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1、试卷第 1页，总 5页 沈阳二中沈阳二中 2019201920202020 学年度学年度下下学期学期第五次模拟考试第五次模拟考试 高三（高三（20 届）理科数学试题届）理科数学试题答案答案 1-5. BDABB 6-10 .ABDAA11-12.BD 13. 1 4 14.515.4 2160,24(), 17 （1）因为 DE平面 ABCD，所以 DEAD， 因为 AD4，AE5，DE3，同理 BF3， 又 DE平面 ABCD，BF平面 ABCD， 所以 DE/BF，又 BFDE， 所以平行四边形 BEDF，故 DF/BE， 因为 BE平面 BCE，DF平面 BCE 所以 DF/平面 BCE
2、；6 分 （2）建立如图空间直角坐标系， 则 D（0，0，0） ，A（4，0，0） ，C（0，4，0） ，F（4，3，3） ， 0,4,0 ,4,3, 3DCDF ， 设平面 CDF 的法向量为mxyz （ ， ， ）， 由 40 4330 m DCy m DFxyz ，令 x3，得3,0,4m ， 易知平面 ABF 的一个法向量为1,0,0n r ，所以 3 5 mn cos ， ， 故 2 7 cos22cos1 25 .12 分 18.解： （）由 1 422 nn aann 可化为 1 2220 nn anan . 令2 nn can，则 1 0 nn cc ，即 1nn cc . 因
3、为 1 2a ，所以 11 20ca，所以0 n c ， 即20 n an，故2 n an.6 分 （）由 123 3721 n nn bbbba， 可知 1 12311 37221 n nn anbbbb ， 两式作差得 1 2122 n nnn baan ， 即 2 2 21 n n bn . 又当1n 时，也 11 2ba满足上式，故 2 21 n n b .12 分 试卷第 2页，总 5页 19.解：（1） 由题可知，0,1 ,0AF c， 则直线AF的方程为 1 x y c ， 即0 xcyc 因为直线AF与圆 22 :6270M xyxy相切，该圆的圆心为3,1 ,3r 则 22
4、33 33 bcbc a a bc 故椭圆的标准方程为 2 2 1 3 x y4 分 （2）因为不过点 A 的动直线 l 与椭圆 C 相交于 P，Q 两点，且APAQ，即直线 AP 与坐标轴不垂直也不平行 由0,1A可设直线 AP 的方程为1ykx，则直线 AQ 的方程为 1 1yx k 联立 2 2 1 3 1 x y ykx ，消去 y 并整理得 22 1 360kxkx，解得0 x 或 2 6 1 3 k k ， 因此点 P 的坐标为 2 22 66 ,1 1 31 3 kk kk ，即 2 22 61 3 , 1 31 3 kk kk 将上式中的 k 换成 1 k ，得点 Q 2 22
5、 63 , 33 kk kk 所以直线 l 的斜率为 22 2 22 22 31 3 1 31 3 66 4 31 3 kk k kk kk k kk ， 即直线 l 的方程为 22 22 163 433 kkk yx kkk ， 化简并整理得 2 11 42 k yx k ，故直线 l 恒过定点 1 (0) 2 ，12 分 20.解： （1）由题可知,所以可能的情况有小明投中 1 次,小亮投中 2 次；小明投中 2 次,小亮投中 1 次；小明投中 2 次,小亮投中 2 次. 故所求概率 122122 222222 2 11 12 21 12 21 14 3 32 23 32 23 32 29
6、 PCCCCCC 4分 （2）他们在一轮游戏中获“优秀小组”的概率为 122221222222 21122212222122121212 1()()1()()23() ()PC pp CpCpC ppCpCpp ppppp 试卷第 3页，总 5页 因为 12 4 3 pp,所以 22 1212 8 3() () 3 Pp ppp 因为 1 01p, 2 01p, 12 4 3 pp,所以 1 1 1 3 p, 2 1 1 3 p,又 2 12 12 4 29 pp p p 所以 12 14 99 p p,令 12 tp p,以 14 99 t ,则 2 8 3 3 Ph ttt 当 4 9 t
7、 时, max 16 27 P,他们小组在n轮游戏中获“优秀小组”次数满足,B n p 由 max ()16np,则27n ,所以理论上至少要进行27轮游戏.此时 12 4 3 pp, 12 4 9 p p , 21 2 3 pp12 分 21.() sin c s ( ) o f x m x x ,则 2 cos1 ( ) (co)s m fx m x x , 2 3 是函数 fx的极值点, 2 ()0,10 32 m f , 2m , 又2m 时, 2 cos12 ( ) (2)cos fx x x , 当 2 (0,) 3 x 时, 0fx , 2 (, ) 3 x 时, 0fx, fx
8、在 2 (0,) 3 上单调递增, 2 (, ) 3 上单调递减, 2 3 是函数 fx的极大值点, 2m 符合题意;5 分 ()令( )(1) sin 2cos x g xk e x x ,则 00g, 由题得 0g x 在0 x 上恒成立, 2 co12 ( s cos ) (2) x x x g xke , 令2cos1,3tx,则 22 12321 1, (2) cos cos3tt x x , 当 1 3 k 时, 1 3 x ke ,则 0gx, g x在(0,)上单调递增, 00g xg,成立; 当 1 0 3 k时,令 h xgx,则 3 sincos2(1) ( s ) ()
9、co2 x xx h xe x k , 在(0, )x时, 0h x , h x在(0, )上单调递增, 又 1 (0)0 3 hk,1(0)hke ,则在(0, )上存在唯一 0 x使得 0 0h x, 试卷第 4页，总 5页 当 0 0,xx时, 0h x , g x在 0 0,x上单调递减, 00g xg,不符合题意; 当0k 时,在(0,) 2 x 时, 0gx , g x在(0,) 2 上单调递减,此时 00g xg,不符合题意; 综上所述,实数 k 的最小值为 1 3 .12 分 22解： （）在直角坐标系 xOy 中，可得点 ，曲线为圆， 圆心为，半径为 1，=3， 的最小值为
10、5 分 （）由已知，曲线为圆， 曲线为圆，圆心为，半径为 t， 曲线与曲线有两个不同交点， 解得，正数 t 的取值范围是 10 分 23解法一： （1） 11 3, 22 311 ( ), 222 11 3, 22 xx f xxx xx 当 1 2 x 时， 1 ( )2 2 f xf ， 当 11 22 x， 1 ( )1 2 f xf ， 当 1 2 x 时， 1 ( )1 2 f xf ， 所以 min( ) 1mfx5 分 解法二： （1） 111 ( ) 222 f xxxx 111 222 xxx 1 11 2 x 试卷第 5页，总 5页 当且仅当 11 0 22 1 0 2 x
11、x x 即 1 2 x 时，等号成立.当 1 2 x 时 min( ) 1mfx 5 分 解法一： （2）由题意可知， 111 abbcca cab ， 因为0a ，0b ，0c ，所以要证明不等式 9 abbcca abc ， 只需证明 111 ()9abc cab ， 因为 3 3 1111 ()339abcabc cababc 成立， 所以原不等式成立.10 分 解法二： （2）因为0a ，0b ，0c ，所以 3222 30abbccaa b c ， 3 30abcabc ，又因为1abc ， 所以 32223 ()()339abc abbcacabca b c ， ()()9abbcac abc 所以 9 abbcca abc ，原不等式得证.10 分 补充：解法三： （2）由题意可知， 111 abbcca cab ， 因为0a ，0b ，0c ，所以要证明不等式 9 abbcca abc ， 只需证明 111 ()9abc abc ， 由柯西不等式得： 2 111111 ()9abcabc abcabc 成立， 所以原不等式成立.10 分
