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1、典型高考数学试题解读与变式2018版考点20 平面向量【考纲要求】1.了解向量的实际背景2.了解向量线性运算的性质及其几何意义3.了解平面向量的基本定理及其意义4.了解平面向量的数量积与向量投影的关系5.理解平面向量的概念及向量的几何表示，理解两个向量相等的含义6.理解用坐标表示的平面向量共线的条件7.理解平面向量数量积的含义及其物理意义8.掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义9.掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义 10.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示11.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算12.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平
2、面向量的垂直关系13.会用向量方法解决某些简单的实际问题14会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算【命题规律】 高考对平面向量的考查，在选择题或填空题中一般是平面向量的线性运算、坐标运算，用向量方法解决平面几何问题，在解答题中也会出现与共线向量、数量积有关的问题.KS5UKS5UKS5U【典型高考试题变式】（一）平面向量的坐标运算例1.【2017山东卷】已知向量a=（2,6）,b= ，若，则 .【答案】【解析】由得，解得.【名师点睛】平面向量共线的坐标表示问题的常见类型及解题策略:（1）利用两向量共线求参数如果已知两向量共线,求某些参数的取值时,利用“若a(x1,y1),b(x2,y2),
3、则ab的充要条件是x1y2x2y1”解题比较方便(2)利用两向量共线的条件求向量坐标一般地,在求与一个已知向量a共线的向量时,可设所求向量为a(R),然后结合其他条件列出关于的方程,求出的值后代入a即可得到所求的向量(3)三点共线问题A,B,C三点共线等价于与共线.【变式1】【改变条件】已知向量a=（2,6），ab= ，若，则 .【答案】3【解析】由已知可得，因为，所以，解得.【变式2】【改变结论】已知向量a=（2,6），b= ，若，则 .【答案】【解析】由得，解得，所以.例2.【2017新课标卷】已知向量，且，则 .【答案】2【解析】由题意可得：，所以. 【名师点睛】向量垂直：.【变式1】【
4、改变例题中的条件】已知向量，（，1）若向量与垂直，则_【答案】7【解析】由题得，因为向量与垂直，所以，所以，解得.【变式2】【改变例题中的结论】已知向量，且，则 .【答案】【解析】由题意，.所以，所以.（二）平面向量的夹角例3. 【2016北京卷】已知向量 ，则a与b夹角的大小为_.【答案】【名师点睛】由向量数量积的定义(为，的夹角)可知，数量积的值、模的乘积、夹角知二可求一，再考虑到数量积还可以用坐标表示，因此又可以借助坐标进行运算.当然，无论怎样变化，其本质都是对数量积定义的考查.求解夹角与模的题目在近年高考中出现的频率很高，应熟练掌握其解法.【变式1】【改变已知条件】已知向量，则a与b夹
5、角的大小为_.KS5UKS5UKS5U【答案】【解析】由已知得，因为，所以.【变式2】【改变例题中的结论】已知向量，若a与b夹角为，则_.【答案】【解析】由已知得，因为，所以，所以.（三）数量积的运用例4.【2017天津卷】在ABC中，AB=3，AC=2. 若，（），且，则的值为 .【答案】 【解析】，所以，所以.【名师点睛】平面向量问题中，向量的线性运算和数量积是高频考点，当出现线性运算问题时，向要选好基底向量，如本题就要灵活使用向量，要注意结合图形的性质，灵活运用向量的运算解决问题，当涉及到向量数量积时，要记熟向量数量积的公式、坐标公式、几何意义等.【变式1】【改变例题的条件】在等边ABC
6、中，若，（），且，则的值为 .【答案】 【变式2】【改变例题的条件与结论】已知ABC是边长为1的等边三角形，点分别是边的中点，连接并延长到点，使得，则的值为 .【答案】KS5UKS5UKS5U【解析】设，所以，KS5UKS5U.KS5U所以.（四）平面向量与三角函数的交汇例5. 【2017江苏卷】 已知向量 （1）若ab，求x的值； （2）记，求的最大值和最小值以及对应的的值.KS5UKS5U【解析】（1）因为，所以.若，则，与矛盾，故.于是. 又，所以.（2）.因为，所以，从而.于是，当，即时，取到最大值3；当，即时，取到最小值.【名师点睛】向量的两个作用：载体作用：关键是利用向量的意义、作
7、用脱去“向量外衣”，转化为我们熟悉的数学问题；工具作用：利用向量可解决一些垂直、平行、夹角与距离问题.【变式1】【改变例题的结论】已知向量 （1）若ab，求x的值； （2）记，解不等式.KS5UKS5U【解析】（1）因为，所以.所以. 因为，所以.【变式2】【改变例题中的条件与结论】设向量a(sin x，sin x)，b(cos x，sin x)，（1）若|a|b|，求x的值；（2）设函数f(x)ab，求f(x)的最大值【解析】（1）由|a|2(sin x)2sin2x4sin2x，|b|2cos2xsin2x1，及|a|b|，得4sin2x1.又，从而sinx，所以x.（2）absin xc
8、os xsin2xsin 2xcos 2x，当时，取最大值1.所以的最大值为.【数学思想】数形结合思想:向量兼具代数的抽象与严谨和几何的直观与形象，向量本身是一个数形结合的产物，在利用向量解决问题时，要注意数与形的结合、代数与几何的结合、形象思维与逻辑思维的结合分类讨论思想:对向量的方向、向量的位置关系、参数进行讨论转化与化归思想. 【温馨提示】作两个向量的差时，要注意向量的方向是指向被减向量的终点在向量共线的重要条件中易忽视“a0”，否则可能不存在，也可能有无数个注意能作为基底的两个向量必须是不共线的要区分点的坐标与向量坐标的不同，尽管在形式上它们完全一样，但意义完全不同，向量坐标中既有方向
9、也有大小的信息0与实数0的区别：0a00，a(a)00，a000；0的方向是任意的，并非没有方向，0与任何向量平行，我们只定义了非零向量的垂直关系ab0不能推出a0或b0，因为ab0时，有可能ab.【典例试题演练】1.【2017河北省武邑中学调研】已知向量，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】由， ，得 ，所以，故选D.2. 【2018河南郑州一中测试】在中， 为边的中点，若， ，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】.故选D.3.【2018广州市海珠区测试】已知向量的夹角为，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D4. 【2016湖北省优质高中联考】已知向量，若，
10、则向量与 向量的夹角的余弦值是（）A B C D【答案】A【解析】，因为，所以，解得，当时，故选A5. 【2017江西赣中南五校联考】外接圆圆心O，半径为1，且，则向量在向量方向的投影为（）A B C D【答案】A【解析】因为，所以，所以三点共线，即；又因为，所以，所以，故向量在向量上的投影为，故选A6.【2017湖北省黄石市调研】已知向量且，则（ ）A3 B C D【答案】C【解析】由，得，所以，故选C.7. 【2017河北省衡水中学联考】 已知平面向量满足，且，则向量与 夹角的余弦值为（ ）A B C D【答案】C【解析】，所以，故选C.8.【2017湖南永州市模拟，11】已知向量与向量的
11、夹角为，且，又向量（且，），则的最大值为（ ）A B C D3【答案】A9.【2017四川巴中市“零诊”】已知向量与共线且方向相同，则 .【答案】 【解析】由题意得，所以，当时，方向相反，舍去，故.10. 【2017云南、四川、贵州联考】在矩形中，则_.【答案】12【解析】，故，所以. 11. 【2017江西南昌摸底】已知平面向量，若与垂直，则实数 .【答案】19【解析】，所以由得12. 【2017河北唐山市摸底】已知向量，则_【答案】13.【2018江苏省南京市调研】在中， 若，则实数的值为_【答案】【解析】因为，所以由余弦定理可得，又根据余弦定理可得， ，解得14. 【2017河南省南阳市六校联考】已知， .（1）若，求的值；（2）求与的夹角.【解析】（1），由，得，解得或.（2），.15. 【2016河南中原名校一联】在中，角，的对边分别为，已知向量，且（1）求角的大小；KS5UKS5UKS5U（2）若，求面积的最大值（2）由余弦定理得，因此，当且仅当时，等号成立；因此面积，因此面积的最大值
