识，这样可以节约你的时间。希望你可以从中找到学习量子力学的途径，找到属于自己的方法去学习量子力学。阅读下面的章节可以跳跃的读，没有太大的困难，不懂的可以查阅一些关于量子力学参考书和数学参考书。由于自己的水平有限，所以难免有错误的
8、地方，希望不要太依赖书，不懂就要查阅其他书籍和自己动手看看是不是可以得出一样的结果。特别是量子力学的一些基本的方程只是提出来了，但没有仔细的去解答，如果有兴趣的，可以自己做个解答，再查阅相关的书籍，一般都有解答，不是所用的方法一样。所以不必一章一章的看下去，因为前后关联不大，主要是用数学的方法来解决量子力学中的问题使其明了容易理解。希望给学量子力学的同学一点小小的思路。因为数学是一个强大的工具，对于很多的领域都有很大的贡献。这份论文只是在探究数学方法对量子力学的作用，是对数学方法在量子力学中的运用的进一步说明。再者我很高兴能为学习量子力学的初学者提供一些小小的思路和见解，同时给予一定的启发。数
9、学是强大的工具，学好数学对于很多的领域都有很大的帮助。因此在读这篇论文时在于去了解其中所用到的数学思想。这才是重要的，把它当做一种参考和对基础量子力学的一种诠释。在此感谢所有帮助我的人和读者的支持。特别要感谢我的指导老师，他给予了我很大的帮助和支持。 霍飞飞 2012年3月26日数学方法在量子力学中的运用1假设的运用1.1普朗克能量子假说黑体定义：如果一个物体在任何温度下，对任何波长的电磁波都完全吸收，而不反射与透射，则称这种物体为绝对黑体，简称黑体。黑体是个理想化的模型。对于黑体，在相同温度下的辐射规律是相同的。图一 黑体模型 测量黑体辐射的实验原理图1700k1500k1300k图三 黑体
10、辐射数据表图二 黑体辐射原理图单色辐出度 M(T)即从热力学温度为T 的黑体的单位面积上、单位时间内、在单位波长范围内所辐射的电磁波能量。用M(T)表示辐出度 （1）瑞利-琼斯用能量均分定理电磁理论得出： （2）（其只适于长波段。）而维恩根据经典热力学得： （3）（此公式却只适于短波段。） 从上面的公式来看这是什么原因呢？不禁要思考为什么是这样的？什么样的公式才能综合两个，使其都适合，从数学的角度去思考去猜测。普朗克完成了这样的猜测，提出了普朗克常量。 普朗克的伟大成就开启了量子理论，1900年12月14日他在德国物理学会上，宣读了以关于正常光谱中能量分布定律的理论为题的论文，提出了能量的量子
11、化假设。这是物理学史上的一次巨大变革。从此结束了经典物理学一统天下的局面。劳厄称这一天为“量子论的诞生日”。 普朗克利用自己特有的数学敏感度得到了一下这个公式 （4）从下面的图形中可知与实验值惊奇的吻合。图四 黑体辐射的测量图当很小时1就可以得到维恩公式当很大时，因ex1+x 则可以得到瑞利-琼斯公式 辐射物体中包含大量谐振子其的能量可取值只能是某一最小能量单元 的整数倍，即：E=n , n=1,2,3,.叫能量子，n为量子数。频率为n 的谐振子，最小能量为：其中h=6.62610-34 Js为普郎克常数振子只能一份一份地按不连续方式辐射或吸收能量。 普朗克假说不仅圆满地解释了绝对黑体的辐射问
12、题，还解释了固体的比热问题等等。它成为现代理论的重要组成部分。1.2爱因斯坦光子假说 1905年，爱因斯坦对光的本性提出了新的理论，认为光不仅在与物质相互 作用时（发射和吸收）， 具有粒子性，而且在传播 过程中也有粒子性。光束可以看成是由微粒构成的粒子流，这些粒子流叫做光量子，简称光子。在真空中，光子以光速c 运动。一个频率为的光子具有能量由能量守恒可得出 （5）下面是光电效应的解释(1)饱和光电流强度与光强成正比：对于给定频率的光束来说，光的强度越大，表示光子的数目越多，光电子越多，光电流越大。(2) 红限频率的存在：当入射光频率低于红限频率n0，hnW不会有光电子逸出，只有当入射光的能量足
13、够大，电子才能克服逸出功而逸出金属表面。所以红限频率n =W/h(3) 截止电压与频率成线性关系 （4）光电效应的瞬时性：当电子一次性地吸收了一个光子后，便获得了的能量而立刻从金属表面逸出，没有明显的时间滞后。 1.3玻尔的基本假设 玻尔为了解决原子结构和原子光谱提出了他的两条基本假定，即 （1）定态假说：电子在原子中，可以在一些特定的圆轨道上运动，而不辐射电磁波，这时原子处于稳定状态（定态）并具有一定的能量。量子化条件：电子以速度v在半径为r的圆周上绕核运动时，只的电子角动量等于的整数倍的那些轨道才是稳定的其中n=1,2,3,.称为主量子数 （2）跃迁假设：当原子从从高能量的轨道跃迁到低能量的轨道上时，要发射能量为的光子：1.4德布罗意假设 徳布罗意在爱因斯坦波粒二象性的启发下，认为自然界在许多方面有对称性，宇宙是由实物粒子和光构成，实物粒子也应具有波粒二象性。以往，只注意光的波动性，而没有注意其粒子性，以至于黑体辐射、光电效应等不能解释。相反，以往对实物粒子只强调它的粒子性，而忽视了其波动性，以至于除氢原子外的复杂原子光谱（氢原子光谱的一些现象也不能完全解释）及一些更复杂的微观问题不能解释。由此，徳布罗意首先提出了实物粒子的波动性。一个质量为m的实物粒子以速率v 运动时，即具有以能量E和动量P所描述的粒子性，也具有以频率和波长所描述的波动性
