量子力学(第五章中心力场)教程教案

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1、第五章 中心力场,本章所讲的主要内容,一般性质(5.1),无限球方势阱(5.2),三维各向同性谐振子(5.3),氢原子(5.4),5.1 中心力场中粒子运动的一般性质,无论经典力学或是量子力学中,中心力场都占有重要的地位.而且，最重要的几种中心力场Coulomb场或万有引力场，各向同性谐振子场以及无限深球方势阱，是量子力学中能够精确求解的少数几个问题中的几个。中心力场中运动的最重要特点是：角动量守恒。,1.角动量守恒与径向方程 在中心力场中V(r)运动的粒子，角动量 守恒。这个结论,对于经典粒子 是明显的,因为,其物理意义是：粒子所受到的力矩 (相对于力心)为零。考虑到 ，而 又 是守恒量，中

2、心力场中的粒子运动必为平面,(2) 考虑中心力场V(r)的特点(球对称性)，选用求 坐标是方便的。利用：,(3) 能量本征方程可表示为: (4) 上式左边第二项称为离心势(centrifugal potential)，角动量越大，则离心势能越,大。第一项可表为 ,称为径向动能， 其中： 是径向动量。注意，由于 的各分量都是守 恒量，而各分量并不对易，故一般有简 并。考虑到 也是守恒量，而且与 的每个,分量都对易，因此体系的守恒量完全集可以方便地选为 , 即能量本征方程（4） 的解同时也可选为 的本征态,即 (5),代入式(4)，可得出径向波函数 满足的 方程: (6) 在求解方程(6)时，有时

3、作如下替换是方便的。 令,(7) 代入(6)式 ,得: (8) 在一定的边条件下求解径向方程，即可得出 粒子能量本征值 E。对于非束缚态，能量 E 是 是连续变化的。对于束缚态，则能量 E 是量子化的。,由于径向方程(6)或(8)中不出现磁量子数m ,因此能量本征值 E与m 无关。这是因为中心力场具有球对称性，粒子能量显然与 z 轴的取向无关。但在中心力场中运动的粒子能量与角动量量子数 有关，而对于给定 的情况下， 共计有 个可能取值。因此,一般来说,中心力场中粒子能级一般为 重简并。,在束缚态边界条件下求解径向方程时, 将出现径向量子数 ， ,它代表 波函数的节点数(r=0，r=不包括在内)

4、。由 于 E 只依赖于量子数 和 ，与 m 无关， 故记为 。,在给定 的情况下随 增大， 也增大,所以 也可以作为能级( 给定 )高低的 编序。与此类似,对给定 的情况下，随 增大（离心势能增大）, 也增大。按原子光谱学的习惯，把 (9) 的态分别记为:,2. 径向波函数在r0邻域的渐近行为 以下假定 满足: (10) 通常我们碰到的中心力场均满足此条件。在 此条件下,当r0时,方程(6)渐近地表示成 (11),在正则奇点 r=0 邻域,设 ,代入式 (11)得: (12) 解之,得两个根: 即径向波函数在 r0 领域的行为： (13),下面论证，渐近行为是 的 解必须抛弃。事实上，按照波函

5、数的统计诠释, 在r0邻域任何体积元中找到粒子的概率都应 为有限值,当 r0 ，若 ，则要求 。因此当 时, 的解就必须抛弃。但是对于 的解 并不违反此要求。,然而 的解 并不满足薛定谔方程(4)(如将r=0包含在内的话),因为 (14) 因而,不难由此推断， 不是薛定谔方程(4) 的解(如果将 r=0 包含在内)。这样我们得到 如下结论：量子力学中求解求解中心力场径 向方程 (6)时，在 r0 处只有 的解才是物理上可以接受的,或等价地，要 求径向方程(8)的解 满足: (15),3. 两体问题化为单体问题 设两个质量分别为 和 的粒子，相互作用 只依赖于相对距离，这个二粒子体系的能量本征方

6、程为 (16),为体系的总能量，引进质心坐标 和相对坐标 (17) (18)可以证明 (19),其中 这样,方程(16)化为 (20),此方程可分离变量，令 (21)代入式（20），得 (22) (23),式（22）描述质心运动，是自由粒子的能量本征方程， 是质心运动能量，这一部分与体系的内部结构 无关。式（23）描述相对运动，E 是相对运动能量，可以看出，式（23）与单粒子能量本征方程形式上相同，只不过应把 m理解为约化质量，E理解为相对运动能量。在氢原子问题中，我们感兴趣的是原子的内部状态，即电子相对于核运动的波函数 所满足的方程 ，这种相对运动的能量 E就是电子的能级。,5.2 无限深球

7、方势阱,考虑质量为 的粒子在半径为a的球形匣子中运动，这相当粒子在一个无限深球方势阱中运动 (1) 它只存在束缚态 。,先考虑最简单的情况，即s态( )，此 时，径向方程( 6.1节，式(8) )为： (2)令 (3) 则 (4) 边条件为,(5a) (5b) 按边条件(5a),方程（4）的解可表示为 再利用边条件（5b），得 (6) 此即确定粒子能量的式子。利用式(3) 得,(7) 相应的归一化波函数可表示为 (8) 满足 (9) 不难看出，半径为 a 的无限深球方势阱中的,的能级和波函数，与一维无限深方势阱 (宽度为a)中粒子能级和波函数完全相同，只 是在那里量子数 ,相当于这里的 径向量

8、子数 , 。 其次考虑 的量子态，此时，径向波 函数 满足下列微分方程： (10),而在边界上要求 (11) 引进无量纲变量 (12) 则式(10)化为 (13),此即球Bessel方程。令 (14) 可求出 满足下列方程 (15) 这正是半奇数 阶Bessel方程 ( )，它的两个线性无关解可以表示为,所以，径向波函数的两个解为 通常用球 Bessel 函数及球 Neumann 函数 表示，其定义如下,(16) 当 时，它们的渐进行为是 (17) 按照前面的讨论,无限深势阱中粒子的定态波 函数只能取前者,即,(18) 其中 为归一化常数， (或能量E)由边条件 (5b)确定, (15) 即

9、(20) 当a取有限值时，并非一切 值都满足上述条件, 只有某些分立值可以满足此要求,此时粒子能 量是量子化的。,令 的根依次表为 ， ，则粒子的能量本征值表为 (21) 较低的几个根 见表5.1.较低的一些能级见图5.1。(表，图见后两页),表 5.1 值,图 5.1,无限深球方势阱中粒子的能级,利用球Bessel函数的积分公式及边条件 (11)可以求出径向波函数的归一化常数：,于是： (22) 这里使用了数学公式：,此时 (23) 当 时，这相当于粒子的运动无任何限 制,即为自由粒子,考虑到 时， 边条件(20)自动满足，对k或能量不再有所限 制，即能量可连续变化。此时，式(18) 的 这

10、反映波函数不能归一化,(连续谱的本征态是不能归一化的)。 在此情况下，通常选择如下径向波函数，它 们“归一化”到 函数:,考虑质量为的粒子在三维各向同性谐振子势 中运动 取力学量完全集 来分类能级 及相应的本征函数。 其特解,5.3 三维各向同性谐振子,可得径向方程为,采用自然单位，令 上式变为,为两个奇点，先求奇点附近的渐进解,令 代入径向方程得 令 方程化为,为使在无穷远处 ，因此要求 截断成多项式，即 加上单位得,这是合流超几何方程（见附录A5），要在0处有正常解，则,其中 当给定N,1.讨论： A. 三维各向同性谐振子的能级是等间距的，有最低能级 B每条能级是简并的。简并度 C当 N

11、为偶， ， 当 N 为奇， 。,所以，宇称为 D. 可以求得归一化的波函数,2.直角坐标系中求解,直角坐标系中,Hamilton量为,其中,可以证明 是守恒量,且彼此对应.,由于是三维谐振子,故选择三个互相对易的守恒量完全集,求出它们的共同本征函数和本征值即可.,的本征函数,是三个不同方向的谐振子Hamilton量,可以利用已有结论,即,本征值,的本征函数,本征值,的本征函数,本征值,系统的本征函数为它们的共同本征函数,即三个本征函数之积:,系统的本征值为它们的本征值之和:,3.柱坐标系中求解,柱坐标系中,Hamilton量为,其中,在这种情况下,如何找力学量完全集,即至少要找到三个力学量,且

12、其中两个已经有解. 可以证明 为守恒量,但不能选 作为力学量完全集,为什么?,一般力学量完全集中至多只有一个力学量不能求得其本征函数。上述完全集中有两个无法求解，因此必须另外找到一守恒量，与 对易。,可以用 表示即,可以证明 与 对易，且已知它 的解。故选力学量完全集为,的本征函数,的本征函数,本征值,的本征函数,本征值,下面只需求解 变量的解即可,根据 表达式,令它的解为 代入 的本 征方程得,可以求得 ，得到系统本征函数和本征值。,三种坐标求得的本征函数可以相互转换，以N1 为例，讨论球坐标系的波函数与直角坐标系的波 函数之间的关系。,在球坐标系中 ，则,在直角坐标系中 ，则,根据上面结果

13、可得,5.4 氢原子,量子力学发展史上,最突出的成就之一是对氢原子光谱和化学元素周期律给予了相当满意的说明。氢原子是最简单的原子,其Schr-dinger方程可以严格求解。本节将具体解出氢原子的Schrdinger方程，得出能级和能量本征函数，从而对氢原子光谱线的规律及其它一些重要性质给予定量说明。,氢原子的原子核是一个质子，带电+e , (半径 cm)。在其周围有一个电子(带电-e)绕它运动。原子核与电子间的Coulomb作 用能(吸引能)为(取无穷远为势能零点 ) (1) 按5.1节(8)式，具有一定角动量的氢原子的 径向波函数 满足下列方程:,(2) 式中 为电子的约化质量， 按照前面的分析,物理上允许的解 在r0 的渐近行为应满足 (3) 以下采用自然单位，即在计算的过程中令 而在计算所得的最后结果中按各物理量的量纲添上相应的单位。下面是氢原子,的各自然单位(原子单位)： 长度: 能量: 时间: 动量: 在自然单位下，方程(2)化为: (4) 是微分方程的两个奇点。,当r0时，式(4)渐近地表示成： (5) 容易看出 (6) 但按照6.1分析, 只有渐近行为是 (7) 的解才是物理上可以接受的。 其次，讨论解在 r的渐近行为。,我们限于讨论束缚态(E0)。当r时，方 程(4)化为