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1、5-2-1.数的整除之四大判断法综合运用教学目标1. 了解整除的性质；2. 运用整除的性质解题；3. 整除性质的综合运用.知识点拨一、常见数字的整除判定方法1. 一个数的末位能被2或5整除，这个数就能被2或5整除；一个数的末两位能被4或25整除，这个数就能被4或25整除；一个数的末三位能被8或125整除，这个数就能被8或125整除；2. 一个位数数字和能被3整除，这个数就能被3整除；一个数各位数数字和能被9整除，这个数就能被9整除；3. 如果一个整数的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差能被11整除，那么这个数能被11整除.4. 如果一个整数的末三位与末三位以前的数字组成的数之差能被7、
2、11或13整除，那么这个数能被7、11或13整除.5.如果一个数能被99整除，这个数从后两位开始两位一截所得的所有数（如果有偶数位则拆出的数都有两个数字，如果是奇数位则拆出的数中若干个有两个数字还有一个是一位数）的和是99的倍数，这个数一定是99的倍数。【备注】（以上规律仅在十进制数中成立.）二、整除性质性质1 如果数a和数b都能被数c整除，那么它们的和或差也能被c整除即如果ca，cb，那么c(ab)性质2 如果数a能被数b整除，b又能被数c整除，那么a也能被c整除即如果ba，cb，那么ca用同样的方法，我们还可以得出：性质3 如果数a能被数b与数c的积整除，那么a也能被b或c整除即如果bca
3、，那么ba，ca性质4 如果数a能被数b整除，也能被数c整除，且数b和数c互质，那么a一定能被b与c的乘积整除即如果ba，ca，且(b，c)=1，那么bca 例如：如果312，412，且(3，4)=1，那么(34) 12性质5 如果数a能被数b整除，那么am也能被bm整除如果 ba，那么bmam（m为非0整数）；性质6 如果数a能被数b整除，且数c能被数d整除，那么ac也能被bd整除如果 ba ，且dc ，那么bdac；例题精讲综合系列【例 1】 甲、乙两个三位数的乘积是一个五位数，这个五位数的后四位为1031如果甲数的数字和为10，乙数的数字和为8，那么甲乙两数之和是_【考点】整除之综合系列
4、 【难度】3星 【题型】填空【关键词】迎春杯，高年级，初赛，第2题【解析】 根据弃九法可得知，乘积是，适当组合可得知两数为和，和为360【答案】【例 2】 有5个不同的正整数，它们中任意两数的乘积都是12的倍数，那么这5个数之和的最小值是_ 【考点】整除之综合系列 【难度】3星 【题型】填空【关键词】迎春杯，六年级，初赛，第7题)【解析】 为了5个数的和最小，那么12=112=26=34。（1）若为1、12、，那么后面的三个数必须是12的倍数，最小为24、36、48，和为121；（2）若为2、6、，那么后面的三个数必须是6的倍数，最小为12、18、24，和为62；（3）若为3、4、，那么后面的
5、三个数必须是12的倍数，最小为12、24、36，和为79；综上所述，得到的最小值为62。【答案】【例 3】 是个四位数字。数学老师说：“我在这个中先后填入3个数字，所得到的3个四位数，依次可被9、11、6整除。”问：数学老师先后填入的3个数字的和是多少？ 【考点】整除之综合系列 【难度】3星 【题型】解答【解析】 用1730试除，17309=1922，17301l=1573，17306=2882所以依次添上(9-2=)7、(11-3=)8、(6-2=)4后得到的1737、1738、1734依次能被9、11、6整除所以，这三种情况下填入口内的数字的和为7+8+4=19【答案】19【例 4】 是2
6、008的倍数_【考点】整除之综合系列 【难度】4星 【题型】填空【关键词】走美杯，五年级，初赛，第6题【解析】 根据能被4整除的数的特征后两位能被4整除，1，3，5，7，9；再根据能被8整除的数的特征后三位能被8整除，可得1，5，9。分别代入知。【答案】【例 5】 使得是的倍数的最小正整数n是。【考点】整除之综合系列 【难度】3星 【题型】填空【关键词】学而思杯，5年级，第5题【解析】 ，肯定是9的倍数，所以只要考虑7的倍数就可以了。考虑到是7的倍数，所以最小的n是6. 【答案】【例 6】 如果六位数能被105整除，那么它的最后两位数是多少？ 【考点】整除之综合系列 【难度】3星 【题型】填空
7、【解析】 因为，所以这个六位数同时满足能被3、7、5整除的数的特征即可方法一：利用整除特征末位只能为0或5 如果末位填入0，那么数字和为，要求数字和是3的倍数，所以 可以为0，3，6，9，验证， 有91是7的倍数，即是7的倍数，所以题中数字的末两位为90 如果末位填入5，同上解法，验证没有数同时满足能被3、7、5整除的特征所以，题中数的末两位只能是90方法二：采用试除法用试除，余15可以看成不足， 所以补上90，即在末两位的方格内填入90即可【答案】90【例 7】 六位数2008能被49整除，中的数是多少？ 【考点】整除之综合系列 【难度】3星 【题型】填空【解析】 被49除商4081余39，
8、所以能被49整除，商11时，末两位是39，所以为05。【答案】05【例 8】 在六位数1111中的两个方框内各填入一个数字，使此数能被17和19整除，那么方框中的两位数是多少? 【考点】整除之综合系列 【难度】4星 【题型】填空【解析】 采用试除法.设六位数为如果一个数能同时被17和19整除，那么一定能被323整除，余191也可以看成不足所以当时，即是100的倍数时，六位数才是323的倍数所以有的末位只能是，所以n只能是6，16，26，验证有时，所以原题的方框中填入5，3得到的满足题意【答案】【例 9】 某个七位数1993能够同时被2，3，4，5，6，7，8，9整除，那么它的最后三位数字依次是
9、多少？ 【考点】整除之综合系列 【难度】4星 【题型】填空【解析】 本题可采用整除数字的判定特征进行判断，但是太过繁琐。采用试除法比较方便，若使得7位数能够同时被2，3，4，5，6，7，8，9整除，只要让七位数是2，3，4，5，6，7，8，9最小公倍数的倍数即可。【2，3，4，5，6，7，8，9】=2520.用试除，2520=7902200，余2200可以看成不足2520-2200=320，所以在末三位的方格内填入320即可【答案】320【例 10】 在523后面写出三个数字，使所得的六位数被7、8、9整除那么这三个数字的和是多少? 【考点】整除之综合系列 【难度】4星 【题型】解答【解析】
10、7、8、9的最小公倍数是504，所得六位数应被504整除。，所以所得六位数是，或因此三个数字的和是17或8【答案】17或8【例 11】 用数字6，7，8各两个，组成一个六位数，使它能被168整除。这个六位数是多少？ 【考点】整除之综合系列 【难度】3星 【题型】解答【解析】 因为168=837，所以组成的六位数可以被8、3、7整除能够被8整除的数的特征是末三位组成的数一定是8的倍数，末两位组成的数一定是4的倍数，末位为偶数在题中条件下，验证只有688、768是8的倍数，所以末三位只能是688或768，而又要求是7的倍数，由例8知形式的数一定是7、11、13的倍数，所以一定是7的倍数，688的不
11、管怎么填都得不到7的倍数至于能否被3整除可以不验证，因为整除3的数的规律是数字和为3的倍数，在题中给定的条件下，不管怎么填数字和都是定值。所以能被168整除，且验证没有其他满足条件的六位数【答案】【例 12】 一个十位数，如果各位上的数字都不相同，那么就称为“十全数”，例如，就是一个十全数现已知一个十全数能被1，2，3，18整除，并且它的前四位数是4876，那么这个十全数是多少？ 【考点】整除之综合系列 【难度】5星 【题型】解答【解析】 这个十全数能被10整除，个位数字必为0；能被4整除，十位数字必为偶数，末两位只能是20设这个十全数为由于它能被11整除，所以奇位数上的数字之和与偶位数上的数
12、字之和的差能被11整除，即被11整除，可能是、由于、四个数分别为1、3、5、9中的一个，只能是，即所以、是9和5；、是3和1，这个十全数只能是，中的一个由于它能被7、13、17整除，经检验，只有符合条件【答案】【例 13】 将数字4，5，6，7，8，9各使用一次，组成一个被667整除的6位数，那么，这个6位数除以667的结果是多少？ 【考点】整除之综合系列 【难度】4星 【题型】解答【关键词】2009年，迎春杯，五年级,初赛，第8题【解析】 ，各用一次后，各位数字之和为，即这个六位数应该为的倍数，所以这个数应该是的倍数一个首位数字超过的六位数除以得到的商应该是三位数而该三位数的商乘以后所得六位
13、数（即原六位数）的末三位即为该商，而前三位是该商的两倍，所以，这个数字应该组成两个三位数，其中一个三位数是另一个的倍，所以两个三位数的首位数字，大者应至少是小者的两倍，显然的较小的那个三位数的首位只能是，较大的那个三位数的首位可能是，也可能是，而较小的那个三位数的个位只能是，才能使较大的那个三位数的个位数字能被取到，进一步试验可得到这个六位数是，这个位数除以后的得数为【答案】667=1434【例 14】 某住宅区有12家住户，他们的门牌号分别是1，2，12他们的电话号码依次是12个连续的六位自然数，并且每家的电话号码都能被这家的门牌号整除，已知这些电话号码的首位数字都小于6，并且门牌号是9的这
14、一家的电话号码也能被13整除，问：这一家的电话号码是什么数？【考点】整除之综合系列 【难度】4星 【题型】解答 【解析】 设第一户电话号是，第二户的电话号是，第12户的电话号是根据条件可知是的倍数(，2，12)，因此是1，2，12的公倍数而，所以又是13的倍数，而27720除以13余数为4，所以是13的倍数，则，14，27，第9户的电话号码是，是一个首位数字小于6的六位数，所以取14合适；因此这一家的电话号码是【答案】【例 15】 在六位数中，不同的字母表示不同的数字，且满足，依次能被2，3，5，7，11，13整除则的最小值是 ；已知当取得最大值时，那么的最大值是_【考点】整除之综合系列 【难度】4星 【题型】填空【关键词】学而思杯，5年级，第14题【解析】 求最小值，先看,最小偶数为，然后被整除，最小为，然后依次推出.,求最大值与上述方法类似。最后求出最大值为【答案】；【例 16】 有一个九位数的各位数字都不相同且全都不为0，并且二位数可被2整除，三位数可被3整除，四位数可被4整除，依此类推，九位数可被9整除请问这个九位数是多少？ 【考点】整除之综合系列 【难度】5星 【题型】填空【解析】 由题可知这个九位数由数字19组成，其中
