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1、三角形全等的判定 复习课,八(1)是我家,我爱我家!,知识结构图,三角形全等判定方法1,用符号语言表达为:,在ABC与DEF中,ABCDEF(SAS),两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。(可以简写成“边角边”或“SAS”),F,E,D,C,B,A,在ABC和DEF中, ABCDEF(ASA),有两角和它们夹边对应相等的两个三角形全等(可以简写成“角边角”或“ASA”)。,用符号语言表达为:,F,E,D,C,B,A,三角形全等判定方法2,三边对应相等的两个三角形全等(可以简写为“边边边”或“SSS”)。,在ABC和 DEF中, ABC DEF(SSS),用符号语言表达为:,三角形全等判定
2、方法3,思考:在ABC和DFE中,当A=D , B=E和AC=DF时,能否得到 ABCDFE?,三角形全等判定方法4,有两角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等(可以 简写成“角角边”或“AAS”)。,A,B,D,A,B,C,SSA不能判定全等,A,B,C,直角三角形全等判定:HL,二、几种常见全等三角形基本图形,找找复杂图形中的基本图形,设计意图:知道了这几种基本图形,那么在解决全等 三角形问题时,就容易从复杂的图形中分解出基本图 形,解题就会变得简便。,典型题型,1、证明两个三角形全等 2、证明两个角相等 3、证明两条线段相等,一、全等三角形性质应用,1:如图,AOBCOD,AB=7
3、,C=60则 CD= ,A= .,一、全等三角形性质应用,2:已知ABCDEF, A=60,C=50则 E= .,一、全等三角形性质应用,3:如图,ABCDEF,DE=4,AE=1,则BE的长是( ) A5 B4 C3 D2,1、证明两个三角形全等,例1 :如图,点B在AE上,CAB=DAB,要使ABCABD,可补充的一个条件是 .,分析:现在我们已知 ACAB=DAB,用SAS,需要补充条件AD=AC,用ASA,需要补充条件CBA=DBA,用AAS,需要补充条件C=D,此外,补充条件CBE=DBE也可以(?),SAS,ASA,AAS,S AB=AB(公共边) .,AD=AC,CBA=DBA,
4、C=D,CBE=DBE,练习1:如图,AE=AD,要使ABDACE,请你增加一个条件是 .,练习2:如图,已知1=2,AC=AD,增加下列件:AB=AE,BC=ED,C=D, B=E,其中能使ABCAED的条件有( )个. A.4 B.3 C.2 D.1,2.已知:如图,AB=AC, 1=3, 请你再添一个条件,使得E=D?为什么?,1.已知:如图,AB=AC,AD=AE, 请你再添一个条件,使得E=D?为什么?,2、证明两个角相等,变式题:,BE=EB(公共边),又 AC DB(已知) DBE=CEB (两直线平行,内错角相等),例3 :如图, AC DB, AC=2DB,E是AC的中点,求
5、证:BC=DE,证明:AC=2DB,AE=EC (已知) DB=EC,DB=EC,BE=EB, DBECEB(SAS) BC=DE (全等三角形的对应边相等),3、证明两条线段相等,练习: 已知:ACB=ADB=900,AC=AD,P是AB上任意一点,求证:CP=DP,设计意图:让学生加深如何通过全等三角形 去求证相等线段。,例4 (2007金华):如图, A,E,B,D在同一直线上, AB=DE,AC=DF,AC DF,在ABC和DEF, (1)求证: ABCDEF; (2)你还可以得到的结论是 . (写出一个,不再添加其他线段,不 再表注或使用其他字母),(1)证明:ACDF(已知) A=
6、D (两直线平行,内错角相等),ABCDEF(SAS),在ABC和DEF中,综合题:,(2)解:根据”全等三角形的对应边(角)相等”可知:,C=F,ABC= DEF, EFBC,AE=DB等,BC=EF,综合题: 如图,A是CD上的一点,ABC ,ADE 都是正三角形,求证CE=BD,B,分析:证ABDACE,变式1:在原题条件不变的前提下,可以探求以下结论:(1)求证:AG=AF; (2)求证:ABFACG; (3)连结GF,求证AGF是正三角形; (4)求证GF/CD 变式2:在原题条件下,再增加一个条件,在CE,BD上分别取中点M,N,求证:AMN是正三角形,如图,A是CD上的一点,AB
7、C ,ADE 都是正三角形, 求证CE=BD,B,变式3:如图,点C为线段AB延长线上一点,AMC,BNC为正三角形,且在线段AB同侧,求证AN=MB,A,B,C,N,M,分析:此中考题与原题相比较,只是两个三角形的位置不同,此图的两个三角形重叠在一起,增加了难度,其证明方法与前题基本相同,只须证明ABNBCM,变式4:如图,ABD,ACE都是正三角形,求证CD=BE,A,B,C,D,E,分析:此题实质上是把题目中的条件B,A,C三点改为不共线,证明方法与前题基本相同.,变式6:如图,分别以ABC的边AB,AC为一边画正方形AEDB和正方形ACFG,连结CE,BG.求证BG=CE,A,B,C,
8、F,G,E,D,分析:此题是把两个三角形改成两个正方形而以,证法类同,1.证明两个三角形全等,要结合题目的条件和结论,选择恰当的判定方法 2.全等三角形,是证明两条线段或两个角相等的重要方法之一,证明时,要观察待证的线段或角,在哪两个可能全等的三角形中。 分析要证两个三角形全等,已有什么条件,还缺什么条件。 有公共边的,公共边一定是对应边, 有公共角的,公共角一定是对应角,有对顶角,对顶角也是对应角,小结:,3.注意正确地书写证明格式(顺序和对应关系).,例题一:,已知:如图B=DEF,BC=EF,补充条件求证:ABC DEF,(1)若要以“SAS”为依据,还缺条件 ;,AB=DE,(2) 若
9、要以“ASA”为依据,还缺条件;,ACB= DFE,(3) 若要以“AAS”为依据,还缺条件,A= D,(4)若要以“SSS” 为依据,还缺条件,AB=DE AC=DF,(5)若B=DEF=90要以“HL” 为依据,还缺条件,AC=DF,例2、如图,某同学把一块三角形的玻璃打碎成了三块,现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃,那么最省事的办法是拿( )去配.,证明题的分析思路: 要证什么 已有什么 还缺什么 创造条件,注意1、证明两个三角形全等,要结合题目的条件和结论,选择恰当的判定方法 2、全等三角形,是证明两条线段或两个角相等的重要方法之一,证明时 要观察待证的线段或角,在哪两个可能全等的三
10、角形中。 有公共边的,公共边一定是对应边, 有公共角的,公共角一定是对应角,有对顶角,对顶角也是对应角 总之,证明过程中能用简单方法的就不要绕弯路。,例3已知:如图,P是BD上的任意一点AB=CB,AD=CD. 求证: PA=PC,要证明PA=PC可将其放在APB和CPB 或APD和CPD考虑,已有两条边对应相等 (其中一条是公共边),还缺一组夹角对应相等,若能使ABP=CBP或ADP=CDP 即可。,创造条件,分析:,例3已知:P是BD上的任意一点AB=CB,AD=CD. 求证PA=PC,证明:在ABD和CBD中 AB=CB AD=CD BD=BD ABDCBD(SSS) ABD=CBD 在
11、ABP和CBP中 AB=BC ABP=CBP BP=BP ABP CBP(SAS) PA=PC,例4。已知:如图AB=AE,B=E,BC=ED AFCD 求证:点F是CD的中点,分析:要证CF=DF可以考虑CF 、DF所在的两个三角形全等,为此可添加辅助线构建三角形全等 ,如何添加辅助线呢?,已有AB=AE,B=E , BC=ED 怎样构建三角形能得到两个三角形全等呢?,连结AC,AD,添加辅助线是几何证明中很重要的一种思路,证明:连结和 在和中, , B=E, () (全等三角形的对应边相等) AFC=AFD=90, 在tAFC和tAFD中 (已证) (公共边) tAFCtAFD() (全等三角形的对应边相等) 点F是CD的中点,如果把例4来个变身,聪明的同学们来再试身手吧!,已知:如图AB=AE,B=E,BC=ED,点F是CD的中点 (1)求证:AFCD (2)连接BE后,还能得出什么结论?(写出两个),小结: 1、全等三角形的定义,性质,判定方法。 2、证明题的方法 要证什么 已有什么 还缺什么 创造条件 3、添加辅助线,小试牛刀,1,如图,已知ABC中,AE为角平分线,D 为AE上一点,且BDE=CDE,求证:AB=AC 若把中的“AE为角平分线”改为“AE为高线”,其它条件不变,结论还成立吗?如果结论成立,请予以说明。,