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1、学 海 无 涯第一章函数、极限与连续内容概要名称 主要内容（1.1、1.2）函数邻域（即 ）（）函数两个要素：对应法则以及函数的定义域由此，两函数相等两要素相同；（与自变量用何字母表示无关）解析表示法的函数类型：显函数，隐函数，分段函数；特性局部有界性对集合，若存在正数，使对所有，恒有，称函数在上有界，或是上的有界函数；反之无界，即任意正数（无论多大），总存在（能找到），使得局部单调性区间，对区间上任意两点，当时，恒有：，称函数在区间上是单调增加函数；反之，若，则称函数在区间上是单调减小函数；奇偶性设函数的定义域关于原点对称；若，恒有，则称是偶函数；若，恒有，则称是奇函数；周期性若存在非零常数
2、，使得对，有，且，则称是周期函数；初等函数几类基本初等函数：幂函数；指数函数；对数函数；三角函数；反三角函数；反函数求法和性质；复合函数性质；初等函数第3章 中值定理与导数的应用内容概要名称主要内容（3.1、3.2）3.1 中值定理名称条件结论罗尔中值定理：（1）在上连续；（2）在内可导；（3）至少存在一点使得拉格朗日中值定理：（1）在上连续；（2）在内可导至少存在一点使得柯西中值定理、：（1）在上连续，在内可导；（2）在内每点处至少存在一点使得3.2 洛必达法则基本形式型与型未定式通分或取倒数化为基本形式1）型：常用通分的手段化为型或型；2）型：常用取倒数的手段化为型或型，即：或；取对数化为
3、基本形式1）型：取对数得，其中或；2）型：取对数得，其中或；3）型：取对数得，其中或。函数，极限与连续&中值定理习题18 5.利用等价无穷小性质求下列极限：（2） ； （3） ； （4）；知识点：等价无穷小代换求极限；思路：要活用等价无穷小公式，如当，有，故，以及有关定理。（2）（3）当时，故， ；（4） ；习题32 1.用洛必达法则求下列极限：（7） ；知识点：洛必达法则。思路：注意洛必达法则的适用范围。该法则解决的是未定型的极限问题，基本形式为：型与型未定式，对于这种形式可连续使用洛必达法则；对于型与型的未定式，可通过通分或者取倒数的形式化为基本形式；对于型、型与型的未定式，可通过取对数等
4、手段化为未定式；此外，还可以结合等价无穷小替换、两个重要的极限、换元等手段使问题简化。（7） ；习题16 1计算下列极限：（12） ；（14）；知识点：极限求法思路：参照本节例题给出的几种极限的求法（12） ；（14）；习题1-7 2计算下列极限：（7） ；知识点：重要极限： （或）思路： 将函数表达式化成（或），并利用指数函数运算性质（）得出结果（7） 习题3-2 1.用洛必达法则求下列极限：（14）；（19）； 知识点：洛必达法则。思路：注意洛必达法则的适用范围。该法则解决的是未定型的极限问题，基本形式为：型与型未定式，对于这种形式可连续使用洛必达法则；对于型与型的未定式，可通过通分或者取
5、倒数的形式化为基本形式；对于型、型与型的未定式，可通过取对数等手段化为未定式；此外，还可以结合等价无穷小替换、两个重要的极限、换元等手段使问题简化。（14）；（19）；习题1-9 3判断下列函数的指定点所属的间断点类型，如果是可去间断点，则请补充或改变函数的定义使它连续。（2）知识点：间断点类型及判定；思路： 间断点类型取决于左右极限是否存在，故要分别求间断点的左右极限；（2）时，左右极限相等， 是第一类中的可去间断点，补充定义可使函数在该点处连续； 时，是第二类无穷间断点； 6设，已知在处连续，试确定及的值。知识点：左右连续；思路：在处连续，有，并据此列式求解；解：在处连续当且仅当在处既左连
6、续又右连续；由；错误!未找到引用源。第二章 导数与微分内容概要名称主要内容导数的定义函数的求导法则(1) 导数的四则运算法则错误!未找到引用源。.错误!未找到引用源。.错误!未找到引用源。.(2) 复合函数的求导法则(链式法则)隐函数的导数(1) 求隐函数的导数时,只需将确定隐函数的方程两边同时对自变量求导,凡遇到含有因变量的项时,把当作中间变量看待,再按照复合函数求导法则求之,然后从所得等式中解出(2) 对数求导法:对幂指函数,可以先在函数两边取对数,然后在等式两边同时对自变量求导,最后解出所求导数反函数的导数反函数的导数等于直接函数导数的倒数,即,其中为的反函数高阶导数(1) 直接法:利用
7、基本求导公式及导数的运算法则,对函数逐次地连续求导(2) 间接法:利用已知的高阶导数公式,通过导数的四则运算,变量代换等方法,间接求出指定的高阶导数(3) 莱布尼茨公式 习题2-2 1. 计算下列函数的导数：知识点：基本初等函数的导数和导数的四则运算法则思路：利用基本初等函数的导数和导数的四则运算法则求导数(11)解: 6.求下列函数的导数:知识点：导数的四则运算法则和复合函数的求导法则思路：利用导数的四则运算法则和复合函数的求导法则求导数(7) ;(10);解: 7.设为可导函数,求:知识点：复合函数的导数思路：利用链式法则求复合函数的导数 (3).解: 10.已知，求.知识点：抽象函数的导
8、数思路：利用换元法求函数表达式，然后求导数解:令,则 习题2-3 6.若存在,求下列函数的二阶导数.知识点: 高阶导数,复合函数的求导法则思路: 利用链式法则求导(1)(2) .解: 解: 习题2-41.求下列方程所确定的隐函数的导数:知识点: 隐函数的导数思路: 方程两边同时对自变量求导,凡遇到含有因变量的项时,把当作中间变量看待,再按照复合函数求导法则求之,然后从所得等式中解出 (3) ;解:方程两边同时对求导,得 解得 (4);解:方程两边同时对求导,得 解得2.求下列方程所确定的隐函数的导数:知识点: 隐函数的导数,高阶导数思路: 方程两边同时对自变量求导,凡遇到含有因变量的项时,把当
9、作中间变量看待,再按照复合函数求导法则求之,然后从所得等式中解出,再对一阶导数利用导数四则运算法则和复合函数求导法则求导 (3).解: 方程两边同时对求导,得 解得 3.用对数求导法则求下列函数的导数:知识点: 对数求导法思路: 在函数两边取对数,然后在等式两边同时对自变量求导,最后解出所求导数 (1);解:等式两边同时取对数,得 等式两边同时对求导,得 (2) 解: 等式两边同时取对数,得等式两边同时对求导,得8.求下列参数方程所确定的函数的导数:思路: 利用参数方程表示的函数的求导公式求一阶导数,再将看作中间变量利用复合函数求导法则求二阶导数, (2) ;解: 4.设函数由方程确定,求,并
10、求曲线上其横坐标处点的切线方程与法线方程.思路: 方程两边同时对自变量求导,凡遇到含有因变量的项时,把当作中间变量看待,再按照复合函数求导法则求之,然后从所得等式中解出解: 方程两边同时对求导,得 解得 当时, 在处切线的斜率 处的切线方程为,即 法线方程为,即 6.求曲线在对应点处的切线方程和法线方程.知识点: 参数方程表示的函数的导数思路: 利用参数方程表示的函数的求导公式求导解: 当时, 在对应点处的切线方程为, 即 法线方程为, 即习题2-1 9.设,求.知识点：分段函数的导数思路：分段函数在每一段内可以直接求导，但是在分段点处要利用导数的定义求导解：当时，当时，当时， 10.试讨论函
11、数在处的连续性与可导性.知识点：函数在某点连续与可导的定义思路：利用函数在某点连续与可导的定义判断解: 在处连续. 在处可导.总习题二 10.试确定，使在处可导.知识点: 连续与可导的定义思路: 可导一定连续,由连续性和可导得方程组求解解：若在处可导，则在处连续 要使在处可导，则而 由得内容概要名称 主要内容（3.4）3.4 函数的单调性与曲线的凹凸性函数单调性的判别法：设在上连续，在内可导，则（1）若在内，则在上单调增加；（2）若在内，则在上单调减少。1） 曲线凹凸性的概念：设在区间内连续，如果对上任意两点，恒有，则称在上的图形是凹的；如果恒有，则称在上的图形是凸的。2）拐点的概念：连续曲线
12、上凹弧与凸弧的分界点成为曲线的拐点。曲线凹凸性的判别法：设在上连续，在内具有一阶和二阶导数，则（1）若在内，则在上的图形是凹的；（2）若在内，则在上的图形是凸的。习题3-41.单调性的判别法1.证明函数单调增加。知识点：导数的应用。思路：利用一阶导数符号判断函数的单调性是常用的方法。在某个区间上，（），则在单调增加（减少）。证明：（仅在处），在内是单调增加的。2. 单调区间的求法 P151.例33. 函数极值的求法 P157,例114. 证明不等式 P159.4（4），P181.26（这题没找到）4.证明下列不等式：（4）时，。思路：利用泰勒公式可以证明一些不等式（见习题3-3第10题），利用函数单调性也是证明不等式常用的方法。（4）令，则当时，有从而在内严格单增，即在内；再令，则当时，从而在内严格单增，即在内，结论成立。5. 凹凸与极点的判定 y” 0 , y= 0 极小 y” 0 , y= 0 极大 凹凸性自己看书 6.最值问题 P167.4(没找到自己看吧)第4章 不定积分内容概要名称主要内容不定积分不定积分的概念设， ，若存在函数，使得对任意均有 或，则称为的一个原函数。的全部原函数称为在区间上的不定积分，记为注：（1）若连续，则必
