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1、北师大二附中培训中心五年级兴趣班讲义最大与最小专题 在现实生活中，日有长短之分，国有大小而论，比较大小的问题几乎无处不在。在一定条件下求最大值或最小值是数学中的一类重要问题。典型例题1一把钥匙只能打开一个房间，现有20把钥匙和20个房间，但不知哪把钥匙开哪个房间，如要打开所有的房间，最多要开几次？解析：考虑极端情况，开第一个房间最多需20次。第二个房间19次，开最后一个房间需1次，共需20+19+18+1=210（次）2小明去听报告，发现报告厅只有最后一排没坐满，但他无论坐在哪个位子，都会和另一听众相邻，已知每排均有19个位子，问最后一排最少坐了多少个人？解析：将最后一排编号，由题意可知，没有
2、连续3个空位，极端情形：2,5,8,11,14,17,19这几个编号坐着人，其余空着。故最少坐7人。3 用30米长的篱笆围成一个长方形花圃。（1） 当长和宽各是多少时，花圃的面积最大？（2） 若长方形一面靠墙，长和宽各为多少时面积最大？最大面积是多少？解析：和一定时，差越小积越大，所以长宽相等时即为7.5时，S=7.57.5=56.25（cm2） 长=宽=10,S=100（cm2）4把17分成若干个自然数的和，如何分才能使这些自然数的乘积最大？解析：拆分成2和3，若加数中含有3个2，则不如将它分成2个3。因为222=8，而33=9。所以，拆分出的自然数中，至多含有两个2，而其余都是3。5已知1
3、+2+3+n的和的个位数是3，十位数为0，百位数不为0，求n的最小值。解析：设1+2+3+.+N=abc 由题意可知,b=0,c=3 所以1+2+3+.N=100a+3 N*(N+1)/2=100a+3 N*(N+1)=200a+6 两个连续的自然数相乘,个位数=6的只有自然数的个位是2和3或7和8并且百位数不为0,那这两个数应该大于10试一下12,13和17、18 ，17*18=306,符合条件。所以最小的N值是176有一架天平，只有5克和30克的砝码各一个，现在要把300克盐分成三等份，问最少需要用天平称多少次？解析：这题最少用天平3次就可以了。 第一次：用5克和30克两个砝码称出35克盐
4、， 第二次：再用35克盐和30克砝码作为砝码称出65克盐，65+35=100（克）这样第一个100克盐就称好了， 第三次：再用这100克盐作为砝码称出100克盐，则第二个100克盐也称好了，那么剩下的也是100克盐不用称了。 所以最少要称三次。7一个三位数等于它各位上数字之和的19倍，这个三位数最大是多少？最小是多少？解析：设百位数字为A，十位数字为B，个位数字为C 则100A+10B+C19（A+B+C） 81A9B+18C9AB+2C最大A=9，8如图：某位将军骑马从A地到河岸的同侧B地，途中需给马饮一次水，问在何处饮水走的路程最短？解析：A关于河流的对称点9如图，在长方体上有一只蚂蚁要从
5、A出发沿表面爬到B点去找食物，其中AC=4，CD=2，DE=2，B为DE的中点，问怎样爬路程最短？解析：显然在上面爬路程最短。10现有2.8米长的方木条原料，要截成1.2米、0.9米两种长度的木条做镜框（每个镜框要用长、短木条各两根）.要做30个镜框，如何下料可以最省？解析：这是个节约用料的问题，如果不精打细算就会简单地用一根原料截成长、短木条各一根，这样就需要60根原料，而这样截造成了浪费，因为每根原理剩下的残料为（米），60根原料所剩下的残料则是一个很大的数字，显然这不是最佳方案。 如果我们考虑用一根原料分别截取长短木条，则(1)可截1.2米木条两根，余料0.4米；(2)可截0.9米木条三
6、根，余料0.1米，要做30个镜框，做长条需30根原料，做短条需20根原料，故需要50根即可制成30个镜框。11.有六根各长5厘米的木棍，要想把他们搭成边长为5厘米的三角形，最多可以搭成多少个这样的三角形？解析：搭成正三棱锥，故最多可搭成4个12.一个正方体，锯下一个角后，最多还剩几个角？解析：可以分成四种情况：截面过三个顶点，则还剩7个角； 截面过两个顶点，则还剩8个角； 截面过一个顶点，则还剩9个角； 截面不过任何顶点，则还剩10个角。最多剩下10个角。13.若干人的年龄为4476岁，最大的不超过79岁，最小的不低于30岁，而年龄相同的不超过3人，这些人中至少有多少为老年人？（年龄不低于60
7、岁为老人）。解析：老年人尽量少，则青年人尽量多（每个年龄3人），这时（303159）389153=4005（岁）44764005=471（岁）。679=474.要使人数少，则年龄尽量大，所以老年人至少有6位。14.现在要用10米长的铁条若干根来截出3米长的铁条83根和4米长的铁条32根解析：要用最少根数，则应使残料（浪费的）最少。分割10米长的铁条有如下三种方式：10=4+3+3+0 无残料 10=3+3+3+1 残料1米 10=4+4 +2 残料2米所以先按第一种方式分割10米长铁条32根，得到32根4米，64根3米。再按第二种方式分割10长铁条7根，得到19根3米长铁条。15.小明有一只最
8、多能装10千克物品的大提兜，现有白菜5千克，猪肉2千克，鱼3.5千克，一瓶酱油连瓶重1.7千克，白糖1千克，蚕豆5.1千克，请你想想，把哪几样东西放进大提兜内，才能充分利用提兜，使他所提东西的重量最重？解析：大提兜的容量限制在10千克，选择几样东西使其重量和不超过10千克但最接近10千克我们不妨列举。首先分析数据：白菜和蚕豆不能同时放（共10.1千克），但二者应取其一。列举如下：白菜+猪肉+酱油+白糖=9.7（千克）白菜+鱼+白糖=9.5（千克）蚕豆+猪肉+酱油+白糖=9.8（千克）蚕豆+鱼+白糖=9.6（千克）显然，第三种最优。16. 某公共汽车从起点开往终点，中途共有13个停车站，如果这辆
9、公共汽车从起点开出，除终点站外，每一站上车的乘客中，正好各有一位乘客从这一站到以后的每一站下车，那么为了使每个乘客都有座位，这辆公共汽车至少应有多少个座位？解析：只需判断车载哪一站开出时人数最多。 首先分析每站上车的人数，车开出时车上人数以及后面的站数之间有何关系。因为车从某一站开出时，以前各站都有同样多的人在以后各站下车（1人）。且人数恰好与本站上车的人数一样多，因此有：车开出时人数=（以前的站数+1）以后的站数，即车开时人数=站号（15-站号）。站号为1-15，比较各站车开时人数，显然87最大。所以至少应有56个座位。17. 某服装厂有甲、乙两个生产车间，甲车间每天能生产上衣16件或裤子2
10、0条；乙车间每天能生产上衣18件或裤子24条；现在要求上衣和裤子配套，两个车间合作21天，最多能生产多少套服装？解析：两车间合作应各自发挥其所长，这样才能生产更多套服装，并且保证配套。 显然乙车间效率高，所以乙车间应先生产一部分与甲车间配套，再自己生产一部分成 套服装。 甲车间生产上衣与裤子数量比为4:5，乙车间为3:4，则可见，甲车间擅长生产上衣， 乙车间擅长生产裤子。 所以让甲车间21天全部生产上衣，共1621=336（件）。乙车间生产配套裤子需要336 24=14（天）。乙剩下的7天，其中4天生产上衣，3天生产裤子。共生产418套服 装。21天共生产336+72=408套服装18.25.
11、钱袋中有1分、2分、5分3种硬币。甲从袋中取出3枚，乙从袋中取出2枚，取出的5枚硬币仅有2种面值，并且甲取出的3枚硬币面值的和比乙取出的2枚硬币面值的和少3分，那么取出的钱数的总和最多是多少分？解析：因为乙只取2枚硬币，而2枚硬币的钱数最多是52=10（分）。而甲取出的3枚硬币的和比乙取出的2枚硬币的和少3分。因此，最多只有103=7（分）。两者合起来就是取出的钱数的总和的最大值。 107=17（分）19. 从99100中划去100个数字，其他数字顺序不变，求剩下数中的最大数和最小数解析：要得到最大的数，左边应尽量多地保留9。因为159中有109个数码，其中有6个9，所以剩下的数如果左边保留6
12、个9，那么必须划掉109-6=103（个）数码，不合要求。因此左边只能保留5个9，即保留149之中的5个9，划掉149中其余的84个数码，然后在后面再划掉16个数码，尽量留下大数所以最大数是6199100。20东升乡有8个行政村，如图分布，点表示村庄，线表示道路，图中的数字表示道路的长，现在这个乡要建立有线广播网，沿道路架设电线，问怎样的架线方案能使电线最省？提示：架设的线路如图21 某学校调整教师桌椅，图中标出了教室的位置，图中“方块”表示的教室要搬出桌椅，“圆”表示的教室要搬入桌椅，搬出、搬入的套数为图中所标数字。试作出“最佳”搬运方案。解析：使运输方案最佳，完成任务且最省力，考虑以下两个
13、因素：一是运输路线因素，二是货物重量因素。 满足各个地方桌椅的需求且避免路线“往返重复”。方案如下： 将80套中的70套搬到左侧，剩下10套搬到右侧，再将50中的20套搬到左侧，剩下30套，其中25套搬到最上面，5套搬到15处，20套中10套搬到最下方，剩下10套搬到15处，即可。课后作业1. 早饭前妈妈要做很多事情：烧开水15分钟，擦桌椅8分钟，准备暖瓶要1分钟，灌开水要2分钟，买油条要10分钟，煮牛奶要7分钟。如果灶具上只有一个火，那么全部做完这些工作最少需要多少时间？怎样安排？答案：22分； 先烧开水后煮牛奶222分，其他事情在这个时间做，顺序是买油条，准备暖瓶，擦桌椅（水开时暂停，煮上奶），灌开水，继续擦桌椅。2. 甲、乙、丙三名车工准备在同样效率的3个车床上加工七个零件，各零件加工所需时间分别为4,5,6，8，9分钟，三人同时开始工作。问：加工完七个零件最少需要多长时间？答案：17分钟3. 右侧是一张道路图，每条路上的数是小王走这段路所需的时间（单位：分）。小王从A到B，最快需要几分钟？ 答案：48分钟。提示AEOGB4. 把49分拆成几个自然数的和，这几个自然数的连乘积最大是多少？答案：根据结论3，由49=315+2+2，所以最大的积是5.18这八个数字各用一次，分别写成两个四位数，使这两个数相乘的乘积最大。那么这两个四位数各是多少？8642,7531
