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1、典型高考数学试题解读与变式2018版 考点43 排列与组合一、 知识储备汇总与命题规律展望1. 知识储备汇总:（1） 两个原理：分类计数原理（加法原理）：完成一件事有类不同方案，在第1类方案中有种不同的方法，在第2类方案中有种不同的方法，第类方案中有种不同的方法，那么完成这件事共有种不同的方法.分步计数原理（乘法原理）：完成一件事有个步骤，完成第1步有种不同的方法，完成第2步有种不同的方法，完成第步有种不同的方法，那么完成这件事共有种不同的方法.（2）排列与排列数排列：从n个不同元素中取出m(mn)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列排列数：从n个不同元素
2、中取出m(mn)个元素的所有不同排列的个数叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，记作A.排列数公式 ：=.(，N*，且)注:规定.（3）组合与组合数组合：从n个不同元素中取出m(mn)个元素合成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合组合数：从n个不同元素中取出m(mn)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，记作C.组合数公式 ：=(N*，且).注:规定.组合数的两个性质(1)= ; (2) +=.2. 命题规律展望：排列与组合是高考考查的热点和重点，主要考查利用分步计数原理、分类计数原理、排列组合的知识计算计数问题和古典概型的计算，题型为选择填空或
3、解答题中利用排列组合知识求随机变量分布列，分值为5至12分，难度为基础题或中档题.二、题型与相关高考题解读1.两个定理应用1.1考题展示与解读例1 (2016全国甲卷)如图，小明从街道的E处出发，先到F处与小红会合，再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为()A24 B18 C12 D9【命题意图探究】本题主要考查利用两个原理计算计数问题，是基础题.【解题能力要求】分类整合思想、运算求解能力【方法技巧归纳】利用两个计数原理解决应用问题的一般思路:(1)弄清“完成一件事”是什么事;(2)确定是先分类后分步，还是先分步后分类;(3)弄清分步、分类的标准是什
4、么;(4)利用两个计数原理求解；(5)对于分类计数原理，要重点抓住“类”字，应用时要注意“类”及“类”之间的独立性和并列性，对于分步计数原理，要重点抓住“步”字，应用时要注意“步”与“步”之间的相依性和连续性，对于稍复杂问题，常常结合相关知识混合使用两个计数原理1.2【典型考题变式】【变式1：改编条件】将1,2,3，9这九个数字填在如图所示的9个空格中，要求每一行从左到右，每一列从上到下增大，当3,4固定在图中的位置时，填写空格的方法有()A. 6种 B. 12种 C. 18种 D. 24种【答案】A【解析】分为三个步骤：12349第一步，数字1,2,9必须放在如图的位置，只有1种方法第二步，
5、数字5可以放在左下角或右上角两个位置，故数字5有2种方法第三步，数字6如果和数字5相邻，则7,8有1种方法；数字6如果不和数字5相邻，则7,8有2种方法，故数字6,7,8共有3种方法根据分步乘法计数原理，有1236(种)填写空格的方法，故选A.【变式2：改编结论】4 名学生被中大、华工、华师录取，若每所大学至少要录取1名，则共有不同的录取方法_【答案】36种【解析】先从名学生中任意选个人作为一组，方法 种；再把这一组和其它个人分配到所大学，方法有种，再根据分步计数原理可得不同的录取方法 种，故答案为种.【变式3：改编问法】在高校自主招生中，某学校获得5个推荐名额，其中清华大学2名，北京大学2名
6、，浙江大学1名，并且清华大学和北京大学都要求必须有男生参加，学校通过选拔定下3男2女共5个推荐对象，则不同的推荐方法共有（ ）A. 36种 B. 24种 C. 22种 D. 20种【答案】B2. 排列问题2.1考题展示与解读例2【2016年高考四川理数】用数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为（A）24 （B）48 （C）60 （D）72【命题意图探究】本题主要考查利用分步计数原理及排列的知识计算计数问题，是基础题.【答案】D【解析】由题意，要组成没有重复的五位奇数，则个位数应该为1、3、5中之一，其他位置共有随便排共种可能，所以其中奇数的个数为，故选D.【解题能力要
7、求】运算求解能力【方法技巧归纳】解决排列问题的主要方法(1)解决“在”与“不在”的有限制条件的排列问题，既可以从元素入手，也可以从位置入手，原则是谁“特殊”谁优先不管是从元素考虑还是从位置考虑，都要贯彻到底，不能既考虑元素又考虑位置(2)解决相邻问题的方法是“捆绑法”，即把相邻元素看做一个整体和其他元素一起排列，同时要注意捆绑元素的内部排列(3)解决不相邻问题的方法是“插空法”，即先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素排列的空当中(4)对于定序问题，可先不考虑顺序限制，排列后，再除以定序元素的全排列(5)若某些问题从正面考虑比较复杂，可从其反面入手，即采用“间接法”2.2【典
8、型考题变式】【变式1：改编条件】由1、2、3、4、5、6、7七个数字组成七位数，要求没有重复数字且6、7均不得排在首位与个位，1与6必须相邻，则这样的七位数的个数是（ ）A. 300 B. 338 C. 600 D. 768【答案】D【变式2：改编结论】生产过程中有4道工序，每道工序需要安排一人照看.现从甲、乙、丙等6名工人中安排4人分别照看一道工序，第一道工序只能从甲、乙两名工人中安排一人，第四道工序只能从甲、丙两名工人中安排一人，则不同的安排方案共有 （ ）A. 24种 B. 36种 C. 48种 D. 72种【答案】B【解析】第一道工序安排甲则第四道工序安排丙，从剩下4选两人照看剩下两道
9、工序有 方案；第一道工序安排乙则第四道工序有两种方案，再从剩下4选两人照看剩下两道工序有 方案，因此共有，选B.【变式3：改编问法】某铁路所有车站共发行132种普通客票，则这段铁路共有车站数是（ ）A. 8 B. 12 C. 16 D. 24【答案】B【解析】设共有 个车站，在个车站中，每个车站之间都有2种车票，相当于从个元素中拿出 个进行排列，共有 ， ，故选B.3. 组合问题3.1考题展示与解读例3【2017浙江，16】从6男2女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人组成4人服务队，要求服务队中至少有1名女生，共有_中不同的选法（用数字作答）【解题能力要求】本题主要考查分类计数
10、原理及利用组合知识计算计数问题，是中档题.【答案】660【解析】由题意可得：总的选择方法为种方法，其中不满足题意的选法有种方法，则满足题意的选法有：种【解题能力要求】运算求解能力，正难则反思想【方法技巧归纳】组合问题解题思路：（1） 分清问题是否为组合问题；(2) 对较复杂的组合问题，要搞清是“分类”还是“分步”，一般是先整体分类，然后局部分步，将复杂问题通过两个计数原理化归为简单问题;（2） 分组问题：若各组元素个数均不相同，则逐组抽取；若其中有若干组元素个数相同，则逐组选取，因元素个数相同，所以组间无差别，故除以元素个数相同组数的全排列以消序；（4）组合问题的限制条件主要体现在取出元素中“
11、含”或“不含”某些元素，或者“至少”或“最多”含有几个元素：“含有”或“不含有”某些元素的组合题型“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取“至少”或“最多”含有几个元素的题型考虑逆向思维，用间接法处理3.2【典型考题变式】【变式1：改编条件】【广东省中山市第一中学2018届月考】有6 名学生，其中有3 名会唱歌，2 名会跳舞，1名既会唱歌又会跳舞，现从中选出2 名会唱歌的，1名会跳舞的，去参加文艺演出，求所有不同的选法种数为( )A. 18 B. 15 C. 16 D. 25【答案】B【解析】名会唱歌的从中选出两个有种, 名会跳舞的选出
12、名有种选法,但其中一名既会唱歌又会跳舞的有一个,两组不能同时用他, 共有种，故选B.【变式2：改编结论】在一个圆周上有10个点，任取3个点作为顶点作三角形，一共可以作_个三角形（用数字作答）【答案】120【解析】由于圆周上的任意三点不共线，所以任取3点方法数为，填120.【变式3：改编问法】省中医院5月1号至5月3号拟安排6位医生值班，要求每人值班1天，每天安排2人若6位医生中的甲不能值2号，乙不能值3号，则不同的安排值班的方法共有_种【答案】42;【解析】分两类(1) 甲、乙同一天值班，则只能排在1号，有种排法；(2) 甲、乙不在同一天值班，有种排法，故共有42 种方法4. 排列组合综合问题
13、4.1考题展示与解读例4 【2017课标II，理6】安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有（ ）A12种 B18种 C24种 D36种【命题意图探究】本题主要考查利用分步计数原理及排列组合知识计算计数问题，是基础题. 【答案】D【解析】由题意可得，一人完成两项工作，其余两人每人完成一项工作，据此可得，只要把工作分成三份：有种方法，然后进行全排列即可，由乘法原理，不同的安排方式共有种方法。 故选D。【解题能力要求】运算求解能力，应用意识【方法技巧归纳】排列、组合的混合题推理是从几类元素中取出符合题意的几个元素，再安排到一定位置上的问题其基本的解题步
14、骤为：第一步：选，根据要求先选出符合要求的元素第二步：排，把选出的元素按照要求进行排列第三步：乘，根据分步乘法计数原理求解不同的排列种数，得到结果4.2【典型考题变式】【变式1：改编条件】从5名学生中选出4名分别参加数学，物理，化学，生物四科竞赛，其中甲不能参加生物竞赛，则不同的参赛方案种数为A. 48 B. 72 C. 90 D. 96【答案】D【变式2：改编结论】某校的A、B、C、D四位同学准备从三门选修课中各选一门，若要求每门选修课至少有一人选修，且A,B不选修同一门课，则不同的选法有（ ）A. 36种 B. 72种 C. 30种 D. 66种【答案】C【解析】先从4人中选出2人作为1个整体有种选法，减去在同一组还有5种选法，再选3门课程有种选法，利用分步计数原理有种不同选法.选C.【变式3：改编问法】在高校自主招生中，某学校获得5个推荐名额，其中中山大学2名，暨南大学2名，华南师范大学1名，并且暨南大学和中山大学都要求必须有男生参加，学校通过选拔定下3男2女共5个A. 36 B. 24 C. 22 D. 20【答案】B【解析】由题意可分成两类:第一类是将3个男生每个大学各推荐1人,共有种推荐方法;第二类是将3个男生分成两组分别推荐给暨南大学和中山大学
