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1、复变函数论文复变函数在专业上的应用及系统稳定性的推广姓 名： 学 号：093409119学院(系)：电气与电子工程系专业：电子信息工程指导教师： 评阅人：l复变函数在专业上的应用及系统稳定性的推广【摘要】： Laplace变换、Z变换是处理信号的两种常用方法，文中介绍了两种变换的应用，并用两种不同的分析方法解决问题，突出不同情况下不同方法的特点。Laplace变换应用于连续信号的分析，Z变换应用于离散信号的分析，以及由此推广到专业软件上的应用，如MATLAB分析信号的频谱特性、稳定性等。最后还由Laplace分析法判断系统的稳定性，同时也指出分析其稳定性重要作用，并通过分析稳定裕量等多种方法判
2、断稳定性，探讨自动控制中Laplace的应用，还有Laplace变换在积分、微分反馈控制器中的应用（PID），使复杂的信号问题简捷化，精确化。【关键词】：Fourier变换，Laplace变换，Z变换【正文】：提出问题： 复变函数的运算是实变函数运算的一种延伸，但由于其自身的一些特殊的性质而显得不同，特别是当他引进了taylor级数展开laplace变换和fourier变换后而使其显得更加重要了。 随着教育事业的不断发展与更新，一些新的处理数据的方法越来越多的应用于我们的日常专业学习中。当然复变函数在电子信息方面的应用也更大的加快了电信业的发展，信息处理与转换也更加离不开一套有效的处理方法。但
3、是常规的Fourier变换的运算的范围还是有限的，如何去解决一些不能展开成Fourier级数的信号成了我们的首要问题。分析问题： 虽然Fourier变换的应用是有一定范围的，但是下面介绍了一些例子，我们从中可以看到，Laplace变换与Z变换填补了Fourier变换的不足之处，究竟其有什么好处，看下面例题。例1 描述某因果连续LTI系统的微分方程 已知,求解（1） 零输入响应（2） 零状态响应（3） 冲击响应解：法一 （1）系统的特征方程为 解特征方程，的特征方程的根为 故设系统的零输入响应为 带入初始状态，的值，有 解得k1=2,k2=-1,因此零输入响应为 （2）根据系统的冲击响应h(t)
4、的定义，当时，y(t)即为h（t），即原微分方程为：由于微分方程的特征根s1=-2,s2=-5,且nm，因此冲击响应h(t)的形式为式中A、B为待定系数，将h(t)代入原方程得解得A=-1/3，B=7/3，因此可得系数的冲击响应为 （3）零状态响应 法二：解：（1）对微分方程两边做单边拉氏变换，得 整理后，可得零输入响应的s域表达式为对上式进行拉斯反变换，得 （2）零状态响应的s域表达式为 （3）根据系统函数的定义，可得进行拉斯反变换，即得 从上面两种解题方法可已看出，后者明显的比第一种方法要简单，无论是从解题的过程还是思路，都有其简单的地方，并且还摆脱了繁杂的步骤，从而使时域的分析转化到了频
5、域，对于解决信号的分析与频谱的分析都提供了简单的途径，也为以后的各种分析奠定了基础。例2 描述某离散LTI系统的差分方程描述为， 已知，,q求解 （1）冲击响应 (2)零输入相应 （3）零状态响应解:法一 （1）根据单位脉冲响应的定义，它应满足方程 该系统为二阶系统，需要两个等效初始条件。在上面差分方程中分别k=0和k=1,可得等效初始条件为 差分方程的特征根,因此可设，将等效初始条件h0=1,h1=-3代入其中，可求出待定系数， 所以 （2）根据特征根可设零输入响应为，k0,代入初始状态，可求出待定系数，所以 （3）系统的零状态响应为法二（1） 对差分方程两边做单边Z变换，得零输入响应的Z域
6、表达式为进行Z反变换，得零状态响应的Z域表达式为进行z反变换，得（2）（3） 由差分方程可看出进行Z反变换，得 仿照第一题，时域分析不仅有连续信号，还有离散的信号。连续的信号分析可以有时域向频域经Laplace变换解决，同理，离散的信号也有其解决问题的方法。 由上面两种解题方法可以看出，法二明显的比法一要简单，并且解题的思路简便，利用了Z变换的，使时域的离散信号巧妙地用Z变换转换到复频域进行了解题，使步骤和方法都简化了，便于把握问题的关键，并且思路清晰了很多。推广应用： 傅里叶表达式中的加权系数称为信号的频谱，并且时域信号与其对应的频域之间构成一一对应的关系。信号的傅里叶表达揭示了信号的时域与
7、频域之间的内在联系，为信号与系统的分析提供了一种新的方法和途径。 不要小看频谱，这样的理论已经进入了我们的生活，有了复变函数的理论为基础，使信号通信更加尖端化，模拟信号的缺点正逐渐被新生的数字信号所弥补，并渐渐取代模拟信号，不仅处理传输方便，而且失真情况也大为改观。 Fourier变换与Laplace变换的计算可以使用到科学和工程计算，由此而设计的软件matlab以应用到了我们的专业课上机实验，方便地为我们解决了频谱分析、信号处理等工作。 在本专业上的推广应用也很广泛，比如应用于电力工程、通信和控制领域以及信号分析、图像处理。Fourier变换应用于频谱分析和信号处理等。频谱分析是对各次谐波的
8、频率、振幅、相位之间的关系进行分析。随着计算机的发展，语音、图像等作为信号，在频域中的处理要方便。Laplace变换应用于控制问题，在控制问题中传递函数是输入量的laplace变换与输出量的laplace变换之比。【后记】：系统稳定性：控制系统能在实际中应用，其首要的条件是保证系统稳定性，一个不稳定的系统，根本谈不上系统控制的动态性能与稳态性能，因此如何分析系统的稳定性并提出保证系统稳定性的措施，是自动控制理论的基本任务之一，而拉氏变换可以解决此稳定性问题。 稳定的充分必要条件。若系统或元件为稳定性，则当其输入断加一脉冲信号时，其对应输出信号必将随时间整张而衰减，即，因为 所以 式子中-系统稳
9、定的两两相适宜的几点 -部分分式厚n个待定系数，可有公式求出 将上式进行拉氏反变换，则有： 因此系统或元件稳定性的充要条件为，代表系统或元件传递函数的几点，必须全部在S平面的左侧例1设闭环控制系统如图所示，确定满足稳定要求的k的取值范围。解：闭环传递函数是 系统的特征方程为列出劳斯表：S3 1 5 S2 6 k S1 S0 k按劳斯判断，要使系统稳定，其第一列均为正数，即 K0,30-k0 所以k的范围为0k0有k0所以系统稳定的参数k的取值范围为0k34.6检验稳定裕量： 代数判据除可以根据系统特征方程系的系数判断趋稳定性外，还可以检验稳定裕量，求解系统的临界参数，分析系统结构参数对稳定性的
10、影响，鉴别延迟系统的稳定性等，并从中可以得到一些重要的结论，在处理实际问题是只判断系统是否稳定是不够的因为对于实际的系统，如果一个副实部的特征根紧靠虚轴，尽管瞒住条件，但暂态过程具有过大的超调量和过于缓慢的响应，甚至由于系统内部参数的稍微变化，就使特征根转移到s右平面，导致系统不稳定，考虑这些因素，往往知道系统距离稳定边界有多少裕量，这就是相对稳定性成裕量稳定的问题，将s平面的虚轴向左移平移某个数值a，如图所示，即令s=z-a带入系统特征方程式，则得到z的多项式，利用代数判据对新的特征多项式进行判别，即可检验系统的稳定裕量，以为新的特征方程式的所有系统的稳定裕量根如果均在此虚轴的左半平面，则说
11、明系统至少有稳定裕量s例 系统的特征方程式为: 其劳斯表为 1 8 5 6 6 可以看出，第一列中各项符号均为正，所以没有根在s右半平面，系统是稳定的、 要求判断系统是否具有稳定裕量a=1,将s=z-1代入原特征方程中得 新的特征方程为 劳斯表为 1 1 2 2 2 由于零（i）上面的系数符号与零（l）下面的系数符号相同，表明没有在右半平面的根，但由于行的系数为零，故一对虚根存在，这说明原系统刚好有a=1的稳定裕量。拉氏变换在积分、微分反馈控制器中的应用（PID）：（1） 振荡时间响应令，讨论其系统脉冲与其极点的关系，并求出脉冲响应解：由题意可得 这表明频率大约为，且具有非常小的振荡，为得到精
12、确的响应，调整H（s）得取其拉氏变换反变换得脉冲响应（2）超调量和峰值问题当系统响应导数为零时才有超调量，用用拉氏变换及其收敛域性质将超调量和峰值时间函数简单化了结论： 拉氏变换在解决工程学问题上具有重大作用及应用意义，用拉氏变换解高阶微分方程和常定系数微分方程却比较简单，在工程学上拉氏变换的重要作用在于将一个性能好从时域上转变为复频域上来表示，其中的时域分析法运用了拉氏变换及反变换，从而利用时域分析法解决了在控制领域中尤为重要的稳定性问题，为设备和机器的稳定性运行提供了可能性。l【参考文献】：1 参考文献1复变函数论 主编：钟玉泉 高等教育出版社出版2 参考文献2复变函数及应用 James Ward Brown Ruel V。Churchill（著） 邓冠铁（译） 机械工业出版社出版3 参考文献3物理学教程第二版 马文蔚等编 高等教育出版社出版4 参考文献4信号与系统 主编：陈后金 高等教育出版社出版 5 参考文献5电路 原著：邱关源 修订：罗先觉 高等教育出版社出版 【致 谢】： 本篇论文虽然凝聚着自己的汗水，但却不是个人智慧的产品，没有导师的指引和赠予，没有父母和朋友的帮助和支持，我在大学的学术成长肯定会大打折扣。当我打完毕业论文的最后一个字符，涌上心头的不是长途
