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1、山东省青岛市2012年3月高三统一质量检测理科数学试题及详细解析第卷（选择题 共60分） 一、选择题：本大题共12小题每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1. 已知实数集R，集合集合，则A.B. C. D. 1. B【解析】.2. 已知函数,则A B C D样本数据频率/组距2.B【解析】3. 某个小区住户共户,为调查小区居民的月份用水量,用分层抽样的方法抽取了户进行调查,得到本月的用水量(单位:m3)的频率分布直方图如图所示,则小区内用水量超过m3的住户的户数为A. B. C. D.3.C【解析】以为样本容量可计算出超过用水量的户数为所以可估算户居民超过用水
2、量的户数.开始结束输出是否4. 设为两个不同的平面，、为两条不同的直线，且,有两个命题：若，则；：若，则；那么A“或”是假命题 B“且”是真命题C“非或” 是假命题 D“非且”是真命题4.D【解析】是假命题，是真命题，所以D正确.5. 运行如右图所示的程序框图,则输出的值为 A. B. C. D.5.B【解析】6. 的展开式中的系数为A. B. C. D. 6.B【解析】,所以7. 直线与抛物线所围成封闭图形的面积是A B C D7.C【解析】联立方程求得交点分别为所以阴影部分的面积为8. 将函数的图象上所有点的横坐标伸长到原来的倍（纵坐标不变），再将所得图象向左平移个单位，则所得函数图象对应
3、的解析式为 A. B. C. D.8.D【解析】9. 已知函数的图象如右图所示，则函数的图象可能为9.B【解析】由图象可知，所以为增函数，B符合.10. 已知圆的圆心为抛物线的焦点,且与直线相切,则该圆的方程为A. B.C. D.10.C【解析】抛物线的焦点为，则所以圆的方程为.11. 已知,且,则的最小值为A. B. C. D. 11.C【解析】12. 设与是定义在同一区间上的两个函数，若函数在上有两个不同的零点，则称和在上是“关联函数”，区间称为“关联区间”若与在上是“关联函数”，则的取值范围为A. B. C. D.12.A【解析】为开口向上的抛物线，是斜率的直线，可先求出与相切时的值.
4、由得切点为，此时，因此的图象与的图象有两个交点只需将向上平移即可。再考虑区间，可得点为图象上最右边的点，此时，所以网第卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分13. 已知复数满足,为虚数单位,则复数 .13. 【解析】14. 已知双曲线的渐近线方程为,则它的离心率为 .正视图侧视图俯视图14. 【解析】15. 已知某棱锥的三视图如右图所示，则该棱锥的体积为 .15. 【解析】由三视图可知该几何体为四棱锥，底面为直角梯形其面积为，高为，所以16设变量满足约束条件：,则目标函数的最小值为 .16.【解析】画出可行域得点为选用目标，所以三、解答题：本大题共6小题,共7
5、4分,解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17. （本小题满分12分）已知锐角中内角、的对边分别为、，且.（）求角的值；（）设函数，图象上相邻两最高点间的距离为，求的取值范围.17.解：（）因为,由余弦定理知所以.又因为,则由正弦定理得:,所以,所以.（）由已知,则 因为,由于,所以, .根据正弦函数图象,所以.18（本小题满分12分）如图，在直四棱柱中，底面为平行四边形，且，为的中点.（） 证明：平面；（）求直线与平面所成角的正弦值.18.解（） 证明：连接，因为，,所以,因为面，面所以面.（）作，分别令为轴，轴，轴,建立坐标系如图因为，所以，所以， 设面的法向量为,所以，化简得
6、，令，则.设，则设直线与面所成角为，则所以，则直线与面所成角的正弦值为 .19（本小题满分12分）一个盒子装有六张卡片，上面分别写着如下六个函数：,，.（）从中任意拿取张卡片，若其中有一张卡片上写着的函数为奇函数。在此条件下，求两张卡片上写着的函数相加得到的新函数为奇函数的概率；（）现从盒子中逐一抽取卡片，且每次取出后均不放回，若取到一张写有偶函数的卡片则停止抽取，否则继续进行，求抽取次数的分布列和数学期望19.解：（）为奇函数；为偶函数；为偶函数；为奇函数；为偶函数; 为奇函数.（注：每对两个得1分，该步评分采用去尾法）所有的基本事件包括两类：一类为两张卡片上写的函数均为奇函数；另一类为两张
7、卡片上写的函数为一个是奇函数，一个为偶函数;故基本事件总数为满足条件的基本事件为两张卡片上写的函数均为奇函数，故满足条件的基本事件个数为,故所求概率为 .（）可取1，2，3，4 ，；故的分布列为1234 的数学期望为20（本小题满分12分）已知等差数列（N+）中,. （）求数列的通项公式；（）若将数列的项重新组合，得到新数列，具体方法如下: ，,依此类推，第项由相应的中项的和组成，求数列的前项和.20.解：（）由与解得:或（由于，舍去）设公差为，则 ,解得 所以数列的通项公式为.（）由题意得: ,而是首项为,公差为的等差数列的前项的和,所以所以,所以所以.21（本小题满分12分）已知函数.（）
8、记，求的极小值；（）若函数的图象上存在互相垂直的两条切线，求实数的值及相应的切点坐标.21.解：（）由已知：，,由，或 ,当时，在为增函数，此时不存在极值； 当时，变化时，变化如下：0+0-0+极大极小由上表可知：.当时，变化时，变化如下：+0-0+极大极小由上表可知：.（）设两切点分别为，则即 ，方程的判别式,即,又，从而可得：上式要成立当且仅当，或此时方程的解为 .，存在，此时函数的图象在点处的切线和在点处的切线互相垂直.22（本小题满分14分）已知椭圆：的左焦点，若椭圆上存在一点，满足以椭圆短轴为直径的圆与线段相切于线段的中点（）求椭圆的方程；（）已知两点及椭圆:,过点作斜率为的直线交椭
9、圆于两点,设线段的中点为,连结,试问当为何值时,直线过椭圆的顶点?() 过坐标原点的直线交椭圆:于、两点，其中在第一象限，过作轴的垂线，垂足为，连结并延长交椭圆于，求证：.22.解：（）连接为坐标原点,为右焦点），由题意知：椭圆的右焦点为因为是的中位线，且,所以所以，故,在中，,即,又,解得所求椭圆的方程为 () 由（）得椭圆:设直线的方程为并代入整理得:由得: ,设则由中点坐标公式得:,当时,有,直线显然过椭圆的两个顶点; 当时,则,直线的方程为此时直线显然不能过椭圆的两个顶点;若直线过椭圆的顶点,则即所以,解得:(舍去) .若直线过椭圆的顶点,则即所以,解得:(舍去) ,综上,当或或时, 直线过椭圆的顶点.（）法一：由（）得椭圆的方程为 ,根据题意可设，则则直线的方程为过点且与垂直的直线方程为并整理得：,又在椭圆上，所以所以,即、两直线的交点在椭圆上,所以 法二：由（）得椭圆的方程为根据题意可设，则，所以直线，化简得所以因为,所以,则.所以，则,即. - 12 -用心 爱心 专心
