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2 牛顿莱布尼茨公式,用定义来计算定积分一般是很困难的，下面将要介绍的牛顿莱布尼茨公式不仅为定积分的计算提供了一个有效的方法，而且在理论上把定积分与不定积分联系了起来。,定理9.1 若函数 在,上连续，且存在原函数,，则,在,上可积，且,这即为牛顿莱布尼茨公式，也常记为,。,证,给定,任意一个分割：,，,这里,用了Lagrange 中值定理。,由Cantor 定理，,在,一致连续，,所以,，,，,只要,，就有,于是，当,时，对,，有,：在,上连续，在,内可导，且,.而,只要在,上可积即可.,注1：在实际应用中，定理的条件是可以适当减弱的，如,注2：本定理对,的要求是多余的。,设,在,可积（不一定连续），,又设,在,上连续，并且在,上，,，则,证,任给,一分割,由Lagrange中值定理,因,在,可积，,令,，则上式右边,所以,.,.,例1:,解 :,例2 求,解,解 面积,例4:,解 :,1,3,(1,2),解: 原式,例5 求极限：,例6,解,
