《《72常数项级数的审敛法(1)》-精选课件（公开PPT）》由会员分享，可在线阅读，更多相关《《72常数项级数的审敛法(1)》-精选课件（公开PPT）（22页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、7.2 常数项级数的审敛法(1),正项级数及其审敛法,1.定义,各项都非负的级数,通常称为正项级数.,各项都非正的级数,通常称为负项级数.,正项级数、负项级数统称为保号级数.,设级数,是一个正项级数，,即正项级数的部分和数列单调增加.,由 故有,因此部分和数列 单调递增.,定理7.2.1(正项级数收敛原理)正项级数收敛的充分必要条件是它的部分和数列有上界.,证明:设级数 为正项级数,于是,若 有上界,则根据单调有界数列必有极限,可知极限 存在,从而 收敛.,若 无上界,则 ,从而有 发散.,定理7.2.2. (比较审敛法) 设两个正项级数 和 满足,(1)由 收敛,可推出 收敛；,则,(2)由
2、 发散,可推出 发散.,证明：设级数 与 的部分和分别为 与 ,则有,于是,根据定理7.2.1,若 收敛,则 有上界,从而 有上界,推得 收敛.若 发散,则 无上界,从而 无上界,推得 发散.,例1,解,由定理7.2.1可知,例如,级数 ， 是收敛的;级数 是发散的.,例2,解,因为,定理7.2.3. （比较审敛法的极限形式）,则,定理 7.2.3 表明，,无穷级数收敛与否最终取决于级数一般项趋于零的速度，即无穷小量阶的大小.,例2 中，,方法：,通过无穷小量的等价关系,进而利用已知级数的敛散性判别.,需要有一个已知敛散性的级数作为比较的对象.,几何级数, p-级数, 调和级数,例3 判别下列
3、级数的敛散性： (1) ； (2) .,解 (1),所以原级数发散.,而调和级数 发散,比较审敛法的不便:,常用于比较的级数:,(2),当 时， ,则 ，,即,而级数 收敛，,所以原级数 收敛.,练习1pp184.7.用比较审敛法或其极限形式判定下列级数的敛散性.,练习1pp184.7.用比较审敛法或其极限形式判定下列级数的敛散性.,定理7.2.4. （比值审敛法 达朗贝尔判别法),比值审敛法的优点:,不必找参考级数.,注意:,当 时比值审敛法失效;,设 为正项级数,且 (其中 允许为 ) 则 (1) 当 时,级数收敛； (2) 当 时,级数发散； (3) 当 时,级数可能收敛,也可能发散.,故当 时比值审敛法失效.,解,例4 判别下列级数的收敛性:,故级数 收敛.,故级数 收敛.,比值审敛法失效, 改用比较审敛法,故级数 发散.,而级数 收敛.,练习2pp185.8.用比值审敛法判定下列级数的敛散性.,定理7.2.5. 根值审敛法(柯西判别法),设 为正项级数,且 (其中 允许为 ) 则(1) 当 时,级数收敛； (2) 当 时,级数发散； (3) 当 时,级数可能收敛,也可能发散.,故当 时,不能判定级数的敛散性.,解,例5 判别级数 的收敛性:,由根值审敛法可知级数 收敛.,2020/6/23,22,作 业 习题7 P184 7.8,
