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1、,第一节 可逆阵,第二节 nn型线性方程组,*第三节 分块阵的初等变换,第三章 可逆阵及n元线性方程组,第1节、可逆阵,一、逆矩阵的定义,二、伴随阵及矩阵可逆的条件,三、逆矩阵的性质,四、用初等行变换求逆矩阵,五、逆矩阵的应用,一、逆矩阵的定义,由定义 1 可知，若 B 是 A 的逆矩阵，则 A 也是 B 逆矩阵，即 A与 B 是互逆的.,设 A 是一个 n 阶方阵，如果存在 n 阶方阵 B , 使,A B = B A = E ,则称 B 为 A 的逆矩阵，此时也称 A 可逆.,若矩阵 A 是可逆的，则 A 的逆矩阵是唯一的.,设 B、C 均为 A 的逆矩阵，则,C = C E = C (A
2、B ) = (C A ) B = E B = B ,故 A 的逆矩阵是唯一的.,由矩阵 A 的逆矩阵的唯一性，记 A 的逆矩阵为 A1.,证,设 a11 a22 ann 0 , 则由定义可直接验证对角矩阵的逆矩阵,若方阵 A1 , A2 , , Am 均可逆，则分块对角矩阵与对角矩阵类似地有逆矩阵,上一页,上一页,定义2,当n1时，对n 阶方阵 , 称 为 矩阵A的代数余子式阵，称 为矩阵A的伴随阵。,例如,定理2,设 ，则,证,由行列式性质2与性质7，矩阵 的(i,j)元素为,非常重要,二、伴随阵及矩阵可逆的条件,同理可得,因此 。,即 ：(1) 若A可逆，则 ，且 (2)若 ，则A可逆，且
3、,其中 A* 为 A 的伴随矩阵.,方阵 A 可逆 det(A) 0 ,证,上一页,(1)：设 A 可逆，则存在A1, 使,A A1 = E ,由方阵乘积的行列式等于行列式的乘积，可知 det(A)det( A1) = det(A A1)= det(E)= 1 ,故 det(A) 0 且,(2)：设 , 由定理2, 可知,由定义可知, A可逆，并且,解,设,求 A1.,| A | 0 ,上一页,定义3,对n阶方阵A , 若det(A) =0，则A称为 奇异阵，否则称为非奇异阵。,上(下)三角阵为非奇异阵的充要条件是对角线元素都不为零。,推论,设,求 A1.,令,则,为分块对角矩阵,且 | A1
4、 | = 5 4 = 1 0 ,| A2 | = 10 12 = 2 0,解,上一页,由定理 3 还可得,因为 | A | | B | = | A B | = | E | = 1 ,且 A 1 = A 1 E = A 1 (A B) = (A 1 A ) B = B .,则 | A | 0, A 可逆 ,推论1,设 A、B 均为 n 阶方程，若 A B = E ( 或 B A = E ) , 则 B = A1 .,证,上一页,比定义简便的判断方法,因此推论得证.,三、逆矩阵的性质,矩阵的逆满足下列性质：,1) ( A1 ) 1 = A ;,2),3) ( A T )1 = ( A1 ) T ;
5、,4) ( A B)1 = B 1 A1 （即逆矩阵的乘积仍可逆 ）;,5),6) 若 A B = A C 且 A 可逆 B = C .,性质 4 还可推广到 m 个方阵的情形，即,特别： ( A m ) 1 = ( A1 ) m , 所有初等矩阵都是可逆阵，并且逆矩阵也是初等阵（原因?）.,四、用初等行变换求逆矩阵,若方阵 A 可逆的充要条件为存在有限个初等矩阵P1, P2, , Pm , 使,A = P1 P2 Pm .,必要性。由于 A 可逆，由定理1-2, 从而 A 的标准形为 n 阶单位矩阵 E. 于是存在有限次初等变换使 A 化为 E ；反之，也存在有限次初等变换使 E 化为 A.
6、 故 P1, P2, , Pm使,P1 P2 Ps E Ps+1 Pm = A ，,即 A = P1 P2 Pm 。,证,充分性。显然初等矩阵的行列式均不为零，即 P1, P2, , Pm 行列式均不为零，因此由,A = P1 P2 Pm,可知A的行列式也不为零，因此A可逆。证毕。,说明：A 经过一系列初等行变换变为 E ，则 E 经过同样的初等行变换变为 A1, 即,( A，E ),( E ，A1) .,矩阵求逆的简便方法,推论2,方阵 A可逆的充要条件是A与 E 等价 .,推论3,mn矩阵A与B等价的充要条件是存在m阶可逆阵P与n阶可逆阵 Q, 使得PAQ=B .,推论4,对 A左乘（右乘
7、）可逆阵对A进行有限次初等行（列）变换 .,解,设,求 A1.,( A, E ) =,故,上一页,设,例 6,提示：,五、逆矩阵的应用,1) 解方程,设 n 个方程 n 个未知量的线性方程组为,A x = b,其中 A = ( aij )n n . 若 det(A) 0 , 则 A1 存在，且,x = A 1 b,若求出 A1, 则能得到方程组的解.,解,解此方程组.,令,原方程组为 A x = b, x = A1 b ,由于 | A | = 2 0, A 可逆，故,而,即 x1 = 8, x2 = 9, x3 = 3.,上一页,2) 解矩阵方程,上一页,对矩阵方程AX=C, YB=C, 如果
8、A,B可逆，那么解分别为X=A-1C, Y=CB-1. 求解方法如下：,（1）求A,B的逆矩阵，可用伴随阵与初等行变焕的方法求解；,（2）直接用初等变焕的方法求解：,设 ，, 0,解,上一页,求 X .,设 A、B 为三阶矩阵， E为三阶单位阵，满足 A B + E = A2 + B ,又已知,求 B .,由 A B + E = A2 + B A B B = A 2 E , ( A E) B = ( AE) ( A + E ) .,| AE | 0, A E 可逆.,故 B = A + E,解,上一页,本节作业： 习题3-1：1, 2(1), 6,第2节、n元线性方程组,一、n元齐次方程组,二
9、、n元非齐次方程组,三、Gauss消去法,对于n元齐次线性方程组：Ax= 0 ，其中A为n 阶方阵，其必有解x=0,将其称为Ax = 0的零解。如果存在非零向量u，使得Au = 0, 则称其为Ax = 0的非零解。对于n元齐次线性方程组，其解的情况由如下定理所确定。,定理 1,对于n元齐次线性方程组Ax= 0 ，如下命题互为充要条件,（1） Ax= 0 只有零解（有非零解）； （2）det(A) 0 (det(A)=0 ); （3）A可逆（ A不可逆）。,证 采用循环证明方法。,(2)=(3). 如果(2)成立，那么(3)显然成立。,(3)=(1). 如果(3)成立，即A可逆，则存在A的逆矩阵
10、 ,令其左乘方程组的两端，可得 因此线性方程组只有零解，即(1)成立。,一、nn型齐次线性方程组,上一页,存在可逆阵P,Q, 使得矩阵A化为等价标准形,假设det(A)=0。 那么,因此，必有s(2). 假设(1)成立，利用反证法证明。,解,当 为何值时，方程组,(1) 有非零解; (2)只有零解.,设方程系数阵为 A , 则,当 = 2 或 = 1 时，det(A)=0, 方程组有非零解.,当 2 且 1 时，方程组只有零解.,设 n 个变量 n 个方程的线性方程组矩阵形式为Ax=b, 设方阵,证,定理2,设Ax=b为n元非齐次线性方程组，则 (1). 当A可逆时，方程组有唯一解 ； (2)
11、. (克莱姆法则) 当 时，方程组有唯一解 其中 ； (3). 当Ax=b有唯一解时，系数矩阵A必可逆。,(1). 如果A可逆，则,因此c为方程组的解。下证唯一性。设u也是方程组的解，即Au=b, 对其两端同时左乘A的逆矩阵，可得,因此 为方程组Au=b的唯一解。,二、nn型非齐次线性方程组,(2). 由,那么矩阵A与矩阵Bi 关于第i列有相同的代数余子向量 ，并且,由于 ，则A可逆，由(1)的结论，Ax=b有唯一解,并且,(3). 设Ax=b有唯一解c, 假设系数矩阵A不可逆, 那么方程组Ax=0有非零解，不妨设为u, 那么,由此可知向量u+c也为Ax=b的且不同于c解，与已知矛盾，因此矩阵
12、A必可逆。,方程组的解,定理2给出了求解方程组Ax=b的两种方法：,利用矩阵的初等变换，可以给出另外一种比较简单的方法：,求解线性方程组,解一,上一页,故,上一页,解二,三、线性方程组的Gauss消去法,Gauiss消元法的三种基本运算包括：,1. 对换两个方程的位置；,2. 用一个数去乘一个方程加到另一个方程上；,3. 用一个非零数去乘一个方程.,这三种运算称为线性方程组的初等变换.,设将方程 Ax = b 的增广矩阵 A = A, b 进行初等行变换所得到的矩阵为 B = B, c, 则 B 所对应的方程 Bx = c 与原方程Ax = b同解.,Ax = b,Bx = c,同解方程,初等行变换,例3,求解线性方程组,解,B,c对应的线性方程组为,Gauss化零法,回代法,本节作业： 习题3-2：1(2), 2,4,Gauss消去法,
