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1、江西省重点中学协作体2020届高三第一次联考数学(文科)试卷一、选择题1.已知全集，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】计算出集合和，利用交集的定义可求得集合.【详解】全集，则，因此，.故选：A【点睛】本题考查交集与补集的混合运算，考查计算能力，属于基础题.2.已知复数满足，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据复数满足，利用复数的除法和乘法，化简为，再利用复数的模公式求解.【详解】因为复数满足，所以，所以.故选：C【点睛】本题主要考查复数运算及复数的模，还考查了运算求解的能力，属于基础题.3.下列命题中，是假命题的是（ ）A. 若，则B. ，C.
2、 函数的最小正周期为D. 【答案】A【解析】【分析】选项A. 由数量积的运算性质，当时，则，结合向量垂直的定义，从而可判断.选项B. ，,从而可判断.选项C. 函数的最小正周期为，从而可判断.选项D. 由对数运算可得，从而可判断.【详解】选项A. 由数量积的运算性质，当时，则，当或者时，与不垂直，当且时，有，从而A不正确.选项B. ，,从而B正确.选项C. 函数的图象如图.由，结合函数的图象，可得的最小正周期为，从而C正确.选项D. 设，则，所以所以，从而D正确.故选：A【点睛】本题考查命题真假判断，考查向量垂直的判断，三角函数的周期的判断，对数的运算，属于基础题.4.如图，样本容量均为的四组
3、数据，它们的平均数都是，条形统计图如下，则其中标准差最大的一组是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据每组的条形统计图计算标准差，进而可得出合适的选项.【详解】对于第一组，个数均为，其标准差为；对于第二组，标准差为；对于第三组，标准差为；对于第四组，标准差为.因此，标准差最大的为第四组.故选：D.【点睛】本题考查标准差的大小比较，根据条形统计图计算出标准差是解题的关键，考查计算能力，属于基础题.5.已知单位圆上第一象限一点沿圆周逆时针旋转到点，若点的横坐标为，则点的横坐标为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据任意角的三角函数的定义可得，从而可得，进
4、而求出，再利用三角函数的定义即可求解.【详解】由单位圆上第一象限一点沿圆周逆时针旋转到点，点的横坐标为，所以，即，所以，设点的横坐标为，则.故选：B【点睛】本题考查了三角函数的定义，理解任意角的三角函数定义是关键，属于基础题.6.函数的大致图象为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】分析函数在处的取值，以及该函数在区间和函数值符号，结合排除法可得出合适的选项.【详解】对于函数，当时，即该函数图象过原点，排除B选项；当时，则，排除C选项；当时，则，排除D选项.故选：A.【点睛】本题考查利用函数解析式选择函数图象，一般需分析函数的定义域、奇偶性、单调性、零点与函数值符号，结合排除
5、法得出正确选项，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.7.程大位是明代著名数学家，他的新编直指算法统宗是中国历史上一部影响巨大的著作卷八中第33问：“今有三角果一垛，底阔每面七个问该若干？”如图是解决该问题的程序框图执行该程序框图，求得该垛果子的总数S为（ ）A. 28B. 56C. 84D. 120【答案】C【解析】【分析】由已知中的程序可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量的值，模拟程序运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，即可求解.【详解】模拟程序的运行，可得： 执行循环体，；不满足判断条件，执行循环体，；不满足判断条件，执行循环体，；不满足判断条件，执行循环体，；不满足判
6、断条件，执行循环体，；不满足判断条件，执行循环体，；不满足判断条件，执行循环体，；满足判断条件，退出循环，输出的值为.故选C.【点睛】本题主要考查了循环结构程序框图的计算与输出问题，其中解答中模拟程序运行的过程，通过逐次计算和找出计算的规律是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.8.已知平面向量满足，若，则的值为（ ）A. B. C. D. 与有关【答案】C【解析】【分析】根据向量数量积运算律进行展开，代入对应数值即得结果.【详解】故选：C【点睛】本题考查向量数量积运算律，考查基本分析求解能力，属基础题.9.已知双曲线，为双曲线的右焦点，过作斜率为的直线与双曲线的两条渐近线分别交于
7、两点，若为的内心，则双曲线方程为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】分析】设直线的方程为，再根据内心为内切圆的圆心可知焦点到的三边距离相等，进而列式可得即可得出双曲线方程.【详解】直线的方程为，即.因为到渐近线的距离为.且为的内心，故焦点到的三边距离相等，故 ，故，解得.故双曲线方程为，即.故选：A【点睛】本题主要考查了双曲线方程的求解，需要根据题意利用内心的性质，结合点到线的距离公式列式求解.属于中档题.10.已知函数是定义在上的单调减函数且为奇函数，数列是等差数列，且，则的值（ ）A. 恒为负数B. 恒为正数C. 恒为D. 可正可负【答案】A【解析】【分析】先根据等差数列性质得
8、，再根据奇函数性质以及单调性得，最后根据类推可判断选择.【详解】因为数列是等差数列，所以因为函数是定义在上的单调减函数且为奇函数，所以同理可得因此故选:A【点睛】本题考查等差数列性质、奇函数性质以及单调性，考查综合分析判断能力，属中档题.11.已知，则下列选项正确的是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】对于选项A：先构造函数，利用导数研究其单调性，进而根据单调性作判断；对于选项B,选项C与选项D，利用放缩进行判断.【详解】对于选项A：构造函数，则，所以函数在上单调递减，所以，即，即，即，故A错；对于选项B：由可得，故B错；对于选项D：，故D错；对于选项C：，故C正确.故选：
9、C【点睛】本题考查利用函数单调性以及放缩法比较大小,考查综合分析与求解能力，属中档题.12.已知直角三角形中，斜边上两点，满足，则的最小值是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】法一：设，记为，利用三角形的面积公式可得，点到斜边的距离为，可得，由余弦定理可得，利用基本不等式即可求解.法二：设，在和中，由正弦定理求出，再利用三角形的面积公式，结合三角函数的性质即可求解.【详解】解析：（法一）设，记为，则在中有，即.在中，点到斜边的距离为，故，即由余弦定理可得：，当且仅当时，取等号. 即，可得.法二：设，则在和中，由正弦定理可得：，即，得所以 .，面积的最小值为，故选：D.【点睛
10、】本题考查了三角形的面积公式、正弦定理、余弦定理、三角函数的性质、基本不等式，综合性比较强，属于中档题.二、填空题13._.【答案】【解析】【分析】根据，再根据正余弦的差角公式求解即可.【详解】.故答案为：【点睛】本题主要考查了根据正余弦差角公式求解三角函数值的问题，需要转换到特殊角的三角函数进行求解，属于基础题.14.已知，若，则实数的解集是_.【答案】【解析】【分析】先根据分段函数解析式分类列不等式，再解不等式得结果.【详解】或解得或故答案为：【点睛】本题考查解分段函数不等式，考查分类讨论思想方法以及基本求解能力，属基础题.15.已知直线与焦点在轴上的椭圆总有公共点，则椭圆的离心率取值范围
11、是_.【答案】【解析】【分析】由焦点在轴上得，再由直线与椭圆总有公共点，得，解不等式得，最后根据离心率公式求结果.【详解】因为椭圆焦点在轴上，所以，因为，所以；因为直线与椭圆总有公共点，所以，综上,故答案为：【点睛】本题考查椭圆离心率、直线与椭圆位置关系,考查基本分析求解能力，属中档题.16.已知三棱锥中，满足，则当三棱锥体积最大时，直线与夹角的余弦值是_.【答案】【解析】【分析】先确定三棱锥体积最大时位置，再作平行得直线与的夹角，最后根据余弦定理求结果.【详解】如图所示，因为的面积为定值，所以当平面平面时，三棱锥体积最大，过作，过作，所以为与所成角或补角；过点作交于，则平面，所以平面，即，因
12、为，所以为直角三角形，所以，因为，所以为直角三角形，所以，则，所以.因此直线与夹角的余弦值是故答案为：【点睛】本题考查线线角、余弦定理以及三棱锥体积，考查基本分析与求解能力，属中档题.三、解答题17.某社会机构为了调查对手机游戏的兴趣与年龄的关系，通过问卷调查，整理数据得如下列联表：40岁以下40岁以上合计很兴趣301545无兴趣203555合计5050100（1）根据列联表，能否有的把握认为对手机游戏的兴趣程度与年龄有关？（2）若已经从岁以下的被调查者中用分层抽样的方式抽取了名，现从这名被调查者中随机选取名，求这名被调查者中恰有名对手机游戏无兴趣的概率.0.1000.0500.0100.00
13、12.7063.846.63510.828（注：参考公式：，其中）【答案】（1）没有的把握认为手机游戏的兴趣程度与年龄有关（2）【解析】【分析】（1）先根据卡方公式求卡方，再对照数据作判断；（2）先根据分层抽样确定各层抽取人数，再利用枚举法确定事件所包含事件数，最后根据古典概型概率公式求结果.【详解】解：（1）没有的把握认为手机游戏的兴趣程度与年龄有关.（2）由题得岁以下的被调查者中用分层抽样的方式抽取的名人员中有名对手机游戏很兴趣，设为、；有名对手机游戏无兴趣，设为、，从、中随机选取名的基本事件有、共个.其中恰有个的有、共个这名被调查者中恰有名对手机游戏无兴趣的概率为.【点睛】本题考查卡方公
14、式以及古典概型概率，考查基本分析求解与判断能力，属基础题.18.已知非零数列满足，；（1）证明：数列为等比数列，并求的通项公式；（2）求数列的前项和.【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】【分析】（1）根据递推关系式，利用等比数列的定义即可证明数列为等比数列，再利用等比数列的通项公式求出数列的通项公式即可求解.（2）利用分组求和法、错位相减法以及等差数列、等比数列的前项和公式即可求解.【详解】解：（1）依题意：，所以，即数列为等比的等比数列，所以，可得，所以（2）由（1）可知，令，则，所以，即，所以【点睛】本题考查了等比数列的定义、递推关系式求通项公式、分组求和法、错位相减法以及等差数列、等比数列的前项和公式，属于中档题.19.已知棱长为的正方体中，分别为棱和的中点.（1）证明：平面；（2）求点到平面的距离.【答案】（1）证明见解
