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1、不定积分第一类换元法（凑微分法）一、 方法简介设具有原函数，即，如果是中间变量，且设可微，那么根据复合函数微分法，有从而根据不定积分的定义得.则有定理：设具有原函数，可导，则有换元公式由此定理可见，虽然是一个整体的记号，但如用导数记号中的及可看作微分，被积表达式中的也可当做变量的微分来对待，从而微分等式可以方便地应用到被积表达式中。几大类常见的凑微分形式： ；，；，；，；复杂因式【不定积分的第一类换元法】 已知 求 【凑微分】 【做变换，令，再积分】 【变量还原，】【求不定积分的第一换元法的具体步骤如下：】（1）变换被积函数的积分形式：（2）凑微分：（3）作变量代换得：（4）利用基本积分公式求
2、出原函数： （5）将代入上面的结果，回到原来的积分变量得： 【注】熟悉上述步骤后，也可以不引入中间变量，省略(3)(4)步骤，这与复合函数的求导法则类似。二、典型例题 ；例1. 例2. 1例3. 1 例4.11解：令,2解：令， 3解： 令 原式 4解： ，；例1.2 例2. 2例3.1 例4.1 例5.1 例6.1例7.设为常数，且，计算11.解：设， 2解： 3解： 4.解： 5.解： 6.解：令，再令，有 7解： ，；例1.3 例2.2例3.2 例4.2例5.1 例6.1例7.1 例8.21.解： 2.解 ：令， 3.解：令， 4.解：令， 5.解： 6.解： 7.解： 令, 原式 8.
3、解： ，；例1.2 例2.4例3.4 例4.1例51 例6. 1例711.解： 2.解： 3.解： 对于右端第一个积分，凑微分得 第二个积分中，用代换 原式4.解： 5.解： 6.解： 7.解： ；例1.3 例2. 4例3.1 例4.1例5.11.解：2.解： 3.解： 4解： 5解： 令， 复杂因式例1.4 例2.1例3.1 例4.1例5.1 例6.11.解： 2.解：3.解： 4.解： 5.解： 6.解： 1在下列各式等号右端的空白处填入适当的系数，使等式成立：(1) dx = d(ax+b)(a0)； (2) dx= d(7x-3)；(3) xdx= d(5)； (4) xdx= d(1
4、-)；(5) dx= d(3-2); (6) dx= d()；(7) dx= d(1+); (8) = d(5lnx);(9) = d(1-arcsinx); (10) = d;(11) = d(arctan3x); (12) = d(arctanx);(13) (3-2)dx= d(2x-)； (14) cos（-1）dx= dsin（-1）1 求dx.2 求.3 求xdx4 求 dx5 求dx6 求dx(a0)7 求xdx8 求xdx例9 求dx(a为常数，a0)例10 求 dx例11 求cos2xdx例12 求dx例13 求dx.求下列不定积分：(1) ; (2) dx;(3) ; (4
5、) ;(5) ; (6) ;(7) ; (8) ;(9) ; (10) ;(11) ; (12) ;(13) ; (14) ;1、解 被积函数中，cos2x是cosu与u=2x的复合函数，常数因子2恰好是中间变量u=2x的导数，因此作变量代换u=2x,便有dx=dx=（x)dxudusinu+C再以u=2x代入，即得cos2xdx=sin2x+C.2、解 可看成与u=2x+5的复合函数，被积函数中虽没有u=2这个因子，但我们可以凑出这个因子：=(2x+5)，从而令u=2x+5,便有 dx = (2x+5)dxd(2x+5)du=ln +Cln +C一般地，对于积分 (ax+b)dx，总可以作变
6、量代换u=ax+b，把它化为f(ax+b)d(ax+b)3、解 xdx=dx (cosx)dxd(cosx) -du=-ln+C =-ln+C类似地可得 xdx=ln +C4、解 dx=-dx-d(1-）-du=+C=- +C在对变量代换比较熟练以后，就不一定写出中间变量u，只需做到“心中有数”即可5、解 dx=dx=d（）=arctan+C6、解 dx=arcsin+C7、解 xdxsinxdx=-d(cosx)=- (cosx)+ xd(cosx)=-cosx+x+C8、解 xdx = dx= x- d(2x)= x - sin2x+C类似地可得 xdxx+sin2x+C9、解 dx =dx= +C= +C10、解 dx=dx=dx=d(sinx)=C（由例8)= C=lnC类似地可得dx=C11、解 利用三角函数的积化和差公式有cos2xdx= (cosx+cos5x)dx=dx+d(5x)=sinx+sin5x+C12、解 dx=+C13、解 dx=secxtanxdx=+C
