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1、电动力学习题解答 第一章 电磁现象的普遍规律 - 1 - 1. 根据算符的微分性与矢量性推导下列公式 BABAABABBA rrrrrrrrrr )()()()()(+= AAAAA rrrrr )( 2 1 )( 2 = 解1BABAABABBA vvvvvvvvvv )()()()()(+= 首先算符是一个微分算符其具有对其后所有表达式起微分的作用对于本题 将作用于BA vv和 又是一个矢量算符具有矢量的所有性质 因此利用公式bacbcabac v vv v vv v vv )()()(=可得上式其中右边前两项是作用于 A v 后两项是作用于B v 2根据第一个公式令A v B v 可得证
2、 2. 设 u 是空间坐标 xyz 的函数证明 .)( )( )( du Ad uuA du Ad uuA u du df uf r r r r = = = 证明 1 u du df e z u du df e y u du df e du df e z uf e y uf e x uf uf zyx x u zyx = + += + + = rrrrrr)()()( )( 2 du Ad u z u dz uAd y u du uAd x u du uAd z uzA y uA x uA uA z y xz y x rr r rr r r r = + + = + + = )( )( )()(
3、 )( )( )( 3 = + + = = z x y y zx x y z zyux zyx e y A x A e x A z A e z A y A uAuAA zyx eee uA r r r r rr r r r rrr rrr r )()()( )()( )( )( 电动力学习题解答 第一章 电磁现象的普遍规律 - 2 - du Ad ue y u du Ad x u du Ad e x u du Ad z u du Ad e z u du Ad y u du Ad z x y y zx x y z r r r r r rr r r r = + + =)()()( 3. 设 222
4、 )()()(zzyyxxr+=为源点 x到场点 x 的距离r 的方向规定为从 源点指向场点 1 证明下列结果并体会对源变数求微商)( z e y e x e zyx + + = rrr 与对场变数求 微商)( z e y e x e zyx + + = rrr 的关系 )0.(0, 0, 11 , 3 333 =r r r r r r r r r rrr r rr rrrrr (最后一式在人 r0 点不成立见第二章第五节) 2求 均为常矢量及其中及 000 ,),sin()sin(),(,)( ,EkarkErkErararr rr rr rr r rr rrrrrr 证明3 )()()(
5、= + + = z zz y yy x xx r r 0 = = zzyyxx zyx eee r zyx rrr r ) () () )()()( zyxzyxzzyyxx ezzeyyexxe z e y e x eaeaeara vrvvvvvvvrv + + + += ) () () )( zyxzyx ezzeyyexx z a y a x a vrv + + + = aeaeaea zzyyxx vvvv =+= ararrarara vvvrvvvvvv +=)()()()()( aararra vrvvvvv +=)()()( arara vvvvv +=)()( )(sin(
6、)(sin()sin( 000 ErkErkrkE r r rr r r r rr += 电动力学习题解答 第一章 电磁现象的普遍规律 - 3 - 0 )sin()sin()sin(Eerk z erk y erk x zyx rr r rr r rr r + + = )(cos()(cos( 0 EkrkEekekekrk zzyyxx rr r rr rrrr r =+= 000 )sin()sin()sin(ErkErkrkE r r rr r r r rr += 4. 应用高斯定理证明 = SV fSdfdV rrr 应用斯托克斯Stokes定理证明 = LS l d Sd rr 证明
7、1)由高斯定理 = SV gSdgdV r r r 即 += + + S zzyyxx V z y x dSgdSgdSgdV z g y g x g )( 而dVkf y f x jf x f z if z f y dVf xyzxyz V )()()( rrrr + + = + + =dVifjf z kfif y jfkf x yxxzzy )()()( rrrrrr 又)()()(kSdfdSfjdSfdSfidSfdSffSd y S xxyxzzxzyyz S rrrrr += += zyxyxzxzy dSifjfdSkfifdSjfkf)()()( rrrrrr 若令ifjfH
8、kfifHjfkfH yxZxzyzyx rrrrrr =, 则上式就是 = SV HSddVH rrr ,高斯定理则证毕 2)由斯托克斯公式有 = Sl Sdf l d f rrrr += l zzyyxx l dlfdlfdlf l d f)( rr + + = S zxyyzxxyz S dSf y f x dSf x f z dSf z f y Sdf)()()( rr 而 += l zkyjxi l dldldl l d )( r 电动力学习题解答 第一章 电磁现象的普遍规律 - 4 - + + = S yxxzzy S kdS x dS y jdS z dS x idS y dS
9、z Sd rrrr )()()( + + = zyx dSi y j x dSk x i z dSj z k y )()()( rrrrrr 若令 kzjyix fff=, 则证毕 5. 已知一个电荷系统的偶极矩定义为 ,),()( = V dVxtxtP rr r 利用电荷守恒定律0= + t J r 证明P r 的变化率为 = V dVtxJ dt Pd ),( r r r 证明 = = VV dVxjdVx tt P r r r r r = V x V x dVjxjdVjxjxdVxj t P )()()()( rrrr r = S x Sdj xdVj rr 若)0( , 0)(,=
10、 S jSdj xS rrr 则 同理 = = )( ,)(dVj t dVj t zzyy rr 即 = V dVtxj dt Pd ),( r r r 6. 若m r 是常矢量证明除 R0 点以外矢量 3 R Rm A r r r =的旋度等于标量 3 R Rm r r =的梯 度的负值即 =A r 其中 R 为坐标原点到场点的距离方向由原点指向场点 证明 m r m rr m r m R m R Rm A vvvvv v v v ) 1 () 1 ( 1 )( 1 )() 1 ( ) ( 3 += = 电动力学习题解答 第一章 电磁现象的普遍规律 - 5 - )0( , 1 )(=r r
11、 m v r mm rr m r m R Rm1 )()() 1 () 1 () 1 ()( 3 = = vvvv v v r mm r 1 )() 1 (= vv =A v 7有一内外半径分别为 r1和 r2的空心介质球介质的电容率为使介质内均匀带静止自 由电荷 f 求 1 空间各点的电场 2 极化体电荷和极化面电荷分布 解1 =dVSdD f S rr , (r2rr1) f rrrD )( 3 4 4 3 1 32 =即 )( , 3 )( 12 3 3 1 3 rrrr r rr E f = r r 由)( ,)( 3 4 2 3 1 3 2 00 rrrr Q SdE f f S =
12、 rr )( , 3 )( 2 3 0 3 1 3 2 rrr r rr E f = r r 0 1时 Err r 2)EEEP e rrrr )( 0 0 0 00 = = )( 3 3 )( )()( 3 3 10 3 3 1 3 00 r r r rr r rr EP ffP rrr rr = = ff )()03( 3 00 = = nnP PP 21 = 考虑外球壳时rr2 n 从介质 1 指向介质 2介质指向真空0 2 = n P 电动力学习题解答 第一章 电磁现象的普遍规律 - 6 - frrfnP r rr r r rr P 3 2 3 1 3 20 3 3 1 3 01 3 )1 ( 3 )( 2 =
