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1、2020届扬州中学6月月考数学卷 第卷（必做题，共160分） 2020.6一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分1集合，若，则 2已知复数，其中是虚数单位，则.3袋中共有大小相同的4只小球，编号为1，2，3，4现从中任取2只小球，则取出的2只球的编号之和是奇数的概率为 4 根据如图所示的伪代码，当输出y的值为时，则输入的的值为 5某地区连续5天的最低气温（单位：C）依次为8，-4，-1，0，2，则该组数据的方差为 6设x，y满足约束条件则z=2x+3y的最大值为 7在平面直角坐标系xOy中，将函数的图象向右平移个单位得到的图象，则的值为 8. 在平面直角坐标系xOy中，双曲线1的顶
2、点到其渐近线的距离为 9在等比数列中，若，则 10各棱长都为的正四棱锥与正四棱柱的体积之比为，则的 值为 11如图，已知点是曲线上 一个动点， 则的最小值是 12已知函数，若在R上有两个不同的零点，则的取值范围是 13已知正数a，b满足，则的最小值等于 14. 已知函数是定义域为上的偶函数，当时，若关于的方程有且仅有8个不同实数根，则实数的取值范围是 . 二、解答题：本大题共6小题，共计90分15（本小题满分14分）如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面，过的平面分别与，交于点，（1）求证：平面平面；（2）求证：16（本小题满分14分）在中，角，所对的边分别为，.（1）求及的值；（2）若，求的面积
3、.17.（本小题满分14分） 如图是一“T”型水渠的平面视图（俯视图），水渠的南北方向和东西方向轴截面均为矩形，南北向渠宽为4 m，东西向渠宽m（从拐角处，即图中处开始）假定渠内的水面始终保持水平位置（即无高度差）（1）在水平面内，过点的一条直线与水渠的内壁交于两点，且与水渠的一边的夹角为，将线段的长度表示为的函数；（2）若从南面漂来一根长为7 m的笔直的竹竿（粗细不计），竹竿始终浮于水平面内，且不发生形变，问：这根竹竿能否从拐角处一直漂向东西向的水渠（不会卡住）？请说明理由18（本小题满分16分）如图，已知椭圆的左、右焦点分别为，下顶点为，点是椭圆上任一点，圆是以为直径的圆1 圆的面积为，求
4、点的坐标；当圆与直线相切时，求圆的方程；19（本小题满分16分）在数列中，其中1 证明：数列为等差数列，并求出通项公式；2 设，数列的前项和为，求；3 已知当且时，其中，求满足等式的所有的值之和20（本小题满分16分）设函数，（1）讨论函数的单调性；（2）若（其中），证明：；（3）是否存在实数a，使得在区间内恒成立，且关于x的方程在内有唯一解？请说明理由.数学(附加题)21 （本小题满分10分）设点在矩阵对应变换作用下得到点（1）求矩阵的逆矩阵；（2）若曲线C在矩阵对应变换作用下得到曲线，求曲线C的方程22选修44：坐标系与参数方程（本小题满分10分）在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参
5、数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为. （1）求的普通方程和的直角坐标方程； （2）设为上的点，垂足为，若的最小值为，求的值.23如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，AA1ABAC2，ABAC，M是棱BC的中点，点P在线段A1B上（1）若P是线段A1B的中点，求直线MP与直线AC所成角的大小；（2）若是的中点，直线与平面所成角的正弦值为，求线段BP的长度24（本小题满分10分）设二项展开式的整数部分为，小数部分为.（1）计算的值；（2）求.数学答案一、填空题：1 0 2 3 4 5 611 7 8 9. 4 10 11 12. 13 14. 二、解答题：1
6、5证：（1）因为平面，平面，所以 因为底面是矩形，所以 因为，平面，所以平面 因为平面，所以平面平面 （2）底面是矩形，所以， 因为平面，平面，所以平面因为平面，平面平面，所以 16. 解：（1），. ，. 由题意可知，. . . （2），. 17（1）由题意， 所以，即（） （2）设，由，令，得 且当，；当，所以，在上单调递减；在上单调递增，所以，当时，取得极小值，即为最小值 当时，所以的最小值为，即这根竹竿能通过拐角处的长度的最大值为m 因为，所以这根竹竿能从拐角处一直漂向东西向的水渠 18解 易得，设，则， 又圆的面积为，解得， 或，直线的方程为，且到直线的距离为， 化简得，联立方程组，
7、解得或 当时，可得， 圆的方程为；当时，可得， 圆的方程为；19证明： 数列为等差数列 ，又 因为，所以 ，得 故88由得等式可化为即 当时， 当时， 当时，经验算时等号成立满足等式的所有 其和为5.20解（1）由已知得： 当时，在上递增； 当时，令得 当时，递增； 当时，递减；综上： 当时， 的递增区间为； 当时，的递增区间为， 的递减区间为.（2）在递增，递减，且又当时，；当时，要证：成立，只需证：在递增，故只需证：即证：令，只需证：，即证：令，.证毕（3）令，且需在区间内恒成立，可得事实上，当时，下证：法一：，令，则在单调递减，由于，存在使在单调递增，单调递减，且.，在递减，递增，在区间
8、内恒成立，当时，在区间内恒成立，且在内有唯一解，证毕.法二：令，则，所以递减，递增，即，在递减，递增，在区间内恒成立当时，在区间内恒成立，且在内有唯一解，证毕. 数学（附加题）21 （1），所以（2）设曲线上任意一点在矩阵对应变换作用下得到点，则，所以又点在曲线上，所以，即所以曲线的方程为22（1）因为的极坐标方程为，即，则，化简得，所以的直角坐标方程为. 参数方程消去参数，得的普通方程为. （2）设，由点到直线的距离公式得，由题意知，当时，得， 当时，得，所以或. 23以为正交基建立如图所示的空间直角坐标系，N则，（1）若P是线段A1B的中点，则，所以又，所以所以直线MP与直线AC所成的角的大小为（2）由，得 设，则，所以，所以，所以设平面的法向量，则， 所以取因为，设直线与平面所成角为由，得所以，所以 24- 14 -
