泛函分析第章度量空间与赋范线性空间.doc

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1、第二章 度量空间与赋范线性空间第2章 度量空间与赋范线性空间 度量空间在泛函分析中是最基本的概念。事实上，它是维欧几里得空间的推广，它为统一处理分析学各分支的重要问题提供了一个共同的基础。它研究的范围非常广泛，包括了在工程技术、物理学、数学中遇到的许多很有用的函数空间。因而，度量空间理论已成为从事科学研究所不可缺少的知识。 2.1 度量空间的基本概念 2.1.1 距离（度量）空间的概念 在微积分中，我们研究了定义在实数空间上的函数，在研究函数的分析性质，如连续性，可微性及可积性中，我们利用了上现有的距离函数，即对。度量是上述距离的一般化：用抽象集合代替实数集，并在上引入距离函数，满足距离函数所

2、具备的几条基本性质。 【定义2.1】 设是一个非空集合，：是一个定义在直积上的二元函数，如果满足如下性质：（1） 非负性 ；（2） 对称性 （3） 三角不等式 ；则称是中两个元素与的距离（或度量）。此时，称按成为一个度量空间（或距离空间），记为。 注：中的非空子集，按照中的距离显然也构成一个度量空间，称为的子空间。当不致引起混淆时，可简记为,并且常称中的元素为点。 例2.1 离散的距离空间 设是任意非空集合，对中任意两点令 显然，这样定义的满足距离的全部条件，我们称是离散的距离空间。这种距离是最粗的。它只能区分中任意两个元素是否相同，不能区分元素间的远近程度。此例说明，在任何非空集合上总可以定

3、义距离，使它成为度量空间。例2.2 维欧几里得空间表示维向量的全体组成的集合，也表示个实数组成的数组的全体形成的集合。对，定义 （2.1）下面来证满足度量定义中的条件（1）（3）。由式（2.1）不难验证满足条件（1），（2）。为证满足条件（3），需利用时的离散型Minkowski不等式（见1.5节）。 取，则有因此，是一距离空间。称为维欧氏空间。注：若在中规定 （2.1）则也是距离空间（读者自己验证）例2.3 所有数列组成的集合，对定义 （2.2） 那么是上的度量。式（2.2）通常称为Frchet组合。显然满足度量条件（1）（2），我们来证也满足条件（3）。事实上，对及由于函数是单调增函数，因

4、此由得在上市不等式两边同乘再求和，便得因此是距离空间。例2.4 连续函数空间对定义 （2.3）则是上的一个度量。 显然满足度量条件（1）（2）。对另一连续函数由所以例2.5 函数类（参见1.6节）,对定义 （2.4）则是上的一个度量，是度量空间。由 根据Lebesgue积分的性质有。反之，若， 则。所以，满足度量定义2.1中条件（1）；条件（2）显然满足；对另一函数，根据1.6节Minkowski不等式有 即满足度量定义条件（3），所以是上的一个度量，是度量空间。 例2.6 是本性有界可测函数的全体，即上除某个零测度外，在它的补集上是有界的可测函数全体。对定义 （2.5） 则是上的一个度量，是

5、度量空间。 由式（2.5）显然可知，满足度量条件（1）（2）。现证满足度量条件（3），对及存在且使从而有令得。所以是上的一个度量，是度量空间。2.1.2 距离空间中点列的收敛性非空集合引入距离（度量）后，就可以在其上定义点列的收敛概念。【定义2.2】设是一个度量空间，称点列收敛于，是指叫做点列的极限，记作或。度量空间中点列收敛性质与数列的收敛性质有许多共同之处。【定理2.1】 度量空间中的收敛点列的极限是唯一的，且若收敛于则的任意子列也收敛于。证明：首先证明定理的第一部分。设都是的极限，则对有令有必然有因此这说明最多有一个极限。其次证明定理的第二部分。设收敛于，于是，存在自然数，当时，。由于，

6、从而当时，也有故收敛于。证毕。下面讨论某些具体空间中点列收敛的具体含义。例2.7 空间中点列按度量式（2.1）收敛于的充分必要条件是对每个有，即按坐标收敛。 证明：对，由于因此，当时，一定有，。 由于所以，对，当时。证毕。 同样我们也可以证明中点列按距离式（2.1）收敛于的充要条件是对于每个，有。 例2.8 空间中点列按式（2.3）度量收敛于的充分必要条件是在上一致收敛于。 证明：由知对当时，即对任意当时，所以在上一致收敛于。 若在上一致收敛于，则对当时，对于恒有从而即。证毕。若按式（2.4）定义度量，则就构成的子空间，令由勒贝格控制收敛定理，在中收敛于显然但不一致收敛于。例2.7，例2.8表

7、明，如果在一个非空集合上定义了两个度量，那么，由它们导出的收敛概念可以是一致的，也可以是不一致的。但当我们引入了适当的距离后，都可以统一在距离空间中考虑收敛概念，这就为统一处理各个具体空间提供了方便。 习题2.11 对，定义是上的距离吗？若是，给出证明，若不是，为什么？2 对，规定证明是距离空间。3 把所有收敛数列的集合记为，对定义证明是距离空间。4 设是度量空间，在中若。证明：。5 设及，证明点列收敛于的充分必要条件是依坐标收敛于，即对每个自然数2.2 度量空间中的开、闭集与连续映射在第1章中,我们对空间中的点集进行了详细讨论,介绍了开集、闭集等一系列概念，为了更深入研究度量空间中集合的内在

8、结构，本节我们将把这些概念推广到一般度量空间中，其中大多数定义的叙述和定理的证明与以前的行文相似。2.2.1 度量空间中的开、闭集【定义2.3】 设是度量空间，是一个正数，点集称为以为中心、以为半径的开球，或的邻域，记为或；点集称为以为中心、以为半径的闭球，记为或。中的点列收敛于，用邻域的术语来说，就是：对于的任意邻域，存在自然数，使当时，。例2.9 设是离散距离空间，则，。例2.10 设，是的子空间，则，。设是的子集，是中的一个定点，则与的关系只能有如下三种情况：（1）在“附近”全是的点；（2）在“附近”根本没有的点；（3）在“附近”既有的点，又有不属于的点。根据以上情况，我们给出如下定义：

9、【定义2.4】 设是距离空间，如果存在的邻域，则称是的内点；如果是的内点，则称是的外点；如果既非的内点，有非的外点，即的任何邻域内既有属于的点，也有不属于的点，则称为的界点或边界点；如果的任意邻域都含有中的点，即，则称是的聚点。注：的聚点不一定是的内点，还可能是的界点；其次，的内点必属于，但的聚点则可以属于，也可以不属于。由此可知的界点不是聚点，便是孤立点。中的点，对来说可分为内点、界点、外点或聚点、孤立点、外点三种。例2.11 若为离散距离空间，则中均为内点且为的孤立点，中的点均为的外点。【定义2.5】 设是距离空间，如果中每一点都是的内点，则称是开集。例2.12 任何开球是开集。证明：设，

10、则，令，那么，事实上，若，则，由于所以。 【定理2.2】 设是度量空间，中开集有如下性质： （1）空间及空集是开集； （2）任意多个开集的并是开集； （3）有限多个开集的交是开集。证明： 性质（1）、（2）显而易见，现证性质（3）。设是中的有限个开集，即 对，及一切，有，由于是开集，所以存在，使，取，则对，有，可见，所以是的内点，有的任意性知，是开集。证毕。注：任意多个开集的交不一定是开集，例如，并不是的开集。对于度量空间的子集，的聚点全体记为，称为的导集，集合称为的闭包。例2.13 设，则，。 【定义2.6】 设是距离空间，是的子集，如果的每一个聚点属于，则称为闭集。显然，为闭集的充要条件是

11、。【定理2.3】 （开集与闭集的对偶性）设是距离空间，若是的开集，则是的闭集；若是中的闭集，则是开集。证明：设为开集，是的聚点，则的任一邻域都有不属于的点，这样不可能是的内点，从而，即，由于的任意性，知是闭集。反之，设为闭集，若不是的内点，则的任意邻域至少有一个点属于的点，而且异于，这样是的聚点，从而，和假设矛盾。证毕。正是由于开集和闭集有这样的对偶关系，我们常将闭集看成是由开集派生出来的一个概念。由定理2.1与定理2.2得闭集的性质：【定理2.4】 设是距离空间，中的闭集具有如下性质：（1）及是闭集；（2）任意多个闭集的交是闭集；（3）有限多个闭集的并是闭集。注：任意多个闭集的并不一定是闭集

12、，例如 ，则是中闭集，但，不是中的闭集。2.2.2 度量空间上的连续映射 【定义2.7】 设与是两个度量空间，是到的一个映射，若对，存在，当时，有，则称在点连续；若在中每一点都连续，则称为上的连续映射。度量空间之间的连续映射是数学分析中连续函数概念的推广，特别，当映射是值域空间时，映射就是度量空间上的函数。例2.14 设是距离空间，是上一定点，对，是到上的连续映射（函数）。事实上，对，由下式即可证明是连续映射。【定理2.5】 设，是两个度量空间，：，则下列命题等价：（1）在点连续；（2）对，存在，当时，有；（3）对于中任意点列，若，则。证明： 显然； 由于，对存在自然数，当时， ，即，因此，即

13、； 反证法，若在点不连续，则存在，使对任意，存在，且，但，特别取，则有，但，这意味着，但不成立，矛盾。证毕。下面定理是通过开集与闭集来刻画连续映射的。【定理2.6】 设，是两个度量空间，：是一个映射，则下述命题等价： （1）是连续映射； （2）对于中任何开集，是中的开集； （3）对于中任何闭集，是中的闭集。 证明：命题设，则。因是中开集，所以存在，使，由在点连续，所以对于上述，存在，当时，有，即，故。所以是的内点，由的任意性，是开集。 命题对，及，取，那么是中开集，而，所以存在，使得，即,这说明在点连续。由的任意性知，在的每一点都连续。 命题对于任何闭集，的余集是开集。根据映射像也原像的性质有

14、。命题对于任何开集，是闭集，同样。证毕。 注：关于映射的性质留作习题。 下面介绍一个十分有用的特殊映射同胚映射。 【定义2.8】 设，是两个距离空间，是上的一一映射，是的逆映射，若及都是连续映射，则称是到上的同胚映射；若从到上存在某一同胚映射，则称与是同胚的。例2.15 是到上的同胚映射，与是同胚的。由于两个同胚的距离空间点之间一一对应，所有邻域也是一一对应的，而且连续概念只依赖于邻域的概念，因此，在只讨论与连续性有关问题时，可以把两个距离空间看成一个。习题2.21.证明闭球是闭集。2.设是距离空间，表示全体内点构成的集合，称为的内部，证明是开集。3.设是距离空间，证明是闭集的充要条件是对于任意，若，则。4.证明从离散距离空间到任意距离空间的映射：是连续映射。5.设是一度量空间，证明是上的连续函数。6.设是度量空间，是一个非空