《2010年高三数学高考复习必备精品：三角函数的图象与性质.doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2010年高三数学高考复习必备精品：三角函数的图象与性质.doc（10页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、用心 爱心 专心 三角函数的图象与性质三角函数的图象与性质 一一 【课标要求课标要求】 1能画出y=sin x, y=cos x, y=tan x的图像，了解三角函数的周期性； 2借助图像理解正弦函数、余弦函数在0，2，正切函数在（/2，/2）上的 性质（如单调性、最大和最小值、图像与x轴交点等） ； 3结合具体实例，了解y=Asin（wx+）的实际意义；能借助计算器或计算机画出 y=Asin（wx+）的图像，观察参数A，w， 对函数图像变化的影响 二二 【命题走向命题走向】 近几年高考降低了对三角变换的考查要求，而加强了对三角函数的图象与性质的考查， 因为函数的性质是研究函数的一个重要内容，
2、是学习高等数学和应用技术学科的基础，又是 解决生产实际问题的工具，因此三角函数的性质是本章复习的重点。在复习时要充分运用数 形结合的思想，把图象与性质结合起来，即利用图象的直观性得出函数的性质，或由单位圆 上线段表示的三角函数值来获得函数的性质，同时也要能利用函数的性质来描绘函数的图象， 这样既有利于掌握函数的图象与性质，又能熟练地运用数形结合的思想方法 预测 2010 年高考对本讲内容的考察为： 1题型为 1 道选择题（求值或图象变换） ，1 道解答题（求值或图像变换） ； 2热点问题是三角函数的图象和性质，特别是y=Asin（wx+）的图象及其变换； 三三 【要点精讲要点精讲】 1正弦函数
3、、余弦函数、正切函数的图像 1 -1 y=sinx -3 2 -5 2 -7 2 7 2 5 2 3 2 2 - 2 -4 -3-2 43 2 - o y x 1 -1 y=cosx -3 2 -5 2 -7 2 7 2 5 2 3 2 2 - 2 -4 -3 -2 4 3 2 - o y x y=tanx 3 2 2 - 3 2 - - 2 o y x y=cotx 3 2 2 2 - - 2 o y x 2三角函数的单调区间： xysin的递增区间是 2 2 2 2 kk，)(Zk ， 用心 爱心 专心 递减区间是 2 3 2 2 2 kk，)(Zk ； xycos的递增区间是kk22，)
4、(Zk ， 递减区间是kk22，)(Zk ， xytan的递增区间是 22 kk，)(Zk ， 3函数BxAy)sin(），（其中00A 最大值是BA，最小值是AB ，周期是 2 T，频率是 2 f，相位是x， 初相是；其图象的对称轴是直线)( 2 Zkkx ，凡是该图象与直线By 的交 点都是该图象的对称中心 4由ysinx的图象变换出ysin(x)的图象一般有两个途径，只有区别开这两 个途径，才能灵活进行图象变换。 利用图象的变换作图象时，提倡先平移后伸缩，但先伸缩后平移也经常出现无论哪种变 形，请切记每一个变换总是对字母x而言，即图象变换要看“变量”起多大变化，而不是 “角变化”多少。
5、途径一：先平移变换再周期变换(伸缩变换) 先将ysinx的图象向左(0)或向右(0平移个单位，再将图象上各点 的横坐标变为原来的 1 倍(0)，便得ysin(x)的图象 途径二：先周期变换(伸缩变换)再平移变换。 先将ysinx的图象上各点的横坐标变为原来的 1 倍(0)，再沿x轴向左(0)或 向右(0平移 | 个单位，便得ysin(x)的图象。 5由yAsin(x)的图象求其函数式： 给出图象确定解析式y=Asin（x+）的题型，有时从寻找 “五点”中的第一零点 （ ，0）作为突破口，要从图象的升降情况找准第一个零点的位置。 6对称轴与对称中心： sinyx的对称轴为 2 xk ，对称中心为
6、(,0) kkZ； cosyx的对称轴为xk，对称中心为 2 (,0)k ； 对于sin()yAx和cos()yAx来说，对称中心与零点相联系，对称轴与最 值点联系。 7求三角函数的单调区间：一般先将函数式化为基本三角函数的标准式，要特别注意 A、的正负利用单调性三角函数大小一般要化为同名函数,并且在同一单调区间； 8求三角函数的周期的常用方法： 经过恒等变形化成“sin()yAx、cos()yAx”的形式，在利用周期公 式，另外还有图像法和定义法 用心 爱心 专心 9五点法作y=Asin（x+）的简图： 五点取法是设x=x+，由x取 0、 2 、 2 3 、2 来求相应的x值及对应的y值，
7、再描点作图。 四四 【典例解析典例解析】 题型 1：三角函数的图象 例 1 （2009 浙江理）已知a是实数，则函数( )1sinf xaax 的图象不可能是 ( ) 解析 对于振幅大于 1 时，三角函数的周期为 2 ,1,2TaT a ，而 D 不符合要求， 它的振幅大于 1，但周期反而大于了2 答案：D 例 2 （2009 辽宁理，8）已知函数( )f x=Acos(x)的图象如图所示， 2 () 23 f ，则 (0)f=（ ） A. 2 3 B. 2 3 C.- 1 2 D. 1 2 答案 C 题型 2：三角函数图象的变换 例 3试述如何由y= 3 1 sin（2x+ 3 ）的图象得到
8、y=sinx的图象 解析：y= 3 1 sin（2x+ 3 ）来源:Zxxk.Com ）（ 纵坐标不变 倍横坐标扩大为原来的 3 sin 3 1 2 xy 来源:Zxxk.Com xysin 3 1 3 纵坐标不变 个单位图象向右平移 用心 爱心 专心 xysin 3 横坐标不变 倍纵坐标扩大到原来的 另法答案：来源:Z&xx&k.Com （1）先将y= 3 1 sin（2x+ 3 ）的图象向右平移 6 个单位，得y= 3 1 sin2x的图象； （2）再将y= 3 1 sin2x上各点的横坐标扩大为原来的 2 倍（纵坐标不变） ，得y= 3 1 sinx的 图象； （3）再将y= 3 1 s
9、inx图象上各点的纵坐标扩大为原来的 3 倍（横坐标不变） ，即可得到 y=sinx的图象。 例 4(2009 山东卷理)将函数sin2yx的图象向左平移 4 个单位, 再向上平移 1 个单位, 所得图象的函数解析式是( ). A.cos2yx B. 2 2cosyx C.) 4 2sin(1 xy D. 2 2sinyx 解析 将函数sin2yx的图象向左平移 4 个单位,得到函数sin2() 4 yx 即 sin(2)cos2 2 yxx 的图象,再向上平移 1 个单位,所得图象的函数解析式为 2 1 cos22cosyxx ,故选 B. 答案:B 【命题立意】:本题考查三角函数的图象的平
10、移和利用诱导公式及二倍角公式进行化简解析 式的基本知识和基本技能,学会公式的变形. 7.(2009 山东卷文)将函数sin2yx的图象向左平移 4 个单位, 再向上平移 1 个单位,所得 图象的函数解析式是( ). A. 2 2cosyx B. 2 2sinyx C.) 4 2sin(1 xy D. cos2yx 解析 将函数sin2yx的图象向左平移 4 个单位,得到函数sin2() 4 yx 即 sin(2)cos2 2 yxx 的图象,再向上平移 1 个单位,所得图象的函数解析式为 2 1 cos22cosyxx ,故选 A. 答案:A 【命题立意】:本题考查三角函数的图象的平移和利用诱
11、导公式及二倍角公式进行化简解析 式的基本知识和基本技能,学会公式的变形. 用心 爱心 专心 题型 3：三角函数图象的应用 例 5已知电流I与时间t的关系式为sin()IAt。 （）右图是sin()IAt（0，| 2 ） 在一个周期内的图象，根据图中数据求sin()IAt 的解析式； （）如果t在任意一段 1 150 秒的时间内，电流 sin()IAt都能取得最大值和最小值，那么 的最小正整 数值是多少？ 解析:本小题主要考查三角函数的图象与性质等基础知识，考查运算能力和逻辑推理能 力 （）由图可知 A300。 设t1 1 900 ，t2 1 180 ， 则周期T2（t2t1）2（ 1 180
12、1 900 ） 1 75 。 2 T 150。来源:Z_xx_k.Com 又当t 1 180 时，I0，即 sin（150 1 180 ）0， 而| 2 ， 6 。 故所求的解析式为300sin(150) 6 It 。 （）依题意，周期T 1 150 ，即 2 1 150 ， （0）来源:学.科.网 300942，又 N*， 故最小正整数 943。 点评:本题解答的开窍点是将图形语言转化为符号语言其中，读图、识图、用图是形 数结合的有效途径 例 6 （1） （2009 辽宁卷理）已知函数( )f x=Acos(x)的 图象如图所示， 2 () 23 f ，则(0)f=( ) A. 2 3 B.
13、 2 3 C. 1 2 D. 1 2 300 -300 1 180 - 1 900 o I t 图 用心 爱心 专心 来源:学科网 ZXXK 解析 由图象可得最小正周期为 2 3 于是 f(0)f(),注意到与关于对称 2 3 2 3 2 7 12 所以 f()f() 2 3 2 3 2 答案 B （2） （2009 宁夏海南卷理）已知函数 y=sin（x+） （0, -）的图像如图所 示，则 =_ 解析：由图可知， 544 ,2 ,1 255 89 , 510 Tx 把代入y=si n有： 1=si n 答案： 9 10 来源:学+科+网 题型 4：三角函数的定义域、值域 例 7 （1）已知f（x）的定义域为0，1 ，求f（cosx）的定义域； （2）求函数y=lgsin（cosx）的定义域； 分析：求函数的定义域：（1）要使 0cosx1， （2）要使 sin（cosx）0，这里的 cosx以它的值充当角。 解析：（1）0cosx12k 2 x2k+ 2 ，且x2k（kZ Z） 。 所求函数的定义域为xx2k 2 ，2k+ 2 且x2k，kZ Z。 （2）由 sin（cosx）02kcosx2k+（kZ Z） 。 又1cosx1，0cosx1。 故所求定义域为xx（2k 2 ，2k+ 2 ） ，kZ Z。 点评：求三角函数的定义域，要解三角不等式
