《史济怀,刘太顺.__复变函数.__习题解答.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《史济怀,刘太顺.__复变函数.__习题解答.pdf（61页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第一章第一章 复数与复变函数复数与复变函数 1.11.1 习题习题 2设 12 ,., n z zz是任意 n 个复数，证明： 11 | nn kk kk zz ，并给出不等式中等号成立 的条件. （提示：可以用数学归纳法证明.等号成立的条件是 12 ,., n z zz线性相关）. 3证明： 1 (ReIm )ReIm. 2 zzzzz 证明： 设zaib， 则Reza，Imzb， 22 | zab.由题2知，zabiab 故 2222 2222 22 2 ()| 22222 abaabbab abab abz ， 即有 1 (ReIm )ReIm. 2 zzzzz 4若 12 |,0zz，
2、证明： 2 1212 |zzzz. 证明：不妨设 22 2 2121 0.zzzz 则 22 22 212122121112 zzzz zzz zzz zz 即有 2 1212 |zzzz成立. 5设|a|1，证明：若|z|=1，则1 1 za az . 证明：由1z 得1zz 故11zazazzzazaz 即证之. 6设|a|1，|z|1.证明：1 1 za az . 证明：提示： （1 1 za az 2222 |2Re|1 2Re| | ;zazaazaz 而 222222 1 | | | |(1 | )(1 | | )0;azazaz） 7设 12 ,., n z zz， 12 ,.,
3、 n 是任意 2n 个复数，证明复数形式的 Lagrange 等式： 2 22 2 1111 ()(), nnn kj jjjjjk jjjj k n zzzz 并 由 此 推 出Cauchy不 等 式 ： 2 22 111 nnn jjjj jjj zz . 证明： 提示 （记 12 12 . . n n zzz A ， 11 12 22 12 . detdet()0 . n n n n z zzz z AA z ， 2 d e td e t| jk jj jkkj jk kk zz z zz z ，则原式= 2 1 0 kj jk j k n zz .(1) 另外， 2 11 1112 2
4、2 2 12 11 . detdet . nn jjj jjn nn n j jj njj n z zzz z z zz z 2 22 111 ()()0 nnn jjjj jjj zz .（2） 由（1）=（2）可得证. 1.21.2 习题习题 1 把复数1 cossinzi 写成三角形式. 解： 111111 222222 1()2Re(2cos) 2 iiiiii i zeeeeeee . 2 问取何值时有(1)(1) nn ii. 解：提示（ 4 1 ,1, 1 k i i ikN i ） 3 证明： 0 1 sinsin() 22 cos, 2sin 2 n k n k 0 1 co
5、scos() 22 sin, 2sin 2 n k n k 证明：由于 (1 ) 2 0 1 sin 1 2 1 sin2 ini n n ik i k n e ee e ，则即可得 00 cosRe nn ik kk ke ， 00 sin nn ik kk kime . 4 证明： 1 23 z z z和 123 同向相似的充分必要条件为 11 22 33 1 1 1 z z z =0. 证明：提示（ 1 23 z z z和 1 23 z z z同向相似, a bC，使得(1,2,3) kk azb k 1111 2222 3333 11 1, 1 11 wzwz wa zbwz wzwz
6、 线性相关 11 22 33 1 det10. 1 zw zw zw ） 5 设 12 zz，证明：z 位于以 1 z和 2 z为端点的开线段上，当且仅当存在(0,1)，使得 12 (1)zzz； 证明：z 位于以 1 z和 2 z为端点的开线段上 21 0,()kzzk zz 21 0, 11 zz kz kk 12 (0,1),(1),() 1 k zzz k . 6 图 1.5 是三个边长为 1 的正方形，证明： 2 AODBODCOD . E A B C OD 解：以 O 为原点，OD 为 X 轴，OE 为 Y 轴，建立坐标系.设 123 ,OAz OBz OCz 则 123 1,2,
7、3zi zi zi ， 从而 1 2 3 arg()arg(1)(2)(3)arg(10 )z z ziiii . 因为 i 是单位向量，它的辐角为 2 ，即 2 AODBODCOD . 10证明： 222 2 121212 2(| ),zzzzzz并说明等式的几何意义. 证明： 222222 121211 2211 22 |2Re|2Re|zzzzzz zzzz zz 22 12 2(| )zz 几何意义是：平行四边形两对角线长的平方和等于它的各边长的平方和. 11设 1,.,n zz是单位圆周（以原点为中心、半径为 1 的圆周）上的 n 个点，如果 1,.,n zz是 正 n 边形的 n
8、个顶点，证明： 1 n k k z =0. 证明：记 12 . n zzzC，设该正 n 边形的一个圆心角为，0.由复数乘 法几何意义及正 n 边形对称性，0 i e ，即证之. 13.设 1 z， 2 z， 3 z， 4 z是单位圆周上的四个点，证明：这四个点是一矩形顶点的充要条件 为 1234 0zzzz. 证明：提示（先为菱形，连线为直径对点则是矩形） 14.设 L 是由方程0azzzzd所确定的点的轨迹，其中a，d 是实数，是复数. 证明： （i）当a=0，0 时，L 是一直线； （ii）当a0， 2 0ad时，L 是一圆周. 并求出该圆周的圆心和半径. 证明： （i）令 2 2d，则
9、2d，故原方程为()()0zz，即 Re()0z，即z与垂直，从而轨迹是一条通过点，与垂直的直线. （ii）记 2 2 0ad，则 2 ad， 原式 2 222 0()()a zza za zadazazaz 即证之. 1.31.3 习题习题 1. 证明：在复数的球面表示下，z 和 1 z 的球面像关于复平面对称. 证明：设zxiy其球面对应的坐标为 2 123 222 1 , 1(1)1 z zzzz xxx zizz . 而 1 z 球面像对应的坐标为 1122 2 11 11 1 1 zzzz zz xx z z z , 222 22 11 1(1) (1) (1) zzzz zz xx
10、 iz iz i z , 2 2 2 33 222 1 1 1 1 11 1 1 z z z xx z z z , 从而有 112233 ,xx xx xx ，故z和 1 z 的球面像关于复平面对称. 2. 证明：在复数的球面表示下，z和的球面像是直径对点当且仅当 z=-1. 证明：设zxiy，由1z 得 11 , zz ， 由于z对应的球面像为 2 123 222 1 , 1(1)1 z zzzz xxx zizz ， 对应的球面像为 123 ,xxx，计算可得： 11,2233 ,xx xx xx ， 故 z 和的球面像是直径对点. 由球面表示的几何意义知，, z位于通过竖坐标轴的平面与
11、xoy 平面交点上，从而, z 必与原点共线，则,0z ，由 33 xx，易知1. 3. 证明：在复数的球面表示下, C中的点 z 和的球面像间的距离为 22 2 11 z zw . 证明：设z和w的球面像的坐标为 123 ,x x x和 123 ,xxx， 则 222 1122331 12233 22xxxxxxx xx xx x， 1 12233 x xx xx x 22 2 2 11 11 zzzzz z 222 2 2 112 11 zz z 故 222 112233 ,d zxxxxxx 1 12233 2 2 2 22 11 z x xx xx x z 4. 证明：在复数的球面表示下，若 ab cd 是二阶酉方阵，则 C的变换 w= azb czd 诱导 了球面绕球心的一个旋转. 证明：先证 2 2 2 , 11 zw z wc d z w zw ，一定有, azb awb dd z w czd cwd . 而 2 2 2222 22 ()det 11 ab azbawb zw czdcwdcd azbczdawbcwdazbawb czdcwd
