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1、分院名称：学生学号：本科毕业论文（设计）（理工类）题 目： 算术基本定理及其应用 专 业： 数学与应用数学 作 者 姓 名： 指导教师姓名： 指导教师职称： 20年 5 月 w目 录承诺保证书I1 算术基本定理的讨论 12 算术基本定理及其证明1 2.1 算术基本定理2 2.1.1 算术基本定理内容2 2.1.2 算术基本定理证明2 2.2 正整数n的正约数的个数及正约数的和 33 算术基本定理的应用3 3.1 涉及正因数个数方面的应用4 3.2 涉及互质、整除方面的应用9 3.3 涉及其他方面的应用114 算术基本定理的延拓13参考文献15英文摘要16算术基本定理及其及其应用摘要：算术基本定
2、理是初等数论中一条非常基本和重要的定理，它把对自然数的研究转化为对其最基本的元素素数的研究.它所体现的唯一因数分解的思想，在现代交换环理论中起着重要的作用.唯一因子分解的思想从本质上讲是指以下两种性质：“存在性和唯一性”.文中剖析了算术基本定理的含义,证明了算术基本定理,并通过实例讨论了算术基本定理涉及到正因数个数、互质及整除，以及涉及到算术基本定理方面的应用,使我们对算术基本定理更加熟悉并能熟练的应用它解决问题.关键词：算术基本定理 唯一因子分解 存在性 唯一性在高中阶段,我们早已步入了“算术基本定理”的世界,它是那么的神秘莫测,让人难以琢磨,但他又是在数学领域中我们不可缺少的帮手.算术基本
3、定理是经过知识不断发展起来的一门科学,算术是素数基本概念的推广.我们知道算术是素数与素数之间的关系,我们真可感觉到素数已经让我们感到头痛了,可想而知算术的难理解程度,显而易见它的应用将是一个更高的台阶.但通过学习算术使我认识了一个“新朋友”,它就是“算术基本定理”.有了这个定理之后,使我轻松的解决了很多关于算术基本定理的一系列问题,使我在有关这个定理方面有了更好的了解.1 算术基本定理的讨论大约公元前350年，欧几里得在他伟大的十三卷著作原本中，用了许多篇幅来讨论素数.特别是他证明了每一个比1大的数（即每个比1大的正整数）要么本身是一个素数，要么可以写成一系列素数的乘积，如果不考虑这些素数的在
4、乘积中的顺序，那么写出来的形式是唯一的.例如：14=27，21=37，等等。等号右边的表达式分别是数14与21的“素数分解”.这样我们能把欧几里得的结果表达为：每一个大于1的计数数要么是素数，要么具有唯一的（次序变化不计）素数分解.这个事实被称为算术基本定理.算术基本定理是初等数论中一条非常基本和重要的定理，它把对自然数的研究转化为对其最基本的元素素数的研究.它所体现的唯一因数分解的思想，在现代交换环理论中起着重要的作用，唯一因子分解的思想从本质上讲是指以下两种性质：“存在性和唯一性”.所谓“存在性”就是指一个因素可以分解为有限多个不可约因子的乘积；“唯一性”是指这种分解表示在某种意义上来说是
5、唯一的.唯一因子分解的思想最初作为一个自然数的性质而出现，这个性质就是通常所说的算数基本定理.2 基础知识2.1 算术基本定理 2.1.1算术基本定理内容 每个大于1的正整数均可分解成有限个质数的积.如果不计质因数在乘积中的次序，则其分解方式是唯一的，即 =，其中，为质数，（=1,2,）. 2.1.2 算术基本定理证明 首先将命题等价为如下进行证明：设N为大于1的整数，且=c（、均为素数)求证：在等式= = 中，等号两边因数的数目相同且一一对应相等.证明：用反证法：假设命题不成立，那么式的等号两边的因数不全相同，设其中相同的有，于是将等式两边同时约去这些相等的因素后得到=（是素数) 这时等号两
6、边就没有一对因素对应相等了。 等式两边同除以得：= 因为,，又为素数 所以左边无法约分，结果将是一个分数；而右边显然是整数，这与左右相等矛盾.故假设错误，结论成立.因此，=等号两边因数的数目相同且一一对应相等.2.2 正整数n的正约数的个数及正约数的和 记r（n）是的正约数的个数，（n）是的正约数之和，且的标准分解式为=，则 r（n）=（+1）（+1）（+1）， （n）=（1+）（1+）（1+） = .3 算术基本定理的应用 通过算术基本定理的内容极其证明已经有了初步的了解,与此同时我们更应注重对它的应用,利用算术基本定理解决一些常见问题.对于涉及正因数个数方面、互质与整除方面的问题,我们都应
7、首先考虑运用算术基本定理来解决.下面我们列举一些实例加以说明:3.1 若题目中涉及到正因数个数问题，先考虑算术基本定理 例1 设为正整数。证明：若的所有正因子之和是2的幂，则这些正因子的个数也是2的幂. 分析 本题中已给出的所有正因子之和是2的幂，那么我们可以设=，那么它们之和便为（1+）（1+）（1+）. 显然它的正因子个数也就可表示出来.因此结论得证. 证明 设=，其中，为不同的质数，（=1,2,）.则的所有正因子之和可表示为（1+）（1+）（1+）. 若它是2的幂，则它的因子=1+（=1,2,）也是2的幂. 因此，所有的、均为奇数. 若存在1，则=（1+）（1+）. 又由于不含大于1的奇
8、因子，故偶数-1必为4+2的形式.于是，=（1+）（1+）（1+）. 由于1+和1+均为2的幂，故（1+）|（1+）， 这与1+=（1+）（-1）+2矛盾.因此，必有=1（=1,2,）. 故的正因子的个数也是2的幂.例2 设一个正整数满足下列性质：其所有模4不余2的正因数之和等于1000.求满足上述性质的所有正整数. 分析 若想求出一个正整数使它的所有模4不余2的正整数之和等于1000,那么需要对它的每一项分别考察. 解 对于正整数，设S（n）为的所有模4不余2的正因数的和， 假设的质因数分解为 （、，=1,2,）. 因为一个整数模4余2等价其恰被2整除，所以，S（n）是所有形 （0,1，0，
9、0）的数的和. 故S（n）=. 为简单起见，对于每个非负整数,设 =， =，其中，是大于2的质数. 则S（n）= =1000. 先考虑. 若9，则=-1-=1021. 因此,8. 经计算得=1，=5，=125，满足|1000. 再考虑. 当331时，类似地可以验证=4，=40，均整除1000. =8，=20， 当32时，若2，则1+32+1000. 故=1. 经验证=200，=500，均整除1000. 最后考虑（2）的组合， 只有=448及=796满足题意.例3 若正整数有八个正因数，且这八个正因数之和为3240，则称这个正整数是“好数”.例如，2006是好数，因为其因数1，2，17，34，5
10、9，118，1003，2006的和为3240.求最小的好数. 分析 本题给出了好数的定义,那么我们可以根据对此定义的理解对本题加以解答.在解题中需要注意的是我们需要分情况进行讨论,从中得出答案.解 设=,则（1+）（1+）（1+）=8. 故当=1时，=7； 当=2时，=1，=3或=3，=1； 当=3时，=1； 当4时，无解. （1）若=（为质数），则=3240. （）若3，则=32803240. （）若=2，则=-1=5113240. 因而，当=时，无满足题意的解. （2）若=（、为质数，且），则有正因数之和 3240=（1+）（1+） =（1+）（1+）（1+） =5. 由2，得1+3. 从
11、而，1+1080. 故7. （）若=7，则1+=503240，与式矛盾. （）若=5，则1+=263240，矛盾. （）若=3，则1+=81， 从而，=80，矛盾. （）若=2，则1+=216， 从而，=215，亦矛盾.（3）若=（），则 （1+）（1+）（1+）=3240 =5. （）若=2，则（1+）（1+）=5. 注意到有要让尽量小，则应尽量小. 于是，由=（1+）（1+）-（+1）-（+1）+1，知（+1）+（+1）应尽量大. 结合（1+）（1+）=5，可知+1应尽量小，+1应尽量大. 故取=3，=269. 此时，=23269=1614. （）若3，则=5. 由于、的大小关系，故只有两种情况： =3，=，=35； 及=3，=5，=. 易解出对应的（，）=（5，17，29）或（5，9，53）. 又因为9不是质数， 所以（，）=（5，17，29）.因此，=2465. 综上，满足题意的=1614. 总结 本题可推广为求出所有满足要求的好数，这只需由第（3）种情况的（）继续计算即可. 例4 （1）已知为大于3的质数.证明：的平方被24除的余数为1. （2）求所有使+2543具有少于16个不同正因子的质数.分析 第(1)题将大于3的质数表示为,以方便我们解答,再利用奇
