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1、5-3平面向量的数量积基 础 巩 固一、选择题1(文)(2012辽宁文，1)已知向量a(1，1)，b(2，x)，若ab1，则x()A1 B C. D1答案D解析本题考查了平面向量的坐标运算由ab1得，121x1，得x1.(理)(2012辽宁理，3)已知两个非零向量a，b满足|ab|ab|，则下面结论正确的是()Aab BabC|a|b| Dabab答案B解析本题考查向量的运算由题意知|ab|ab|，|ab|2|ab|2，即a22abb2a22abb2，ab0，ab.2(文)若向量a(1,1)，b(2,5)，c(3，x)，满足条件(8ab)c30，则x()A6 B5 C4 D3答案C解析(8ab
2、)c(63)(3，x)183x30，x4.(理)在RtABC中，C90，AC4，则等于()A16 B8 C8 D16答案D解析因为C90，所以0，所以()()216.3已知向量a(2,1)，b(1，k)，a(2ab)0，则k()A12 B6 C6 D12答案D解析本题考查了有坐标的向量的运算包括数乘向量，向量的加减法及数量积，同时还考查了考生细心运算的能力2ab(4,2)(1，k)(5,2k)，a(2ab)(2,1)(5,2k)102k0，k12.4(2012浙江理，5)设a，b是两个非零向量()A若|ab|a|b|，则abB若ab，则|ab|a|b|C若|ab|a|b|，则存在实数，使得ba
3、D若存在实数，使得ba，则|ab|a|b|答案C解析本题考查向量共线的条件若|ab|a|b|，则a与b方向相反则存在ba.反之则不然5(文)(2011大纲全国卷文，3)设向量a，b满足|a|b|1，ab，则|a2b|()A. B. C. D.答案B解析本题主要考查了向量的基本运算，向量的数量积、向量的模与向量的平方的转化|a2b|.(理)(2013烟台市第一学期检测)已知向量a、b，其中|a|，|b|2，且(ab)a，则向量a和b的夹角是()A. B. C. D答案A解析由题意知(ab)aa2ab2ab0，ab2.设a与b的夹角为，则cos，故选A.6已知a、b、c是单位向量，且ab0，则(a
4、c)(bc)的最小值为()A2 B.2 C1 D1答案D解析本题考查数量积的运算(ac)(bc)abaccbc20(ab)c11(ab)c1|ab|c|cosab，c11cosab，c最小值为1，即ab与c同向共线时取得最小值二、填空题7(2012安徽文，11)设向量a(1,2m)，b(m1,1)，c(2，m)，若(ac)b，则|a|_.答案解析本题考查平面向量的垂直充要条件、数量积、模等ac(3,3m)，(ac)b，(ac)b0，即(3,3m)(m1,1)0，3(m1)3m0,6m30，m，a(1，1)，|a|.8(文)已知单位向量e1，e2的夹角为60，则|2e1e2|_.答案解析本题主要
5、考查向量的模及数量积等基础知识|e1|e2|1，e1，e260，e1e2|e1|e2|cos60.|2e1e2|.(理)已知向量a、b满足(a2b)(ab)6，且|a|1，|b|2，则a与b的夹角为_答案60解析本题主要考查平面向量的数量积及其运算(a2b)(ab)6，则|a|2ab2|b|26，即12ab2226，ab1，即cosa，b，所以a，b60.三、解答题9已知向量a，b，且x.(1)求ab及|ab|；(2)若f(x)ab|ab|，求f(x)的最大值和最小值分析利用数量积的坐标运算及性质即可求解，在求|ab|时注意x的取值范围解析(1)abcosxcossinxsincos2x，|a
6、b|2|cosx|，x，cosx0，|ab|2cosx.(2)f(x)cos2x2cosx2cos2x2cosx122.x，cosx1，当cosx时，f(x)取得最小值；当cosx1时，f(x)取得最大值1.点评与三角函数相结合考查向量的数量积的坐标运算及其应用是高考热点题型解答此类问题，除了要熟练掌握向量数量积的坐标运算公式、向量模、夹角的坐标运算公式外，还应掌握三角恒等变形的相关知识.能 力 提 升一、选择题1(2012安阳模拟)在ABC中，()|2，则ABC的形状一定是()A等边三角形 B等腰三角形C直角三角形 D等腰直角三角形答案C解析由()|2得()|20，即()0，即(2)0，故有
7、.2(文)已知两单位向量a，b的夹角为60，则两向量p2ab与q3a2b的夹角为()A60B120C30D150答案B分析本题求解中，要注意充分利用两向量的数量积及求向量模的运算公式及方法解析pq(2ab)(3a2b)6a2ab2b26a2|a|b|cos602b2，|p|2ab|，|q|3a2b|，而cosp，q.即p与q的夹角为120.(理)(2013辽宁省沈阳四校期中联考)已知两点A(1,0)为，B(1，)，O为坐标原点，点C在第二象限，且AOC120，设2，(R)，则等于()A1 B2C1 D2答案C解析由条件知，(1,0)，(1，)，(2，)，AOC120，cosAOC，解之得1，故
8、选C.二、填空题3(2012浙江理，15)在ABC中，M是BC的中点，AM3，BC10，则_.答案16解析本题考查向量的数量积运算如图()()|2|2325216.4(文)(2012上海文，12)在矩形ABCD中，边AB、AD的长分别为2、1.若M、N分别是边BC、CD上的点，且满足，则的取值范围是_答案1,4解析本题考查了数量积的坐标运算，由题意以矩形的顶点A建立坐标系如图所示，则B(2,0)，D(1,0)，C(2,1)设a，则0a1，|2a，|a，M(2，a) ，N(22a,1)(2，a)，(22a,1)43a，又0a1，143a4，1,4(理)(2012上海理，12)在平行四边形ABCD
9、中，A，边AB、AD的长分别为2、1.若M、N分别是边BC、CD上的点，且满足，则的取值范围是_答案2,5解析本题考查向量的线性运算与数量积的求法如图：令t，则0t1，t(1t)t|2(1t)|2(tt2)1t(1t)4(tt2)52tt26(t1)2，0t1，25.三、解答题5在平面直角坐标系xOy中，已知点A(1，2)，B(2,3)，C(2，1)(1)求以线段AB、AC为邻边的平行四边形的两条对角线的长；(2)设实数t满足(t)0，求t的值解析本题主要考查平面向量的几何意义、线性运算、数量积等知识点，考查考生的运算求解能力(1)由题设知(3,5)，(1,1)，则(2,6)，(4,4)所以|
10、2，|4.故所求的两条对角线长分别为4，2.(2)由题设知(2，1)，t(32t,5t)由(t)0，得(32t,5t)(2，1)0，从而5t11，所以t.6(2012盐城一模)已知向量a(sin，)，b(1，cos)，(，)(1)若ab，求；(2)求|ab|的最大值解析(1)因为ab，所以sincos0.得tan.又(，)，所以.(2)因为|ab|2(sin1)2(cos)254sin()所以当时，|ab|2的最大值为549.故|ab|的最大值为3.7(文)已知a，b，c是同一平面内的三个向量，其中a(1,2)(1)若|c|2，且ca，求c 的坐标；(2)若|b|，且a2b与2ab垂直，求a与
11、b的夹角.解析(1)设c(x，y)，由ca和|c|2可得，或.c(2,4)或c(2，4)(2)(a2b)(2ab)，(a2b)(2ab)0，即2a23ab2b20.2|a|23ab2|b|20，253ab20.ab，cos1，0，.(理)在平行四边形ABCD中，A(1,1)，(6,0)，点M是线段AB的中点，线段CM与BD交于点P.(1)若(3,5)，求点C的坐标(2)当|时，求点P的轨迹解析(1)设点C的坐标为(x0，y0)(3,5)(6,0)(9,5)，即(x01，y01)(9,5)，x010，y06，即点C的坐标为(10,6)(2)设P(x，y)，则(x1，y1)(6,0)(x7，y1)，33()3(3(x1)，3(y1)(6,0)(3x9,3y3)|，平行四边形ABCD为菱形，(x7)(3x9)(y1)(3y3)0，x2y210x2y220(y1)故点P的轨迹是以(5,1)为圆心，2为半径的圆去掉与直线y1的两个交点10
