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1、【世纪金榜】2016届高三文科数学总复习专项强化训练(二)三角函数与平面向量的综合应用温馨提示： 此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。专项强化训练(二)三角函数与平面向量的综合应用一、选择题1.(2015济宁模拟)已知向量a=(1,),b=(cos,sin),若ab,则tan=()A.B.C.-D.-【解析】选B.因为ab,所以sin-cos=0,即sin=cos.故tan=.2.已知ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,向量m=(2sin B,-),n=(cos2B,2cos2-1),且mn,则锐角B的值为
2、()A.B.C.D.【解题提示】根据mn,转化为B的三角函数值后求解.【解析】选D.因为mn,所以2sinB(2cos2-1)=-cos2B,所以sin2B=-cos2B,即tan2B=-.又因为B为锐角,所以2B(0,).所以2B=,所以B=.3.(2015临沂模拟)若向量a=(cos,sin),b=(cos,sin),则a与b一定满足()A.a与b的夹角等于-B.abC.abD.(a+b)(a-b)【解题提示】欲求a与b满足的关系,先利用平面向量数量积公式,判断a与b是否有垂直或者平行的关系,再结合选项判断.【解析】选D.因为ab=(cos,sin)(cos,sin)=cos(-),这表明
3、这两个向量的夹角的余弦值为cos(-).同时,也不能得出a与b的平行和垂直关系.因为计算得到(a+b)(a-b)=0,所以(a+b)(a-b).故选D.4.已知a=,b=(cos,sin),(0,),则|a-b|的取值范围是()A.(0,1)B.(0,1C.(0,)D.(0,【解析】选C.因为a-b=,所以|a-b|=,因为(0,),所以,cos(0,1).故|a-b|(0,).5.(2015郑州模拟)在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,cosC=,=-2且a+b=5,则c等于()A.B.C.4D.【解题提示】由已知cosC=,=-2,利用数量积公式得到ab=8,再利用余弦定理可得
4、,c2=a2+b2-2abcosC可求c.【解析】选A.由已知cosC=,=-2,得bacos(-C)=-2bacosC=2,所以ab=8,利用余弦定理可得,c2=a2+b2-2abcosC=(a+b)2-2ab-2abcosC=52-28-4=5.所以c=.故选A.二、填空题6.在ABC中,内角A,B,C所对边分别为a,b,c,已知m=(1,2),n=(ccosA,b),p=(c,-bcosA),若mn,mp,则ABC的形状是.【解题提示】利用向量关系转化为边角关系后,再边化角可解.【解析】由mn可得,b=2ccosA.由正弦定理可得sinB=2sinCcosA,即sin(A+C)=2sin
5、CcosA.从而sinAcosC+cosAsinC=2sinCcosA,故sinAcosC-cosAsinC=0.即sin(A-C)=0,又-A-C,所以A-C=0,即A=C.由mp可得c-2bcosA=0,从而sinC-2sinBcosA=0,故sin(A+B)-2sinBcosA=0.即sinAcosB-cosAsinB=0,即sin(A-B)=0,故A-B=0,A=B.所以A=B=C.故三角形为等边三角形.答案:等边三角形7.(2015银川模拟)已知正三角形OAB中,点O为原点,点B的坐标是(-3,4),点A在第一象限,向量m=(-1,0),记向量m与向量的夹角为,则sin的值为.【解析
6、】设向量与x轴正向的夹角为,则+=+=,且有sin=,cos=-,sin=sin(-)=sin=sin-cos=-=.答案:8.在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且2cos2cosB-sin(A-B)sinB+cos(A+C)=-,若a=4,b=5,则在方向上的投影为.【解题提示】利用已知条件先转化求得cosA,再利用正余弦定理可解.【解析】由2cos2cosB-sin(A-B)sinB+cos(A+C)=-,得cos(A-B)+1cosB-sin(A-B)sinB-cosB=-,即cos(A-B)cosB-sin(A-B)sinB=-.则cos(A-B+B)=-,即cosA=-
7、.由0Ab,则AB,故B=,根据余弦定理,有(4)2=52+c2-25c,解得c=1或c=-7(舍去).故向量在方向上的投影为|cosB=.答案:三、解答题9.(2015晋中模拟)已知向量a=(sin x,),b=(cos x,-1).(1)若(a+b)(a-b),求cos2x的值.(2)若ab,求cos2x-sin2x的值.【解析】(1)因为(a+b)(a-b),a+b=(sin x+cos x,-),a-b=(sin x-cos x,),所以(a+b)(a-b)=sin2x-cos2x-=0,即cos2x=-.(2)因为ab,所以-sin x-cos x=0,即tan x=-,所以cos2
8、x-sin2x=.10.已知向量a=（sin(x+),sin x）,b=(cos x,-sin x),函数f(x)=m(ab+sin2x),m为正实数.(1)求函数f(x)的最小正周期及单调递减区间.(2)将函数f(x)的图象的纵坐标保持不变,横坐标扩大到原来的两倍,然后再向右平移个单位得到y=g(x)的图象,试探讨:当x0,时,函数y=g(x)与y=1的图象的交点个数.【解析】(1)f(x)=m(ab+sin2x)=msin(x+)cos x-sin2x+sin2x=m(cos2x-sin2x+sin2x)=2msin(2x+).由m0知,函数f(x)的最小正周期T=.又2k+2x+2k+(
9、kZ),解得k+xk+(kZ).所以函数的递减区间是k+,k+(kZ).(2)将函数f(x)的图象横坐标扩大到原来的两倍,得y=2msin(x+),再向右平移个单位,得y=2msin(x-)+,所以:g(x)=2msin x.由0x及m0得0g(x)2m,所以当0m时,y=g(x)与y=1有两个公共点.11.(2015保定模拟)ABC的三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,向量m=(-1,1),n=(cosBcosC,sinBsinC-),且mn.(1)求A的大小.(2)现给出下列四个条件:a=1;b=2sinB;2c-(+1)b=0;B=45.试从中再选择两个条件以确定ABC,求出你所
10、确定的ABC的面积.【解析】(1)因为mn,所以-cosBcosC+sinBsinC-=0,即cosBcosC-sinBsinC=-,cos(B+C)=-,因为A+B+C=180,所以cos(B+C)=-cosA,所以cosA=,又0A180,所以A=30.(2)选择可确定ABC.因为A=30,a=1,2c-(+1)b=0,由余弦定理12=b2+-2bbcos30,整理得b2=2,b=,c=.所以SABC=bcsinA=.【一题多解】(2)选择可确定ABC.因为A=30,a=1,B=45,所以C=105.因为sin105=sin(60+45)=sin60cos45+cos60sin45=,由正
11、弦定理=,得b=,所以SABC=absinC=1=.12.已知向量a=(cos,sin),b=(cosx,sinx),c=(sinx+2sin,cosx+2cos),其中0x.(1)若=,求函数f(x)=bc的最小值及相应x的值.(2)若a与b的夹角为,且ac,求tan2的值.【解析】(1)因为b=(cosx,sinx),c=(sinx+2sin,cosx+2cos),=,所以f(x)=bc=cosxsinx+2cosxsin+sinxcosx+2sinxcos=2sinxcosx+(sinx+cosx).令t=sinx+cosx,则2sinxcosx=t2-1,且-1t.则y=t2+t-1=-,-1t,所以t=-时,ymin=-,此时sinx+cosx=-,即sin=-,因为x,所以x+,所以x+=,所以x=.所以函数f(x)的最小值为-,相应x的值为.(2)因为a与b的夹角为,所以cos= =coscosx+sinsinx=cos(x-).因为0x,所以0x-,所以x-=.因为ac,所以cos(sinx+2sin)+sin(cosx+2cos)=0,所以sin(x+)+2sin2=0,即sin+2sin2=0.所以sin2+cos2=0,所以tan2=-.关闭Word文档返回原板块- 10 - / 10
