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1、第五章 第 34 炼 向?的模长问题几何法 向? 第 34 炼 向量的模长问题几何法 一?基础知识? 1?向?和差的几何意义?已知向?, a b r r ，则? ?1?若, a b r r 共起点，则利用?行四边形法则求ab+ rr ，可得ab+ rr 是以, a b r r 为邻边的?行四 边形的对角线 ?2?若, a b r r 首尾相接，则利用?角形法则求出ab+ rr ，可得ab+ rr ，, a b r r 围成一个?角形 2?向?数乘的几何意义?对于a r ?1?共线?行? 特点?a r 与a r 为共线向?， 其中0时，a r 与a r 同向?0时，a r 与a r 反向 ?2?
2、模长关系?aa= rr 3?与向?模长问题相关的定理? ?1?角形中的相关定理?设ABC?个内角, ,A B C所对的边为, ,a b c ? ?弦定理? sinsinsin abc ABC = ? 余弦定理? 222 2cosabcbcA=+ ?2?菱形?对角线垂直?分，且为内角的角?分线 特别的，对于底角60o的菱形，其中一条对角线将?菱形分割为两个全等的等边?角 形? ?3?矩形?若四边形ABCD的?行四边形，则对角线相等是该四边形为矩形的充要条件 4?利用几何法求模长的条件?条件中的向?运算可构成特殊的几何图形，且所求向?与几 何图形中的某条线段相关，则可考虑利用条件中的几何知识处理模
3、长 二?典型例题? 例 1? ?2015 届北京市重点中学高? 8 ?开学测试数学试卷?已知向?,a b r r 的夹角为45o， 且1, 210aab= rrr ，则b= r ? ? A. 2 B. 2 C. 2 2 D. 3 2 思 路 ： 本 题 利 用 几 何 图 形 可 解 ， 运 用 向 量 加 减 运 算 作 出 如 ? 图 形 ： 可 知 第五章 第 34 炼 向?的模长问题几何法 向? 2,10 4 ABBAC =，只需利用余弦定理求出BC 即可。 解?如图可得?bBC= r ，在ABC中，? 222 2cosACABBCAB BCB=+ 即? 2 1042 2cos 4 B
4、CBC =+ 2 2 260BCBC=解 得3 2BC =或 2BC = ?舍? 所以3 2b = r ， 答案?选D 例 2? 若?面向?, ,a b c r r r 两两所成的角相等， 且1,3abc= rrr ， 则abc+ rrr 等于 ? ? A. 2 B. 5 C. 2或5 D. 2或5 思路：首先由, ,a b c r r r 两两所成的角相等可判断出存在两种情况：一是, ,a b c r r r 同向?如图 1， ?时夹角均为 0? ， 则abc+ rrr 为5 ， 另一种情况为两两夹角 2 3 ?如图 2? ， 以1ab= rr 为突破口，由平行四边形法则作图得到ab+ rr
5、 与, a b r r 夹角相等，1aba+= rrr ?底角为60o 的菱形性质? ，且与c r 反向，进而由图得到2abc+= rrr ，选 C 答案?C 例 3?已知向?, a b r r ，且1,2ab= rr ，则2ba rr 的取值范围是? ? A. 1,3 B. 2,4 C. 3,5 D. 4,6 思路：先作出a r ，即有向线段AB，考虑2ba rr ，将2b r 的起点与A重合，终点C绕A旋转 且24ACb= r ， 则2ba rr 即为BC的长度， 通过观察可得C与,A B共线时2ba rr 达 到最值。所以 maxmin 25, 23baba= rrrr ，且2ba rr
6、 连续变化，所以2ba rr 的取值范 第五章 第 34 炼 向?的模长问题几何法 向? 围是3,5 答案?C 例 4?设, a b r r 是两个非零向?，且2abab=+= rrrr ，则ab= rr _ 思路：可知, ,a b ab+ r r rr 为平行四边形的一组邻边和一条对角线，由2abab=+= rrrr 可知 满足条件的只能是底角为60o， 边长2a = 的菱形， 从而 可求出另一条对角线的长度为32 3a = 答案?2 3 例 5? 已知, a b r r 为?面向?， 若ab+ rr 与a r 的夹角为 3 ，ab+ rr 与b r 的夹角为 4 ， 则 a b = r r
7、? ? A. 3 3 B. 6 4 C. 5 3 D. 6 3 思路：可知, ,ab a b+ rr r r 为平行四边形的一组邻边及对角线，通 过 作 图 和 平 行 四 边 形 性 质 得 ： 在ABD中 ， , 34 ABaADbABDADB = rr ， 由?弦定理 可得： sin sin6 4 sin3 sin 3 ABADB ADABD =，即 6 3 a b = r r 答案?D 例 6?已知, a b r r 是单位向?，且, a b r r 的夹角为 3 ，若向?c r 满足|2 | 2cab+= r rr ，则|c r 的 最大值为? ? A.23+ B.23 C.72+
8、D.72 思路：本题已知,a b r r 模长且夹角特殊，通过作图可得2ba uu rr 为模长为3，设 第五章 第 34 炼 向?的模长问题几何法 向? () 2mcba=+ urrrr ，则可得2m = ur 且 () 2cmba= rurrr ，而m ur 可视为以2ba uu rr 共起点，终点 在以起点为圆心，2 为半径的圆?。通过数形结合可得c r 的最大值为23+?时m ur 的终 点位于A点? 答案?A 例 7?在ABC中，,3 3,6 6 BABBC = uuu ruuu r ，设D是AB的中点，O是ABC所 在?面内的一点，且320OAOBOC+= uuu ruuu ruu
9、u rr ，则DO uuur 的值是 ? ? A. 1 2 B. 1 C. 3 D. 2 思路： 本题的关键在于确定O点的位置， 从而将DO uuur 与已知 线段找到联系，将320OAOBOC+= uuu ruuu ruuu rr 考虑变形为 () 323OAOBOCOAOBOBOCCB+= += uuu ruuu ruuu ruuu ruuu ruuu ruuu ruuu r ，即 1 3 OAOBCB+= uuu ruuu ruuu r ，设 OEOAOB=+ uuu ruuu ruuu r ，则,O D E?点共线，且OEBC，所以由平行四边形性质可得： 11 1 26 ODOECB=
10、 uuuruuu ruuu r 答案?B 例 8?已知向?,1ae e= rr r ，对任意的tR，恒?ateae rrrr ，则 () eae rrr 的值为 _ 思路：本题以ateae rrrr 作为突破口，通过作图设,ABa ACe= uuu rr uuurr ，D为直线l?一 点，则有ADte= uuurr 。从而可得,aeBCateBD= rrrr ，即BDBC，所以C点为 直线l?到B距离最短的线段，由平面几何知识可得最短的线段为B到l的垂线段。所以 BCl，即 () eae rrr ，所以有 () 0eae= rrr 答案?0 小炼有话说：本题若用图形解决，找到,ate ae r
11、r rr 在图?的位置和两个向量的联系是关键 第五章 第 34 炼 向?的模长问题几何法 向? 例 9?已知?面向?, ,a b c r r r 满足1,2ab= rr ，且1a b= r r ，若向?,ac bc rr rr 的夹角为 60o，则c r 的最大值是_ 思 路 ： 由,a b r r 条 件 可 得,a b r r 夹 角的 余 弦 值 1 cos120 2 a b a b = = o r r r r，若用代数方法处理夹角60o 的 条 件 ， 则 运 算 量 较 大 。 所 以 考 虑 利 用 图 形 ， 设 ,ABa ADb ACc= uuu rr uuurr uuurr
12、， 则,CDbc CBac= uuu rrr uuu rrr ， 即60DCB= o ， 从 而 180DCB+= o ，可判定, , ,A B C D四点共圆，则AC uuur 的最大值为四边形ABCD外接圆 的 直 径 ， 即ABD的 直 径 。 在ABD中 ， 由 余 弦 定 理 可 得 ： 222 2cos7BDABADAD AB=+=，所以7BD=，由?弦定理可得 ： 2 21 2 sin3 BD dR BAD =，即 max 2 21 3 c= r 答案? 2 21 3 小炼有话说：若条件中向量的夹角为特殊角且很难用数量积，模长进行计算时，可考虑寻找 几何图形进行求解。 例 10?
13、 ?2010 ?，浙江，16?已知?面向? () ,0, u r ur u rr u rur 满足=1 ur ，且 u r 与 uru r 的夹角为120o，则 u r 的取值范围是_ 思路：本题很难找到与数量积相关的条件，那么考虑利用图形辅助求解。从图中可观察到 , u r ur uru r 构成BCD，60C= o ，从而可利用? 余弦定理求出 u r 即CD的取值范围 解 ? 在BCD中 ， 由 ? 弦 定 理 可 得 ? sinsinsinsin BDCD CDBCCDBC = uru r C C D D B B A A 第五章 第 34 炼 向?的模长问题几何法 向? 12 sins
14、insin sin33 2 DBCDBCDBC C = ur u r 而 2 0, 3 DBC (sin0,1DBC 22 3 sin0, 33 DBC = u r 答案? u r 的取值范围是 2 3 0, 3 小炼有话说?例题中的部分问题也可采用模长平方的方式，从而转化成为数量积求解。具体 解法如?： 例 1?解? 2 222 24444cos,10abaa bbba bb=+=+= rrrr rrrr rr 2 2 260bb= rr ，解得3 2b = r 例 2?解? 2 222 222abcabca bb ca c+=+ + rrrrrrr rr rr r , ,a b c r r r Q夹角相同 当, ,a b c r r r 同向时，可得 2 25abc+= rrr ，所以5abc+= rrr 当, ,a b c r r r 两两夹角 2 3 时，可得 133 , 222 a bb ca c= = = r
