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1、2.2 对数函数一、对数的概念：如果N(0且1)，那么数x叫做以为底N的对数，记作x，其中叫做对数的底数，N叫做真数。（1）常用对数：把以10为底数的对数叫做常用对数log10N简记为lgN，如：log105记为lg5（2）自然对数：把以无理数（e2.71828）为底的对数称为自然对数，logeN简记为lnN，如：loge5记为ln5。性质：（1）0和负数没有对数；（2）1的对数是0，即loga10；（3）底数的对数等于1，即logaa1例1：求下列各式中的x（1）logx27 （2）xlog27 （3）log5(log2x)0【解析】：（1） logx27 27 3 x9（2）xlog27
2、3x2 x（3）log5(log2x)0 log2x1 x2变式练习：解下列方程 （1）log64x （2）logx42 （3）lg2xlgx20【解析】：（1） （2）2 （3）或1000二、对数运算性质 【如果a0且a1；M0，N0，m、nR】（1）loga(MN)logaMlogaN （2）logalogaMlogaN （3）logaMnnlogaM logab （4） 对数恒等式 （5）logab(c0且c1) 换底公式 （6）logab例2：计算（1）lg12.5lglg （2）lg5lg8lg5lg20lg22 （3）【解析】：（1）原式lg(12.5)lg101（2）原式lg5l
3、g23lg5(lg4lg5)lg22lg5lg22lg5lg2lg25lg22lg5lg2(lg5lg2)2112（3）原式14【lg5lg2lg101，lg20.301， lg50.699】 变式练习1：计算下列代数式的值。（1）lg1421g； （2）；（3）（4）； 【解析】：（1）：； （2）；（3）=（4）原式 = ；变式练习2：计算：的值为（ ）A：4 B：1 C：4 D：1【解析】： 4 C例3：【解析】（1）原式 = 变式练习1：计算：()()【解析】：13变式练习2：已知log189，18b5，求log3645的值。【解析】：，则log3645例4：解方程lg(x5)22【解
4、析】： lg(x5)22 2 lgx52 lgx51，即x510 x5或x15变式练习1：已知0，那么等于（ ）A： B： C： D：变式练习2：若实数x满足()，则x_。【解析】：15 ，得，x5(舍去) 或 x15三、对数函数概念：函数f(x)（0且1）叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域为（0，）例5：求下列函数的定义域（1）f(x)log2(x2) （2）f(x)【解析】：（1）x20 解之得x2（2）解之得x3且x2变式练习1：（1）f(x) （2）f(x)（3）f(x)【解析】：（1）x1且x3 （2）(1，2) （3）3x1且x2变式练习2：已知函数f(x)的定义域为M，g
5、(x)ln(1x)的定义域为N，则MN等于 ()A：xx1 B：xx1 C：x1x1 D：【解析】：C四、对数函数的图象与性质底数：a1底数：0a1定义域：(0，)值域：(，)恒过定点（1，0）在(0，)上是增函数在(0，)上是减函数当x1，y0当0x1， y0当x1，y0当x1，y0（1）底数互为倒数，两对数函数图象关于x轴对称（2）当a1在第一象限底数越大，图象越靠近x轴，在第四象限底数越大越靠近y轴；当0a1在第四象限底数越小越靠近x轴，在第一象限底数越小靠近y轴。【小大小大】（3）当a1，log2alog5alog0.2alog0.5a；反之若：当0a1，log0.5alog0.2al
6、og5alog2a例6：比较大小（1）_ （2）_（3） _ （4）_【解析】： 变式练习1：实数 ，的大小关系是_。【解析】变式练习2：如图是三个对数函数的图像，则、的大小关系是（ ）A： B： C：b D：【解析】：D变式练习3：关于x不等式的解集为_。【解析】：解之得：x变式练习4：求解关于x不等式1。【解析】：(0，)(1，)例7：已知函数f(x)，则ff(2)_。【解析】：f f(2)f ()f ()lg2变式练习1：已知函数函数f(x)lgx，若f(ab)1，则f(a2)f(b2)_。【解析】：2变式练习2：设函数f(x)(0且1)，若f(x1x2x2017)8，则f()f()f(
7、)的值等于_。【解析】：16例8：已知函数f(x)的定义域为R，实数的取值范围是_。【解析】：(1，)变式练习1：设函数f(x)，若函数f(x)的定义域为R，实数的取值范围是_。【解析】：(，)变式练习2：已知函数f(x) (0且1)。（1）函数f(x)的定义域是_；函数f(x)的是_函数（填奇、偶、非奇非偶）。变式练习3：已知函数f(x)，当x0，2时，函数f(x)恒有意义，求实数的取值范围是_。【解析】：，3ax0对x0,2恒成立，a0，且a1.设g(x)3ax，则g(x)在0,2上为减函数，g(x)ming(2)32a0，a.a的取值范围是(0,1)(1，)五、反函数：概念：设A，B分别
8、是函数yf(x)的定义域和值域，如果由函数yf(x)所解得的xg(y)也是一个函数（即对任意一个yB，都有唯一的一个xA与之对应，也就是一一映射），那么就称xg(y)是函数yf(x)的反函数，记作xf1(y)，习惯上改写成yf1(x)。特别的：指数函数和对数函数互为反函数。步骤：（1）求出函数yf(x)的值域作为反函数的定义域；（2）由yf(x)解出xf1(y)；（3）把xf1(y)改写成yf1(x)，并写出函数的定义域（即为原函数的值域）。性质：（1）原函数的定义域是反函数的值域，原函数的值域是反函数的定义域；（2）若奇函数存在反函数，则它的反函数也是奇函数；（3）若点（a，b）在原函数图象
9、上，则点(b，a)必在其反函数图象上；（4）原函数的单调性与反函数的单调性相同；（5）原函数与反函数的图象关于yx对称。例8：若函数yf(x)是函数yax(a0且a1)的反函数，且f(2)1，则f(x)_。【解析】：函数yf(x)是yax(a0且a1)的反函数 f(x)logax，f(2)1， f(2)loga21，a2 f(x)log2x变式练习：（1）已知y的反函数为yf(x)，若f(x0)，则x0_。【解析】：2（2）设函数f(x) ，yg(x)是f(x)的反函数，则g(2) _。【解析】：课 后 综 合 练 习1、化为对数式为() A：3 B：2 C：3 D：【解析】：C2、在b，实数
10、a的取值范围是()A：5或2 B：23或35 C： 25 D：34【解析】：B3、有以下四个结论：lg(lg10)0；ln(lne)0；若10lgx，则x10；若elnx，则xe2，其中正确的是()A： B： C： D：【解析】：C4、2log510log50.25( ) A：0B：1 C：2 D：4【解析】：C5、已知lg2，lg3，则log36() A： B： C： D：【解析】：B6、计算log89log932的结果为()A：4 B： C： D：【解析】：7、如果lg2，lg3，则等于()A： B： C： D：8、计算：（1） （2）（3）()() （4） 【解析】： 12 1 9、求下
11、列函数的定义域：（1） （2） （3） 【解析】：x4 x1 1x210、设集合设Ax| x1或x1 ，Bx | log2x0则AB等于（ ）A：xx1B：xx0 C：xx1D：xx1 或x1【解析】：A11、若log20， 1，则()A：1，b0 B：1，b0C：01，b0 D：01，b0【解析】D12、已知log7log3(log2x)0，那么x等于（ ） A： B： C： D：【解析】：C13、比较下列各组数中两个值的大小：（1）（2）（3） （4）（5） （6） 【解析】： 14、已知函数在上为增函数，则的取值范围是 。【解析】：215、函数且恒过定点 。【解析】：(4，3)16、已知函数f(x)，则ff()_。【解析】：17、设f(x) 的反函数为yg(x)，若g()8，则_。【解析】：218、已知函数f(x)。（1）若函数f(x)的定义域为R，求实数的取值范围；（2）若f(1)3，求f(x)的单调区间；（3）是否存在实数，使函数f(x)在(，2)上为增函数？若存在，求出的取值范围？若不存在，说明理由。【解析】：（1）；（2）(，1)增，减(3，)；（3）不存在，函数对称轴x，f(x)在(，2)上为增函数，则2且4430，故不存在。
