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1、第十章 排列、组合、 二项式定理和概率,排列、组合应用题,第 讲,2,（第一课时）,1. 从n个不同元素中取出m(mn)个元素，按照 _排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列. 2. 从n个不同元素中取出m(mn)个元素的 _，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，记作 _. 3. n个不同元素全部取出的一个排列，叫做n个不同元素的一个 _.,一定的顺序,所有排列的个数,全排列,4. 从n个不同元素中取出m(mn)个元素 _，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合. 5.从n个不同元素中取出m(mn)个元素的 _，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，记作_ . 6.
2、 = _. 7. = _.,并成一组,所有组合的个数,1.排列问题大致分为两类： (1)不含限制条件的简单排列问题，可直接根据题意利用公式来求得最后结果. (2)带有限制条件的排列问题，常常有两种计算方法：把符合条件的排列直接计算出来直接法；或者先算出不含限制条件的所有排列的总数，然后再从中减去所有不符合要求的排列数间接法.,2.元素相邻用“捆绑法”，即将必须相邻的元素“捆”在一起当作一个元素进行排列. 3.元素相离用“插空法”，即把可相邻元素每两个元素留出一个空位，将不能相邻即相离的元素插入空位中进行排列. 4.定序元素用“除法”，即n个元素的全排列中若有m个元素必须按一定顺序排列，这m个元
3、素相邻或不相邻都可以，,其排列数为 ，即n个元素的全排列之中包含了m个元素的无顺序排列m!个，但这m个元素的有序排列只有一个，故总排列数为 . 5.“元素分析法”“位置分析法”是解决排列问题的最基本方法，它们的共同点是先考虑特殊元素的要求，有两个约束条件时，往往以一个约束条件为轴心展开讨论，但要兼顾其他条件的约束.直接法、间接法、插空法、捆绑法、对称法，都是分析问题的常用方法.,1.把4名男生和4名女生排成一排，女生要排在一起，不同排法的种数为( ) A. B. C. D. 解：按分步计数原理: 第一步，将女生看成一个整体， 则有 种方法； 第二步，将女生排列，有 种排法. 故总共有 种排法.
4、,B,2.若2n个学生排成一排的排法数为x，这2n个学生排成前后两排，每排各n个学生的排法数为y，则x、y的关系为( ) A. xy B. xy C. x=y D. x=2y 解：第一种排法数为 ，第二种排法数为 = ，从而x=y.,C,3.某校准备参加2011年全国高中数学联赛，把10个名额分配给高三年级8个班，每班至少1人，不同的分配方案有_ 种. 解：把10个名额分成8份，每份至少一个名额即可，用隔板法： = =36(种).,36,将n个相同的元素分成m份（n，m为正整数）,每份至少一个元素,可以用m-1块隔板，插入n个元素排成一排的n-1个空隙中，所有分法数为,12,十.元素相同问题隔
5、板策略 例10.有10个运动员名额，分给7个班，每班至少一个,有多少种分配方案？ 解：因为10个名额没有差别，把它们排成一排。相邻名额之间形成个空隙。在个空档中选个位置插个隔板，可把名额分成份，对应地分给个班级，每一种插板方法对应一种分法共有,种分法。,1. (1)书架上原有5本不同的书排放在一排，再放上3本不同的书，且不改变原书的相对顺序，求共有多少种不同的放法? (2)某人射击8枪，命中4枪，其中恰有3枪连续命中，求共有多少种不同的射击记录?,题型1 用“定义法”求排列问题的方法数,解：(1)设想书架上有8个位置，每本书占一个位置，先在这8个位置中任选3个放上3本“新书”，有 种放法；再将
6、原来的5本“旧书”按原来的顺序放在余下的空位上，只有1种放法.由分步计数原理，共有 =336种放法. (2) 3枪连续命中捆绑成一个元素，记为a，另一枪命中记为b，据题意，a、b排序不相邻，问题等价于将a、b插入没命中目标的4枪所产生的前后5个空当，共有 =20种.,点评：排列数计数是分步计数原理的一种特殊情况，在应用排列数公式进行计数时，一是分清“元素”与“位置”，二是计数时因元素在不同的位置而表示不同的方法数即为排列问题.,(1)8个座位摆成一排，3人就坐在其中三个座位上，若每个人的左右两边都要有空位，求共有多少种不同的坐法? (2)某6名短跑运动员在100 m跑比赛后，其成绩互不相同，其
7、中甲的成绩比乙好，乙的成绩比丙好，求这6名运动员的成绩排名共有多少种可能结果?,解：(1)据题意，8个座位中有5个空位，两端不能坐人，3人就坐不相邻.因此，只要将3人插入5个空位之间的4个空当即可，共有 =24种坐法. (2)问题等价于6人站成一排，其中甲站乙的前面，乙站丙的前面，求共有多少种站法. 先从6个位置中选三个站其余3人，有 种站法；再将甲、乙、丙三人按前述顺序站在其余三个空位上，只有1种站法.所以共有 =120种可能结果.,2. 从数字0、1、3、5、7中取出不同的三个作系数，可组成多少个不同的一元二次方程ax2+bx+c=0?其中有实数根的有几个？ 解：(1)a只能在1、3、5、
8、7中选一个， 有 种，b、c可在余下的4个中任取2个， 有 种. 故可组成不同的一元二次方程 =48个.,题型2 结合两个计数原理 求排列问题的方法数,(2)方程要有实根，需=b2-4ac0. 当c=0时，a、b可在1、3、5、7 中任取2个，有 个； 当c0时，b只能取5、7. b取5时，a、c只能取1、3，有 个； b取7时，a、c可取1、3或1、5， 有2 个. 故有实数根的一元二次方程共有 个.,点评：两个计数原理是我们处理计数问题的基础，在分类或分步过程中，若出现每类或每步是一个排列问题，则可直接用排列数公式求解，然后根据情况相加或相乘.,五个人站成一排， 求在下列条件下的不同排法种
9、数： (1)甲必须在排头； (2)甲必须在排头，并且乙在排尾； (3)甲、乙必须在两端； (4)甲不在排头，并且乙不在排尾； (5)甲、乙不在两端；(6)甲在乙前；,(7)甲在乙前，并且乙在丙前； (8)甲、乙相邻； (9)甲、乙相邻，但是与丙不相邻. 解：(1)特殊元素是甲，特殊位置是排头. 首先排“排头”有 种，再排其他4个位 置有 种，所以共有 =24种. (2)甲必须在排头，并且乙在排尾的 排法种数为 =6种.,(3)首先排两端有 种，再排中间有 种，所以甲、乙必须在两端的排法种数为 =12种. (4)解法1：乙站排头时，有 种； 乙不站排头时有 种， 所以共有 =78种. 解法2：甲
10、不在排头，并且乙不在排尾的 排法种数为 =78种.,(5)因为两端位置符合条件的排法有 种，中间位置符合条件的排法有 种， 所以甲、乙不在两端的排法种 数为 =36种. (6)因为甲、乙共有 种顺序， 所以甲在乙前的排法种数为 =60种. (7)因为甲、乙、丙共有 种顺序， 所以甲在乙前，并且乙在丙前的 排法种数为 =20种.,(8)把甲、乙看成一个人来排有 种，而甲、乙也存在顺序变化，所以甲、乙相邻的排法种数为 =48 种. (9)首先排甲、乙、丙外的两个有 种，从而产生3个空，把甲、乙看成一个人与丙插入这3个空中的两个有 种，而甲、乙也存在顺序变化，所以甲、乙相邻，但是与丙不相邻的排法种数
11、为 =24种.,3. 4名男生和3名女生站成一排，求在下列条件下各有多少种不同的站法? (1)甲、乙、丙三个女生不全相邻; (2)男生连排在一起，女生连排在一起，且男生甲和女生乙不相邻. 解：(1)甲、乙、丙三个女生相邻的站法有 种，所以三个女生不全相邻的站法共有 =4320(种).,题型3 用间接法求排列问题的方法数,(2)男生连排在一起，女生连排在一起的站法有 种，其中男生甲和女生乙相邻的站法有 种. 所以符合要求的站法共有 - 264(种). 点评：对有限制条件的排列问题，可根据情况来解，如利用一些基本的模型：“相邻问题捆绑法”“相间问题插空法”等来解决或先算出不含限制条件的所有排列的总数，再从中减去所有不符合要求的排列数.,有两排座位，前排11个座位，后排12个座位，现安排2人就座，规定前排中间三个座位不能坐，并且这两人不左右相邻，共有多少种坐法？ 解：从非前排中间的三个座位的20个座位中选2个坐这两人共有 种坐法，而前排座位两人相邻有 种坐法，后排两人左右相邻有 种坐法. 故共有 =346种.,
