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1、2012年北京市中考数学一模分类汇编几何综合 等边三角形、等腰三角形+旋转变换1. （燕山）已知：如图，点P是线段AB上的动点，分别以AP、BP为边向线段AB的同侧作正APC和正BPD，AD和BC交于点M. （1）当APC和BPD面积之和最小时，直接写出AP : PB的值和AMC的度数； （2）将点P在线段AB上随意固定，再把BPD按顺时针方向绕点P旋转一个角度，当60时，旋转过程中，AMC的度数是否发生变化？证明你的结论. C M DA P B（3）在第（2）小题给出的旋转过程中，若限定60120，AMC的大小是否会发生变化？若变化，请写出AMC的度数变化范围；若不变化，请写出AMC的度数.
2、8. 1，60 2分 不变化. 证明：如图，点E在AP的延长线上，CAP DBMEBPE= AD下面的证法供你参考：把绕点A瞬时间针旋转得到，连接ED，则有,DC=EBAD=AE,是等边三角形AD=DE在中，BD+EB DE即：BD+DCAD实践探索：（1）请你仿照上面的思路，探索解决下面的问题：图3如图2，点D是等腰直角三角形ABC边上的点（点D不与B、C重合），求证：BD+DCAD图2（2）如果点D运动到等腰直角三角形ABC外或内时，BD、DC和AD之间又存在怎样的数量关系？ 直接写出结论.（1）证明：把绕点A瞬时针旋转得到，连接ED， -1分则有,DC=EBAD=AE,是等腰直角三角形
3、DE=AD -2分在中，BD+EB DE即：BD+DCAD - 3分（2）BD+DCAD -4分（3）猜想1：BD+DC2AD证明：把绕点A顺时针旋转，得到则有, DC=EB，ACD=ABE -5分BAC+BDC=180 ABD+ACD=180 ABD+ABE=180 即：E、B、D三点共线-6分AD=AE, 在中AE+ADDE 即BD+DC2AD -7分或者猜想2：-7分间接利用旋转变换添加辅助线5（密云）已知：正方形中，绕点顺时针旋转，它的两边分别交CB、DC（或它们的延长线）于点M、N （1）如图1，当绕点旋转到时，有当 绕点旋转到时，如图2，请问图1中的结论还是否成立？如果成立，请给予
4、证明，如果不成立，请说明理由；（2）当绕点旋转到如图3的位置时，线段和之间有怎样的等量关系？请写出你的猜想，并证明解：（1）答：（1）中的结论仍然成立，即 证明：如图2，在MB的延长线上截取BE=DN，连结AE 易证 （SAS） AE=AN；EAB=NAD又AM为公共边， 即 -4分（2）猜想：线段和之间的等量关系为： 证明：如图3，在DN延长线上截取DE=MB，连结A E 易证 （SAS） AM=AE；MAB=EAD 易证 （SAS） ， -7分6（平谷）如图，已知四边形ABCD是正方形，对角线ACBD相交于O.（1） 如图1，设 E、F分别是AD、AB上的点，且EOF=90，线段AF、BF
5、和EF之间存在一定的数量关系请你用等式直接写出这个数量关系；（2）如图2，设 E、F分别是AB上不同的两个点，且EOF=45，请你用等式表示线段AE、BF和EF之间的数量关系，并证明.(1).1分(2) 线段AE、BF和EF之间的数量关系：.2分证明：过O作OHOF，交AD于点H，连结HE.3分1=45，AOB，2+3=2+4=45.3=4.由正方形性质可知，OA=OB，5=6=45.AOHBOF . .4分BF=AH，OF =OH. 5分在EOH和EOF中EOHEOF.EF=EH6分在RtAEH中， .7分7（怀柔）探究：（1）如图1，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且EA
6、F45，判断BE、DF与EF三条线段之间的数量关系，直接写出判断结果： （2）如图2，若把(1)问中的条件变为“在四边形ABCD中，ABAD，BD180，E、F分别是边BC、CD上的点，且EAF=BAD”，则（1）问中结论是否仍然成立？若成立，请给出证明，若不成立，说明理由；（3）在（2）问中，若将AEF绕点A逆时针旋转，当点分别E、F运动到BC、CD延长线上时，如图3所示，其它条件不变，则（1）问中的结论是否发生变化？若变化，请给出结论并予以证明.24探究：（1）通过观察可知，EF= BEDF.1分（2）结论EF= BEDF仍然成立（如图2）.2分证明:将ADF绕点A顺时针旋转，使AD与AB
7、重合，得到， ADF，（图2）1=2， A=AF，=DF. =D又EAF=BAD，即4=2+3.4=1+3.又ABCD180，AAB E=180，即：、B 、E共线.在AEF与AEF1中， AF=A， 4=1+3， AE=AEAEFAE中，3分EF=E，又E=BEB,即：EF= BEDF. 4分（3）发生变化. EF、BE、DF之间的关系是EF= BEDF. 5分（图3）证明：将ADF绕点A顺时针旋转，使AD与AB重合，点F落在BC上点处， 得到AB，如图3所示. ADFAB， B A=DAF ， A=AF，B=DF. 又EAF=BAD，且B A=DAF AE=FA E.在AE与FA E中 AF=A， AE=FA E, AE=AE,AEFA E.6分EF=E，又BE= BE，E=BEB.即EF= BEDF.7分与中点有关的问题8
