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1、古 希 腊 数 学 公元前600年600年,第二讲,数学作为一门有组织、独立的和理性的学科来说，在古希腊学者登场之前是不存在的。 -M克莱因,古希腊数学（公元前6世纪至公元6世纪）,特殊的地理位置与文化.社会制度,一、古希腊数学的先行者,伊奥尼亚学派创始人 古希腊最早的数学家、哲学家 “希腊七贤”之首,泰勒斯最先证明了如下的定理: 1.两直线相交，对顶角相等。 2.等腰三角形两底角相等。 3.圆被直径二等分。 4.半圆上的圆周角是直角。 -泰勒斯定理 5.两个三角形全等的边角边定理。,从泰勒斯开始，命题证明成为希腊数学的基本精神。,泰勒斯,公元前551前479年 精于哲学、数学、天文 学、音乐
2、理论,二、毕达哥拉斯学派,1毕达哥拉斯（Pythagoras）,希腊论证数学的另一位祖师,毕达哥拉斯学派创始人,信奉“万物皆数”,费洛罗斯曾说:“人们所知道的任何事物都包含数。因此，如果没有数就既不可能表达，也不可能理解任何事物。”,2勾股定理（毕达哥拉斯定理）,二、毕达哥拉斯学派,毕氏学派百牛大祭,法 国驴桥问题 中 国-商高定理,2002.8 国际数学家大会会徽,1972年星际飞船“先锋10号”带着 “出入相补图”飞向太空,欧几里得的证明原图,赵爽的“弦图”,二、毕达哥拉斯学派,3多边形数,?,案例1 从多边形数到棱锥数,正方形数,案例1 从多边形数到棱锥数,问题2（2006广东数学高考题
3、） 在德国不莱梅举行的第48届世乒赛期间，某商场橱窗里用同样的乒乓球成若干堆“正三棱锥”形的展品，其中第一堆只有一层，就一个球，第2、3、4 堆最底层（第一层）分别按图所示方式固定摆放，从第二层开始，每层的小球自然垒放在下一层之上，第 n 堆第 n 层就放一个乒乓球，以 f(n) 表示第 n 堆的乒乓球总数，则 f (3) =_， f (n) =_。,案例1 从多边形数到棱锥数,后期毕达哥拉斯学派数学家尼可麦丘在算术引论中将多边形数推广到立体数。前四个三棱锥数为 1 1+3 1+3+6 1+3+6+10,二、毕达哥拉斯学派,4不可公度,万物皆数,兴趣和实际应用,若想预见数学的未来，正确的方法是
4、研究它的历史和现状。 H彭加勒,无理数的发现第一次数学危机 大约公元前世纪，不可通约量的发现导致了毕达哥拉斯悖论。 第一次数学危机对古希腊的数学观点有极大冲击。这表明，几何学的某些真理与算术无关，几何量不能完全由整数及其比来表示，反之却可以由几何量来表示出来，整数的权威地位开始动摇，而几何学的身份升高了。危机也表明，直觉和经验不一定靠得住，.并由此建立了几何公理体系，这不能不说是数学思想上的一次巨大革命！,无穷小是零吗？第二次数学危机 18世纪，微分法和积分法在生产和实践上都有了广泛而成功的应用，大部分数学家对这一理论的可靠性是毫不怀疑的。贝克莱悖论。他指出：“牛顿在求xn的导数时，采取了先给
5、x以增量，应用二项式（x+0）n，从中减去xn以求得增量，并除以以求出xn的增量与x的增量之比，然后又让消逝，这样得出增量的最终比。这里牛顿做了违反矛盾律的手续先设x有增量，又令增量为零，也即假设x没有增量。”他认为无穷小dx既等于零又不等于零，召之即来，挥之即去，这是荒谬，“dx为逝去量的灵魂”。无穷小量究竟是不是零？无穷小及其分析是否合理？由此而引起了数学界甚至哲学界长达一个半世纪的争论。导致了数学史上的第二次数学危机。,悖论的产生-第三次数学危机 数学史上的第三次危机，是由1897年的突然冲击而出现的，到现在，从整体来看，还没有解决到令人满意的程度。这次危机是由于在康托的一般集合理论的边
6、缘发现悖论造成的。由于集合概念已经渗透到众多的数学分支，并且实际上集合论成了数学的基础，因此集合论中悖论的发现自然地引起了对数学的整个基本结构的有效性的怀疑。,三 欧几里得与原本,欧几里德(约公元前300年，古希腊数学家)是古代希腊最负盛名、最有影响的数学家之一，他是亚历山大里亚学派的成员。编撰旷世巨著 -几何原本(Elements)共有13卷。 这一著作对于几何学、数学和科学的 未来发展，对于西方人的整个思维 方法都有极大的影响。几何原本 的主要对象是几何学， 建立了第一个数学理论体系 几何学。 标志着人类科学研究的公理化方法 的初步形成.,原本共十三卷，其中第一、三、四、六、十一和十二卷，
7、是我们今天熟知的平面几何和立体几何的知识，其余各卷则是数论和（用几何方法论证的）初等代数知识。全书证明了465个命题。,公设： （1） 从任一点到任一点作直线是可能的。 （2） 把有限直线不断循直线延长是可能的。（注意，这里所谓的直线，相当 于今天我们所说的线段。） （3） 以任一点为中心和任一距离为半径作一圆是可能的。 （4） 所有直角彼此相等。 （5） 若一直线与两直线相交，且若同侧所交两内角之和小于两直角，则两直 线无限延长后必相交于该侧的一点（现今称为平行公理）。,原本的公理化体系：全书先给出若干条定义和公理，再按由简到繁的顺序编排出一系列的定理(465个命题)。使整个几何知识形成了一
8、个演绎体系,公理： （1） 跟一件东西相等的一些东西，它们彼此也是相等的。 （2） 等量加等量，总量仍相等。 （3） 等量减等量，余量仍相等。 （4） 彼此重合的东西是相等的。 （5） 整体大于部分。 从现代公理化方法的角度来分析，原本的公理化体系 存在着以下一些缺陷。 没有认识到公理化的体系一定建立在一些原始概念上 原本的公理集合是不完备的，这就使得欧几里得在推导命题过程中，不自觉地使用了物理的直观概念. 但是建立在图形直观上的几何推理肯定是不可靠的,欧几里德的原本手稿失传 西方最早印刷教学书 -1842年原本印刷于意大利威尼斯 原本在西方流传仅次于圣经 中国的传入 -明末1606年徐光启，意大利传教士利玛窦共同翻译,数学之神-阿基米德 公元前287年，阿基米德诞生于西西里岛的叙拉古(今意大利锡拉库萨)。他出生于贵族，与叙拉古的赫农王有亲戚关系，家庭十分富有。阿基米德的父亲是天文学家兼数学家，学识渊博，为人谦逊。他十一岁时，借助与王室的关系，被送到古希腊文化中心亚历山大里亚城去学习。,1.平衡法 2.穷竭法 3.阿基米德螺线,
