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1、1 第二章有理数及其运算 基本知识点 知识点 1 有理数的意义 （1）有理数：整数和分数统称为有理数。 （2）有理数的分类 负分数 正分数 分数 负整数 零 正整数 整数 有理数 负 分 数 负 整 数 负 有 理 数 零 正 分 数 正 整 数 正 有 理 数 有 理 数 重点提示 ：零既不是正数，也不是负数；它是整数。自然数包括零和正整数。 知识点 2 几个重要概念：数轴、相反数、绝对值、倒数 （1）数轴 规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴。 数轴的三要素：原点、正方向、单位长度 数轴的用途： 用数轴表示数： 所有的实数都可以用数轴上的点来表示，数轴上的任一点都表示一个实数。 实数
2、和数轴上的点是一一对应的。 用数轴比较两个数的大小： 在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大。正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负 数。 重点提示 ：任何一个有理数都可以用数轴上的点来表示，但数轴上的点不一定表示有理数。 （2）相反数 如果两个数只有符号不同，那么我们称其中一个是另一个的相反数，也称这两个数互为相反数。 特别地， 0 的相反数是0。 重点提示 ：相反数是两个数之间的一种相互关系，是成对出现的。 相反数的性质： 任何一个数都有一个相反数，并且只有一个相反数。 正数的相反数是负数，负数的相反数是正数，0 的相反数是0。 2 互为相反数的两个数之和为0。反过来，和为0 的
3、两个数互为相反数。 相反数求法： 求一个数的相反数只需在这个数的前面加上一个负号就可以了。 （3）绝对值 在数轴上表示数a 的点与原点的距离叫做数a 的绝对值，记作|a|。 )0( )0(0 )0( | aa a aa a 重点提示 ：有理数 a 取任何值，它的绝对值总是非负数（正数或0） 。即对任意有理数，总有|a| 0。 （4）倒数与负倒数 定义：乘积为1 的两个有理数互为倒数。乘积为1 的两个有理数互为负倒数。 倒数的求法： 求一个数的倒数，直接写成这个数分之一； 求一个分数的倒数，只要将分子、分母颠倒即可； 求一个带分数的倒数，应先将带分数化成假分数，再求倒数； 求一个小数的倒数，应先
4、将小数化成分数，再求倒数。 重点提示 ：零没有倒数，其它任何有理数均有倒数。正数的倒数是正数，负数的倒数是负数。 知识点 3 有理数的运算 加法：a+b=b+a （a+b）+c=a+ （b+c ） 减法：减去一个数等于加上这个数的相反数。 乘法：ab=ba（ab）c=a（bc）a（b+c）=ab+ac 除法：除以一个数等于乘这个数的倒数。即)0( 1 b b aba。 乘方：求几个相同因数的积的运算叫做乘方，乘方的结果叫幂。 乘方的性质：正数的任何次幂都是正数。负数的偶次幂是正数，奇次幂是负数。0 的任何次幂 都是 0。任何数a 的偶次幂为非负数，即a 2n0（n 是整数）。 有理数的运算顺序
5、：先算乘方、再算乘除，最后算加减，如果有括号，先算括号里面的。 重点提示：同级运算中，按照从左往右的先后顺序进行计算。 一个正数的绝对值是它本身 零的绝对值是零 一个负数的绝对值是它的相反数 3 综合方法 非负数及其性质 （1）非负数 若数0a，称 a 为非负数，初中阶段有三种非负数： | a ， 2 a ， a 。 （2）非负数的性质 若几个非负数的和为零，则这几个非负数都为零。 例若0)3(|5| 2 ba，则ba。 有理数大小比较的方法 （1）数轴比较法 将两个数分别在数轴上表示出来，右边的总比左边的大，表示同一点的两个数相等。 （2）差值比较法 设 a 、b为任意两数，则baba0，b
6、aba0，baba0 （3）商值比较法 设 a 、b为两个正有理数，则ba b a 1，ba b a 1，ba b a 1 （4）绝对值比较法 设 a 、b为两个负有理数，则baba|，baba|，baba| 此外还有倒数法、平方法、特殊值法等。 重要例题分类解析 【题例 1】有理数的意义 例 1 把下列各数填入相应集合的括号内： . 20 3 5,4.3,3, 1,0%,8.9,20, 9 8 ,3.6 整数集合： ； 分数集合： ； 正有理数集合： ； 非正有理数集合： 。 【题例 2】有理数的重要概念 例 2 3 1 的相反数是， 3 1 的绝对值是， 3 1 的倒数是。 4 例 3 已
7、知实数 a 、b在数轴上对应的点如图所示，则下列式子正确的是（） 。 A0abB |ba C0baD0ba 【题例 3】有理数的混合运算 例 4 |4.2|)8.4(5。 例 5 按一定规律排列的一列数依次为：. 35 1 , 26 1 , 15 1 , 10 1 , 3 1 , 2 1 ，按此规律排列下去，这列数中的第7 个 数是。 【题例 4】利用非负数的性质解题 例 6 若03|2|ba，则ba2 2 。 例 7 若|1|ba与42ba互为相反数，则 2004 )(ba。 【题例 5】有理数的大小比较 例 8 下列四个数中，在2 和 1 之间的数是（） A.3 B. 0 C.2 D.3
8、例 9 比较大小： 3 2 4 3 。 中考最新动向分析 定义新运算 例 10 现规定一种新的运算“* ” ： b aba，如9323 2 ，则3 2 1 。 创新应用题 例 11 某项科学研究，以45 分钟为 1 个时间单位，并记每天上午10 时为 0，10 时以前记为负，10 时以 后记为正，例如9：15 记为 1，10：45 记为 1 等等。依此类推，上午7：45 应记为（） A. 3 B. 3 C. 2.5 D. 7.45 例 12 一跳蚤在一直线上从O 点开始，第1 次向右跳 1 个单位，紧接着第2 次向左跳 2 个单位，第3 次向 右跳 3 个单位， 第 4 次向左跳4 个单位 , 依次规律跳下去，当它跳第 100 次落下时， 落点处离O 点的距 离是个单位，且在O 点的边。 1 0 1 a 1 1 1 b 1 1
