《数学培优竞赛新方法(九年级)-第16讲-转化灵活的圆中角》由会员分享，可在线阅读，更多相关《数学培优竞赛新方法(九年级)-第16讲-转化灵活的圆中角（10页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第16讲 转化灵活的圆中角 知识纵横 角是几何图形中最重要的元素，证明两直线位置关系、运用全等三角形法、相似三角形法都要涉及角，而圆的特征，赋予角极强的活性，使得角能灵活地互相转化。根据圆心角与圆周角的倍半关系，可实现圆心角与圆周角的转化；由同弧或等弧所对的圆周角相等，可将圆周角在大小不变的情况下，改变顶点在圆上的位置进行探索；由圆内接四边形的对焦互补和外角等于内对角，可将于圆有关的角互相联系起来。熟悉以下基本图形、基本结论。例题求解【例1】 如图，圆是的外接圆，是直径，则的度数是_ （2011年荆州市中考题） 思路点拨 略【例2】 如图，为圆的直径，交圆于点，交圆于点，现给出以下四个结论：；
2、弧=弧；其中正确的结论的序号是（ ） （苏州市中考题）思路点拨 充分运用于圆有关的角，寻找特殊三角形、相似三角形，逐一验证。【例3】 如图，已知四边形外接圆的半径为5，对角线与的交点为，且，求的面积。思路点拨 由条件出发，利用相似三角形、圆中角可推得为弧中点，这是解本例的关键。【例4】 如图，圆中是直径，是圆上一点，等腰直角三角形中是直角，点在线段上。 （1）证明：、三点共线； （2）若是线段的中点，是线段的中点，证明：； （3）将绕点逆时针旋转后，记为（如图），若是线段的中点，是线段的中点，是否成立？若是，请证明；若不是，说明理由。 （2011年广州市中考题）思路点拨 对于（2），充分利用条
3、件中的多个中点，探寻线段之间的数量关系于位置关系。【例5】 如图，是圆中的三条弦，点在上，且求证：（1）；（2） （浙江省竞赛题）分析 对于（2），需证，从构造相似三角形入手。【例6】 如图，已知是圆的直径，平分，求证：分析与解 如图，补短构造或联想角平分线性质等。学力训练基础夯实1. 如图，为圆的直径，为圆上一点，且，点在圆上（不与重合），则的度数是_. （抚顺市中考题）2. 如图，已知均在圆上，且为圆的直径，则_.（河南省中考题）3. 如图，已知两点的坐标分别为，是外接圆上一点，且，则点的坐标为_. （苏州市中考题） 4. 如图，已知圆的内接四边形的对角线平分，于，给出下列结论：；。其中，
4、正确结论的序号是_.5. 如图，是圆的内接正三角形，四边形是圆的内接正方形，则（ ）。 （安徽省中考题）6. 如图，是圆内接三角形的高，是圆的直径，则等于（ ）。 （南充市中考题）7. 如图，在圆中，为弧的中点，交圆于，若，则的长为（ ）。 8. 如图，正内接于圆，是劣弧上任意一点，于交于点，有如下结论：；.其中，正确结论的个数为（ ）。.3个 .2个 .1个 .0个 （天津市中考题）9. 如图，已知等边内接于圆，是弧上任一点（点不与重合），连接，过作交的延长线于点。（1） 求证：为等边三角形；（2） 若，求梯形的面积。 （2011年孝感市中考题）10. 正方形的四个顶点都在圆上，是圆上的以点
5、。（1） 如图，若点在弧上，求证：；（2） 如图，若点在弧上，求证：为定值。 （三明市中考题）能力拓展11. 已知在半径为2的圆中，圆内接的边，则的度数为_. （广东省竞赛题） 12. 如图，已知圆的直径长为10，弦长为6，的平分线交圆于，则长为_. （武汉市中考提）13. 如图，圆内接四边形中，则_. （江苏省竞赛题）14. 如图，是半圆直径，半径于点，平分分别交于点，交弧于点，连接，给出以下四个结论：；.其中正确结论的序号是_. （2011年嘉兴市中考题）15. 如图，是半圆的直径，是弧的中点，则等于（ ）。 （重庆市竞赛题）16. 如图，的高相交于点，分别延长于的外接圆交于两点，则下列结
6、论：；若为的外接圆的直径，则.其中正确的是（ ）。 17. 如图，已知在中，高，则的外接圆半径是（ ）。 （四川省竞赛题）18.如图，内接于圆，于点，于点，相交于点。若，则圆的半径为（ ）。 （2011年“数学周报杯”全国初中数学竞赛题）19.如图，已知四边形外接圆圆的半径为2，对角线与的交点为，且，求四边形的面积。 （全国初中数学联赛题）20如图，已知圆于轴交于两点，与轴正半轴交于点，是圆上一点，且，。（1） 求圆心的坐标；（2） 求四边形的面积；（3） 如图，过点作弦交于点，当是，求的长。综合创新21. 如图，内接于圆，点为弧的中点，求证： . （天津市竞赛题）22. 如图，已知半圆的直径，将一个三角形的直角顶点固定在圆心上，当三角板绕着点转动时，三角板的两条直角边与半圆圆周分别交于两点，连接交于点。（1） 求证：；（2） 求证：；（3） 设，求的面积与的函数关系，并写出自变量的取值范围。 （广东省中考题）
